TS Fiche révision sur les dérivées

TS FICHE D'EXERCICES SUR LES DERIVEES
Exercice 1:
1
9
On considère la fonction définie sur [ – 1 ; 5] par f (x) = x3 – 3x2 + x et on donne sa courbe représentative C .
2
2
On appelle T la tangente à la courbe C en O .
1) Donner la signification géométrique du nombre dérivé f '(a).
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) Par lecture graphique, sans aucun calcul:
C
a) Donner les valeurs de f (0), f (1) , f (3) puis celles de f '(0), f '(1) , f '(3).
f ( 0 )  ………… ; f ( 1 )  ………… ; f ( 3 )  …………….. ;
f ’( 0 )  ……….. ; f ’( 1 )  ………… ; f ’( 3 )  …………….. .
b) Résoudre l’équation f (x) = 2.
S  ……………………………………….
c) Donner l’ensemble des réels tels que 0  f (x)  2 .
S  ……………………………………….
d) Donner deux solutions de l’équation f ’(x) = f ’( 0 )
…………………………………………………………..
Soit f la fonction définie sur IR par f (x) = 2x2 – 3x + 1.
Exercice 2 :
1) Soit a un réel. Montrer que la fonction f est dérivable en a et donner l'expression du nombre dérivé de f en a.
2) Déterminer f ’(a) en utilisant les formules de dérivation du cours.
3) La courbe de cette fonction f peut–elle avoir des tangentes ayant pour coefficient directeur 5 ?
Exercice 3 :
Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes.
1) f(x) = 3x2 –
1
+4 x +
x
7
5) m(x) = ( 2x – 5 )3
2) g(x) = ( 3x2 + 1 )  ( 10 x – 9 )
6) n(x) =
7x3
4
– 5 + 5 7 – 3x
3
x
3) h(x) =
2x
x2 + 1
4) p(x) =
7) k(x) =
1
( 3x + 7)9
8) r(x) =
Soit f la fonction définie par f (x) = – 0,05 x3 + 0,15 x2 + 1,2 x – 1.
Exercice 4 :




On note Cf la courbe représentative de cette fonction dans un repère (O; i ; j ) ( unité le cm)
1) Déterminer f ’(x) .
2) a) En utilisant votre calculatrice compléter le tableau ci-dessous .
x
–2
0
3
4
5
f (x)
f ’( x )
b) Donner une équation de la tangente à Cf en 3 obtenue en utilisant les valeurs du tableau ci-dessus.
c) Cf a-t-elle des tangentes horizontales ? (Justifier votre réponse).
7
4x2 + 8
5x² – 3x + 2
Soit f la fonction définie sur [ 0 ; 7 ] par f (x) = 2x + 6 et soit (C) sa courbe.
x+1
1) Déterminer f ’(x), la fonction dérivée de cette fonction f .
Exercice 5 :
2) Etudier le signe de f ’(x) .
3) a) Soit A le point d’abscisse 1 de la courbe de f. Déterminer une équation de la tangente (T) à cette courbe en A.
b) Résoudre l'équation f '(x) = 0 . La courbe (C) peut-elle avoir des tangentes horizontales ?
4) Dans le repère ci-dessous, tracer la courbe (C) et la droite T.
Exercice 7 :
Une voiture effectue des essais de freinage sur un circuit. Entre l'instant t = 0 et l'instant t =5 s, où elle s'arrête,
la distance parcourue ( en mètres ) est donnée par d(t) = – 4t² + 40 t , où t s'exprime en secondes.
Voici un algorithme :
1) Expliquer le rôle de cet algorithme et ce que représente chaque variable.
Saisir un réel t 1.
2) Faire fonctionner cet algorithme pour t1 = 1 et t2 = 2.
Que représente ce nombre pour la voiture ?
Saisir un réel t 2.
d1 prend la valeur – 4t1² + 40 t1
d2 prend la valeur – 4t2² + 40 t2
v prend la valeur
3) Faire fonctionner cet algorithme pour t1 = 1 et t2 = 1 + h .
Que devient le résultat si h tend vers 0 ?
4) a) Que représente ce nombre pour la fonction d ?
d2 – d1
t 2 – t1
b) Que représente ce nombre pour la voiture ?
afficher v.
Exercice 1 : QCM (6 points)
0,5 point par bonne réponse; une mauvaise réponse annule une bonne réponse.
f est une fonction dérivable sur IR et on donne la courbe représentative de sa fonction dérivée f ' .
A
B
C
f (3) < f (4)
f ( – 3) < f ( – 2)
f (5) > f (6)
f admet un
maximum en 2
f admet un minimum
en – 2
f admet un
minimum en 6
f est décroissante sur
[ 2 ; +∞ [
f est croissante sur ]
–∞;2]
f est croissante sur
[–2;6]
Exercice 2 :
Une entreprise fabrique et vend un produit imperméabilisé pour vêtements et équipements de randonnée.
La quantité hebdomadaire produite en litres est x . Elle varie entre 0 et 1000.
x3
x²
Le coût de fabrication, en euros de x litres est donnée par : C(x) =
–
+ 40x + 5000.
1000 20
La recette, en euros, est donnée par R(x) = – 0,2 x² + 640x.
1. On appelle B(x) le bénéfice réalisé par l'entreprise lorsqu'elle fabrique et vend x litres de produit.
Exprimer B(x) en fonction de x et étudier les variations de la fonction B
2. Quelle quantité doit fabriquer l'entreprise pour que son bénéfice soit maximal ? Quel est alors ce bénéfice ?
Exercice 3 :
1
] par f (x) = – x² + 7x – 4 . On notera Cf sa courbe représentative.
2
1
x+4
La fonction g est définie sur [ – 5 ; ] par g(x) =
. On notera Cg sa courbe représentative.
2
x–1
1. A l'aide de votre calculatrice, conjecturer la position relative de Cf par rapport à Cg.
2. Etudier les variations de la fonction f .
3. Etudier les variations de la fonction g.
4. Calculer la différence f (x) – g(x). Etudier la position relative de Cf par rapport à Cg.
La fonction f est définie sur [ – 5 ;
Exercice 4 :
1. Soit g la fonction définie sur I = [ – 3 ; 10 ] par g(x) = 2 x3 + 12 x² + 2
a) Etudier les variations de g sur l'intervalle I.
b) En déduire le signe de g(x) sur I.
x3 – 2
2. Soit f la fonction définie sur I par f (x) =
.
x+4
a) Expliquer pourquoi f est dérivable sur I et calculer sa dérivée.
b) En s'aidant de la question précédente, déduire le signe de f '(x) sur I puis les variations de la fonction f.
Exercice 5 :
Un jeune agriculteur bio veut fabriquer une serre pour protéger ses cultures de tomates dont les dimensions sont :
La distance HK = x avec H milieu de [AB] est appelé la flèche.
Le rayon de cintrage est noté R. Ainsi R = OA = OB = OK.
On veut déterminer pour quelle valeur de x le rayon R de cintrage est minimal.
1. a) Exprimer, de deux façons différentes, R en fonction de x et de OH.
40000 - x²
b) En déduire que OH =
2x
c) Exprimer alors R en fonction de x.
20000 x
2. Soit f la fonction définie sur [100 ; 300 ] par f (x) =
+ .
x
2
a) Etudier les variations de f sur [100 ; 300 ]
b) Déterminer la valeur de x pour laquelle la fonction f admet un minimum.
3. a) Pour quelle valeur de la flèche x , le rayon est-il minimal ?
b) Quelle est alors la particularité de l'arc AB ?
1S CORRECTION FICHE D'EXERCICES DERIVEES
Exercice 1:
1 3
9
x – 3x2 + x et on donne sa courbe représentative C . On appelle T la tangente à la courbe C en O .
2
2
1) Donner la signification géométrique du nombre dérivé f '(a) : c'est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d’abscisse a.
On considère la fonction définie sur [ – 1 ; 5] par f (x) =
2) Par lecture graphique, sans aucun calcul:
C
a) Donner les valeurs de f (0), f (1) , f (3) puis celles de f '(0), f '(1) , f '(3).
f ( 0 )  0 ; f ( 1 )  2 ; f ( 3 )  0 ; f ’( 0 ) 
1
; f ’( 1 )  0 ; f ’( 3 )  0
4
b) Résoudre l’équation f (x) = 2 S  { 1 ; 4 }
c) Donner l’ensemble des réels tels que 0  f (x)  2 .
d) Donner deux solutions de l’équation f ’(x) = f ’( 0 )
Exercice 2 :
S [0;4]
0 et 4.
Soit f la fonction définie sur IR par f (x) = 2x2 – 3x + 1.
1) Soit a un réel. Montrer que la fonction f est dérivable en a et donner l'expression du nombre dérivé de f en a.
f ( a + h ) – f ( a ) 2( a + h )2 – 3( a + h ) + 1 – ( 2a2 – 3a + 1)
2a2 + 4ah + 2h2 – 3a – 3 h + 1 – 2a2 + 3a– 1
=
=
h
h
h
=
4ah + 2h2 – 3 h
h
= 4a + 2 h – 3 qui tend vers 4a – 3 lorsque h tend vers 0 . Ainsi f ’( a ) = 4a – 3
2) Déterminer f ’(a) en utilisant les formules de dérivation du cours.
f (x) = 2x2 – 3x + 1 on a
f’ (x) = 2 × 2x – 3 = 4x – 3 donc f ’( a ) = 4a – 3.
3) La courbe de cette fonction f peut–elle avoir des tangentes ayant pour coefficient directeur 5 ?
Il faut résoudre f ’(x)=5 4x – 3=5  x = 2 .Oui il y a une seule tangente ayant pour coefficient directeur 5 : la tangente en 2.
Exercice 3 :
Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes.
2) g(x) = ( 3x2 + 1 )  ( 10 x – 9 )
g’(x) = ( 3x2 + 1 )’  ( 10 x – 9 ) + ( 3x2 + 1 )  ( 10 x – 9 )’
g’(x) =
6x  ( 10 x – 9 ) + ( 3x2 + 1 )  10
g’(x) = 90x² – 54x + 10
1
1) f(x) = 3x2 – + 4 x + 7
x
1
1
1
2
f’(x) = 3 × 2x + 2 + 4 ×
+ 0 = 6x + 2 +
x
x
2 x
x
2x
x2 + 1
(2x)’ × ( x2 + 1 ) – (2x) × ( x2 + 1 )’
h’(x) =
( x2 + 1 )2
2
2 × ( x + 1 ) – (2x) × 2 x
–2 x2 + 2
h’(x) =
=
2
2
(x +1)
( x2 + 1 )2
3) h(x) =
7
4x2 + 8
– ( 4x2 + 8)’
– 8x
– 56x
p’(x) = 7 ×
=7×
=
( 4x2 + 8 )2
( 4x2 + 8 )2
( 4x2 + 8 )2
4) p(x) =
7) k(x) =
5) m(x) = ( 2x – 5 )3
m’(x) = 3 × ( 2x – 5 )’ × ( 2x – 5 )3–1
m’(x) = 3 × 2 × ( 2x – 5 )2
m’(x) = 6 × ( 2x – 5 )2
6) n(x) =
7x3
4
– 5 + 5 7 – 3x
3
x
k’(x) =
7
–5
n’(x) = × 3x2 – 4 × 6 + 0 – 3
3
x
r '(x) =
5x² – 3x + 2
10x – 3
2
5x² – 3x + 2
n’(x) = 7x2 +
20
–3
x6
– [ ( 3x + 7)9 ]’
[ ( 3x + 7)9 ]2
– 9 × 3 × ( 3x + 7)8
( 3x + 7)18
– 27
k’(x) =
( 3x + 7)10
k’(x) =
8) r(x) =
1
( 3x + 7)9
Exercice 4 :
Soit f la fonction définie par f (x) = – 0,05 x3 + 0,15 x2 + 1,2 x – 1.




On note Cf la courbe représentative de cette fonction dans un repère (O; i ; j ) ( unité le cm)
f’ (x) = – 0,05 × 3 x2 + 0,15 × 2x + 1,2 = – 0,15 x2 + 0,3x + 1,2
1) Déterminer f ’(x) .
2) a) En utilisant votre calculatrice compléter le tableau ci-dessous .
–2
– 2,4
0
x
f (x)
f ’( x )
0
–1
1,2
3
2,6
0,75
4
3
0
5
2,5
– 1,05
b) Donner une équation de la tangente à Cf en 3 obtenue en utilisant les valeurs du tableau ci-dessus.
y = 0,75( x – 3 ) + 2,6 soit y = 0,75 x – 2,25 + 2,6 soit y = 0,75 x + 0, 35
c)
Cf a-t-elle des tangentes horizontales ? (Justifier votre réponse).
f’ (x) = 0  – 0,15 x2 + 0,3x + 1,2 = 0 trinôme de  = 0,81 = ( 0,9)2
x1 = –0,3 – 0,9 = 4 et x2 = –0,3 + 0,9 = 2
–0,3
Donc deux tangentes horizontales ( coefficient directeur = 0 ) : en – 2 et en 4.
Exercice 5 :
Soit f la fonction définie sur [ 0 ; 7 ] par
–0,3
f (x) = 2x + 6 et soit (C) sa courbe.
x+1
1) Déterminer f ’(x), la fonction dérivée de cette fonction f .
f’ (x) =
2 × ( x + 1 ) – ( 2x + 6 ) × 1
2x + 2 – 2x – 6
–4
=
=
( x + 1)2
( x + 1)2
( x + 1)2
2) Etudier le signe de f ’(x) :
Pour x  – 1 on a x + 1 non nul et le dénominateur de f ’( x ) est positif car c'est un carré.
Quant à son numérateur il est négatif donc f ’( x ) est négatif sur [ 0 ; 7 ] ;
Cette fonction sera donc strictement décroissante sur [ 0 ; 7 ].
3) a) Soit A le point d’abscisse 1 de la courbe de f. Déterminer une équation de la tangente (T) à cette courbe en A.
f ’( 1 ) =
–4
8
= – 1 et f ( 1 ) = = 4 donc cette tangente a pour équation y = –1 ( x – 1 ) + 4 soit y = – x + 5 .
4
2
b) Résoudre l'équation f '(x) = 0 . La courbe (C) peut-elle avoir des tangentes horizontales ?
f '(x) = 0 
–4
= 0 qui n’a pas de solutions. Une fraction de numérateur non nul ne sera jamais égale à 0.
( x + 1)2
Donc pas de tangente ayant un coefficient directeur nul soit pas de tangente horizontale.
4) Dans le repère ci-dessous, tracer la courbe (C) et la droite T.
Exercice 7 :
Une voiture effectue des essais de freinage sur un circuit. Entre l'instant t = 0 et l'instant t =5 s, où elle s'arrête, la distance parcourue ( en mètres ) est donnée par
d(t) = – 4t² + 40 t , où t s'exprime en secondes.
1) Expliquer le rôle de cet algorithme et ce que représente chaque variable.
t1: valeur du premier instant
t2: valeur du deuxième instant
d2 : distance parcourue à l’instant t 2
d1 : distance parcourue à l’instant t 1
v : vitesse moyenne entre les instants t1 et t2. C'est elle que calcule l'algorithme.
2) Faire fonctionner cet algorithme pour t1 = 1 et t2 = 1 + h. Qu'obtient-on ?
on obtiendra v =
– 4(1+h)² + 40 (1+h) – ( – 4 × 1² + 40 × 1 )
= –4h + 32
1+h–1
3) Que devient le résultat si h tend vers 0 ?
réponse : 32
4) a) Que représente ce nombre pour la fonction d ?
b) Que représente ce nombre pour la voiture ?
32 est le nombre dérivée de la fonction d en 1. On a d'(1) = 32.
32 est la vitesse instantanée de la voiture à l’instant 1.
Exercice 1:QCM
1ère partie : 1. a.
2. b.
3.c.
Exercice 2:
x3
x²
x3
3
1. B(x) = R(x) – C(x) = – 0,2 x² + 640 x – (
–
+ 40x + 5000) = –
–
x² + 600x – 5000
1000 20
1000 20
3
3
Etude de la fonction B: B ' (x) = –
x² –
x + 600
1000
10
3 27
3 27
–
+
10 10
10 10
3
3
729 27
# signe de B '(x): Δ = ( – )² – 4× (–
) × 600 =
= ( )² x1 =
= 400 ; x2 =
= – 500
10
1000
100 10
6
6
–
–
1000
1000
x
0
400
1000
Signe de B '(x)
+
0
–
Variations de B
147000
– 5000
– 555000
2. Pour que le bénéfice soit maximal, il faut que l'entreprise produise 400 L . Ce bénéfice s'élève à 147000€.
Exercice 3:
1
1
x+4
La fonction f est définie sur [ – 5; ] par f (x) = – x² + 7x – 4 . La fonction g est définie sur [ – 5; ] par g(x) =
.
2
2
x–1
1
x+4
– x3 + 8x² – 12x
1. Sur [0; ], Cf est au dessus de Cg.
4. f (x) – g(x) = – x² + 7x – 4 –
=
2
x–1
x–1
x( – x² + 8x – 12)
Sur [ – 5; 0], Cf est au dessous de Cg
=
x–1
– x² + 8x – 12 = 0 : Δ = 8² – 4× (– 1)× (– 12) = 64 – 48 =16 = 4²
–8–4
–8+4
x1 =
=6
x2 =
=2
–2
–2
x
–5
x
– x² + 8x – 12
x–1
Signe de f(x) – g(x)
2. f '(x) = – 2x +7
x
1
2
–5
Signe de
f '(x)
+
–
Variations de f
3
4
– 64
1(x – 1) – 1 ( x + 4 )
5
=–
( x – 1)²
( x – 1)²
1
x
–5
2
–5
–
(x – 1 )²
+
Signe de g '(x)
–
1
6
Variations de g
–9
3. g ' (x) =
1
2
0
–
–
–
–
0
0
Sur [ 5; 0 [, f(x) – g(x) <0: Cf est en dessous de Cg
1
Sur ]0; ], f(x) – g(x) >0: Cf est en dessus de Cg
2
+
–
–
+
Exercice 4:
1. Soit g la fonction définie sur I par g(x) = 2 x3 + 6 x² + 4
Variations de g sur l'intervalle I: g ' (x) = 6x² + 12x = 6x (x + 2)
x
6x
x+2
Signe de g '(x )
Variations de g
–1
–
+
–
0
0
g'(x) = 0  x = 0 ou x = – 2
10
+
+
+
0
8
2604
4
Donc sur I, g(x) >0
x3 – 4
x+2
f est dérivable sur un intervalle où x + 2 ne s'annule pas. x + 2 = 0 pour x = – 2
3x²( x + 2 ) – ( x3 – 4) 2x3 + 6 x² + 4
g(x)
donc f est dérivable sur I = [ – 1; 10] et
f ' (x) =
=
=
( x + 2)²
(x + 2)²
(x + 2 )²
2. Soit f la fonction définie sur I =[ – 1; 10] par f (x) =
3. En s'aidant de la question précédente, déduire le signe de f '(x) sur I puis les variations de la fonction f
x
g(x)
(x + 4)²
Signe de f '(x)
–1
10
+
+
+
83
Variations de f
–5
Exercice 5:
La distance HK = x avec H milieu de [AB] est appelé la flèche. Le rayon de cintrage est noté R. Ainsi R = OA = OB = OK.
1. a) # R = OH + x
# Dans le triangle OHB rectangle en H: d'après le théorème de Pythagore,
on a OB² = OH² + HB² R² = OH² + 200² R² = OH² + 40000
 R= OH + x
 R²= (OH + x)²
b)  R² = OH² + 40000
d'où  R² = OH² + 40000
alors (OH + x)² = OH² + 40000
40000 – x²
OH² + 2 x × OH + x² = OH² + 40000  2x OH = – x² +40000  OH =
2x
40000 – x²
40000 – x² + 2x² 40000 + x² 20000 x
c) R = OH + x =
+x=
=
=
+
2x
2x
2x
x
2
20000 x
2. Soit f la fonction définie sur [100.300] par f(x) =
+
x
2
20000 1 – 40000 + x²
a) f '(x) = –
+ =
– 40000 + x² = 0  x = 200 ou x = – 200
x²
2
2x²
x
100
200
– 40000+ x²
–
0
+
2x²
+
+
Signe de f ' (x)
–
0
+
300
650
3
250
Variations de f
200
b) La fonction f admet un minimum pour x = 200
3. a) Le rayon est minimal lorsque la flèche mesure 200 cm
b) L'arc AB est un demi cercle car R = x = 400 donc OH = 0 O est le milieu de [AB]