Petits problèmes au quotidien

Petits problèmes au quotidien
Irène Lègault
C.S. St-Louis
Fetits prob\emes tirés àe la revue «Mathematics Teacher»
de mai 1995
1. Utilisez trois fois le nombre 3 et les symboles mathématiques (+, x, V~, !,
etc.) pour trouver des expressions qui égalent chacun des nombres entiers
de 0 à 9 inclusivement.
2. Un groupe de plus de 2 et de moins de 20 élèves ont tous payé le même
montant pour assister à un concert. Si le coût total était de 493$, combien
y a-t-il d'élèves dans le groupe?
3. Complétez la suite 1661, 1771,1881, 1991, 2002, ...
4. Trouvez trois nombres cubes positifs et différents dont la somme est aussi
un cube.
5. La simplification incorrecte des «6» dans la donnée suivante, donne une
réponse exacte :
= 1
/!4
~
4
Quelles autres valeurs de A, B et C donneront une bonne réponse dans
l'expression suivante?
Note : AB n'est pas A x B, ce sont les deux chiffres d'un nombre.
6. Une boîte a été fabriquée à partir de trois pièces de bois rectangulaires.
Chaque pièce a servi à confectionner deux des six côtés de la boîte. La
première pièce a servi à fabriquer le dessus et im côté; la deuxième, l'arrière et un autre côté; finalement la troisième, le dessous et le devant. Si
les aires des pièces de bois, avant de les couper, étaient respectivement de
27, 35 et 32 mètres carrés, trouvez les dimensions de la boîte.
7. Trouvez un nombre réel x, tel que :
X =
2 +
8. Trouvez deux nombres qui complètent cette suite :
1, 2,
4, 8
256, 8192, ...
14
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9.
Si, sur une autre planète, ^ x 32 = 5, quelle est la valeur
x 10?
Indice : sur cette planète, on calcule probablement dans une autre base.
10. Dans la dernière balance, combien de •
faut-U pour remplacer le «?)) ?
"S"
"5"
? _
11. Trouvez la mesure des côtés d'un triangle rectangle dont l'aire mesure
84 unités carrées et dont les trois côtés sont des nombres entiers.
12. Ma bicyclette a fait une crevaison après avoir parcouru les 3/4 de la distance pour me rendre à la maison. J'ai marché le reste de la distance. Si
mon temps de marche est égal à deux fois mon temps à bicyclette, combien de fois plus rapide est ma vitesse à bicyclette par rapport à ma vitesse
à pied?
13. Trouvez le modèle et le nombre manquant pour compléter la suite :
0, 7, 26, 63, ...
14. En suivant le modèle suivant, quel nombre apparaîtra immédiatement à
droite de 98, sur la deuxième ligne?
1
3
2
4
6
5
7
9
8
12
15
18
10 11 13 14 16 17 ...
15. Un train prend 45 secondes pour passer dans un tunnel de 1320 pieds de
long. Le même train, à la même vitesse prend 15 secondes pour passer
deva:nt un surveillant. Quelle est la longueur du train?
16. QueUe est la vitesse du train (au numéro précédent) exprimée en milles à
l'heure? (1 mille vaut 5280 pieds.)
17. Combien de fois le papier d'un rouleau de papier hygiénique de 300
feuilles s'enroule-t-U autour du rouleau? Chaque feuille mesure 11,18 cm,
le diamètre du rouleau complet mesure 10,67 cm et le diamètre du rouleau
de carton mesure 4,06 cm.
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18. À partir des données du numéro 17, quel est le diamètre du rouleau de
papier hygiénique, après en avoir utilisé la moitié?
19. Trouvez un nombre qui complète la suite :
0, 3, 14, 39,...
20. On lance deux dés non pipés, si on omet les paires (1,1), (2,2), etc., quelle
est la probabilité d'obtenir un 6 sur un seul dé?
21. Dans la figure suivante, le triangle isocèle et le carré ont des aires égales.
Exprimez la hauteur h en fonction de la base s.
22. Un sac contient trois boîtes à lunch; l'ime contient du poulet (P), la deu;dème du jambon (J), et la dernière, du boeuf (B). Si on tire deux boîtes au
hasard, quelle est la probabilité d'obtenir ceUe qui contient du jambon (J)?
Solutions des petits problèmes eh pages 53 à 58
Evelyne Calmels
(GSM 111)
MAT-1005-3
Gisèle Camiré, Michel Pitre,
Noùreddine Mnasri,
Robert Nolet
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16
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Solutions des petits problèmes
1. Les réponses peuvent varier. Voici un exemple de solution pour
chaque nombre.
0
=
1
=
0
_
^ —
3=
4=
3Î-3-3
3(3-3)
3+3
5=
6
3
=
3x3-3
0
7=
0
3x3
3
8
=
9 = 3! + 3! - 3
-1
2. 17 élèves.
Les facteurs de 493 sont 17 et 29. Puisque ce sont des nombres premiers,
l'un de ces facteurs est le nombre d'élèves et l'autre, le prix du billet.
Comme il doit y avoir moins de 20 élèves, on peut déduire que 17 élèves
ont payé chacim 29$ pour assister au concert.
3. 2112.
Ce sont des palindromes consécutifs (nombres qui se lisent de la même
manière de gauche à droite ou de droite à gauche).
4. 3^ + 43 + 53 = et tous les multiples de 3, 4, 5 et 6.
Exemples : + 83+ 10^ = 12^ et 12^ +
+ 20^ = 24^
En généralisant, (3x)3 + (4x)3 + (5x)3 = x^ (3^ + 4^ +53) = x^ x
= (6x)3.
5. Tï-ois autres fractions donnent un résultat exact :
26
19
49
16
65 ' ^ ' ^ • ^^ quatrième, — était donnée dans l'énoncé.
On pourrait faire un programme pour vériiïer quand (lOA + B)C = A(10B + C).
6. Les mesures sont : 3 m x 4 m x 5 m .
En factorisant les aires des pièces de bois, on obtient
27 = 3 X 9,
32 = 4 X 8
et
35 = 5 x 7.
À remarquer que: 3 + 4 = 7,
3+5= 8
et
4 + 5 = 9/
De la pièce 3 x 9, on coupe im morceau 3 x 4 et un autre de 3 x 5.
De la pièce de 4 x 8, on coupe un morceau de 4 x 3 et im autre de 4 x 5.
De la pièce de 5 x 7, on coupe im morceau de 5 x 3 et l'autre de 5 x 4.
Ou
si H = aire de dessus (et du dessous)
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C = aire de chacun des côtés
A = aire de l'avant (et de l'arrière)
alors
H + C = 27
A = 20
A + C = 35
donc
A + H = 32
Si
C = 15
H = 12.
I2 et I3 sont les arêtes de la boîte,
alors
A = 20 =
X I2
C = 15 = Il
X
=5
I3
d'où
I2 = 4
13 = 3.
H = 12 = I2 + I3
7. X = 4
X = 2 + sj2+\j2+sj2
Xi-2
-
+ ... , alors
= \j2+sj2+^j2+...
, et
{X-2)2 = 2 + \ / 2 + V / 2 V 2 + ..- , mais
X=2 + \ / 2 + V 2 V 2 + - •
Alors, ( x - 2 ) 2 = x e t A 2 - 4 x + 4 = x o u x 2 - 5 x + 4 = 0 e t x = 4 o u x = l .
Puisque
+<J2+... , x = 2 + (une quantité positive)
et X > 2, X = 1 est à rejeter.
Autre solution :
x = 2+ ^ ,
x - 2 = v/x,
x^-4x + 4= x . Ce qui donne la même équation.
8. 2 et 32.
Chacun des nombres est le produit des deux nombres précédents.
Ou
en écrivant les termes avec la base 2 : 2°, 2'', ^ 2^, 2^, ^ 2®, 2 " , on
voit que les exposants sont les termes de la suite de Fibonacci : chacun est
la somme des deux précédents. D manque donc 2^ et 2^.
9. 2.
Si ^ X 32 - 5, alors 5 x 4 = 32 dans une base différente de 10. Puisque
5 x 4 = 20, en base 10 et que 32, dans ime base b, est représenté par
3b + 2, alors 3b + 2 = 20 et b = 6. En transposant de la base 6 à la base 10,
1
1
10g vaut 1 X 6 + 0 ou G^o- Puisque ^ x 6 = 2, alors en base 6, ^ x 10 = 2
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10.5
Remplacer • dans la première figure par • • (puisque la deuxième figure
donne que T est égal à • •). Alors,
• ••
•
Utiliser cette information et remplacer chaque • dans la troisième figure
par ^ • ^ :
A
Si on enlève les 2 • de chaque côté, on obtient
• • • •
•
A
et, en transposant dans
•
A
on arrive à
T
Ou, algébriquement, si T = A, • = B, • = C, H = D,
ona:A +B=C
l)(B + D) + B = C o u C = 2B + D
A =B +D
2) 2(2B + D) = 3D ou 4B + 2D = 3D, donc
2C = 3D
3) D = 4B
A = xB
4) A = B + (4B) = 5B
X
= 5.
11. Le triangle dont les côtés mesurent 7, 24 et 25 est rectangle.
Il faut trouver deux nombres dont le produit est 2 x 84 ou 168. On obtient
1 X 168 ou 2 x 84 ou 3 X 56 ou 4 X 42 ou 6 X 28 ou 7 X 24 ou 8 X 21 ou 12 x 14.
La seule paire de nombres qui engendre im nombre entier pour l'hypoténuse est 7 et 24.
12. 6 fois plus vite.
1
Marcher ^ 'i® ^^ distance à .bicyclette a pris 2 fois le temps de la
bicyclette. Alors, pour marcher 3 x
| , ou 1 distance à bicyclette,
prendrait 3 x 2 le temps à bicyclette ou 6 fois plus longtemps. Donc la
vitesse à bicyclette doit être 6 fois plus rapide que la vitesse de marche.
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Ou algébriquement,
Vltl+ V2t2 = d i + d2
v i t i + V2(2tJ = d i + - d i
t i ( v i + 2v2) = | d i
o.
4di
4
| v i = 2V2
v^ = 6v2.
13.124 est une réponse possible.
Chaque nombre de la suite vaut 1 unité de moins que le cube des nombres entiers >1.
Remarque
Dans le cas où les termes de la suite suivent ime loi polynomiale, on peut
la continuer à l'aide des différences successives, et en remontant quand
on obtient une différence constante. (Le nombre de lignes de différences
correspond au degré du polynôme).
0
7
19
12
37
18
6
124
63
26
61
24
6
ici, le degré est 3.
14. 100.
Remarquez que les nombres de la rangée du haut sont des multiples de 3.
Le multiple de 3 le plus près de 98, est 99. On retrouve donc 99 sur la ligne
du haut et 98 directement sous 99; 100 est donc à la droite de 98.
15. 660 pieds.
Pour passer complètement à travers le tunnel, le train doit parcourir la
longueur du tunnel plus vme fois sa propre longueur. On calcule le temps
depuis l'entrée du wagon de tête, jusqu'à la sortie du dernier wagon. Le
train a ime longueur correspondant à 15 secondes, et le train plus le tunnel, 45 secondes. Donc, le turmel contient 2 longueurs de train et le train
mesure ( | x 1320), ou 660 pieds.
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15 secondes
30 secondes
45 secondes
ou
= 1320 + ^
t^ = 45 s
dg = ^
t2 = 15 s
3d2 = 3 ^ = 1320 + ^
^ = 1320 = 660.
2
16. 30 m/h.
Puisque le train parcoiirt 660 pieds en 15 secondes, en une minute il parcourt 2640 pieds ou | mille, n parcourt donc 30 milles en 60 minutes.
17.145 fois.
Une vue de l'extrémité du rouleau montre que l'aire du papier sur cette
surface est égale à la différence entre l'aire du cercle de diamètre égal à
10,67 cm Qe rouleau de carton plus le papier) et l'aire du cercle de
diamètre égal à 4,06 cm Qe rouleau de carton).
Cette aire égale: n [(5,34)2 . (2,03)2], qu approximativement 76,47 cm^. EUe
correspond à la longueur des 300 feuilles multipliée par l'épaisseur d'une
feuille. La longueur des 300 feuilles est : 300 x 11,18 ou 3354 cm.
L'épaisseur d'une feuille est de 76,47 ^ 3354, soit environ 0,0228 cm. Le
nombre de fois où le papier s'enrovile se calcule en divisant la différence
des deux rayons par l'épaisseur d'une feuille.
On trouve (5,335 - 2,03) ^ 0,0228 = 144,95 ou 145 fois.
18. Le diamètre mesure 8,08 cm.
Si la moitié du papier a été utilisée, l'aire de la surface à l'extrémité du
rouleau est de 38,24 cm^, ou la moitié de l'aire de départ. D s'agit de calculer le rayon qui remplit cette condition :
n[r2 - (2,03)2] = 38,24; donc r = 4,04 cm.
19. 84.
Chaque nombre de la suite est égal à la somme suivante :
n + n2 + n^ ou n e IN.
Remarque : on peut aussi utiliser la technique du numéro 13.
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20.
|
.
,
.
Si on omet les paires, il existe 30 possibilités et 5 cas possibles sur chaque
dé d'obtenir un 6, pour un total de 10. La probabilité est donc de
.
21. h = 2s.
Si les aires sont égales, on a :
2
sh ^
u 2s2 ^
s = — donc h = — = 2 s
22. Il y' a trois façons possibles de tirer deux de ces lunches.
(L'ordre n'est pas important.) (P,J) (P,B) (J,B). Deux contiennent le jambon.
2
Donc, la probabilité d'avoir un lunch au jambon est ^ .
O
•
•
•
•
•
Jacques Assouline • Chantai Buzaglo * Gérard'Buzaglo -
•
J
•
•
M
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secondaire:
Cahier 116
2-7601-3894-1 (276 p.)
Corrigé 116
2-7601-3895-X (276 p.)
Cahier 116 - Moduie A
2-7601-3391-5 (202 p.)
Cahier 116-lUIoduleB
2-7601-3407-5 (235 p.)
Corrigé 116 - iUodules A/B
2-7601-3392-3 (235 p.)
secondaire:
Cahier 216
2-7601-3768-6 (306 p.)
Corrigé 216
2-7601-3767-8 (306 p.)
secondaire:
Cahier 314
2-7601-3974-3 (272 p.)