Petits problèmes au quotidien

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Traduction et adaptation de problèmes tirés de la revue
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Mathematics Teacher, fevner 2001 (sauf numéro 11)
Christian Boissinotte, CSDM
1. Calculez la s o m m e de tous les nombres de la f o r m e l a b c d e f , avec a, b, c, d, e et
f représentant des chiffres dont la valeur ne peut être que zéro ou un.
2.
Si l'on colle ensemble 3 cubes, dont les arêtes mesurent respectivement 2 , 6 et 8
cm, face contre face, quelle est l'aire minimale d ' u n tel arrangement?
3. Anthony a obtenu la note de 98% à un examen. Cela a eu pour effet d'augmenter
sa moyenne de 1 point. Il a ensuite eu un 7 0 % et sa moyenne a redescendu de 2
points. Combien d ' e x a m e n s a-t-il faits, en incluant ces deux derniers?
4.
Calculez l'aire de la région délimitée par la courbe I 2x - 10 I + I 5}' - 10 I = 20.
5. Pour combien de nombres de l'ensemble S = {?', 7 ^
le chiffre des
unités est-il un 3?
6.
Pour des entiers positifs x et}' véfifiant l'équation \5x + 55y = 2000, quelle peut
être la plus grande valeur de l'expression x + yl
7.
Quel est le plus petit nombre supérieur à 2003 qui soit divisible par 2, 3 , 4 , 5 et 6?
8. Il faut a secondes à Annie pour parcourir une piste circulaire à un rythme constant, et b secondes à Benoit pour parcourir la m ê m e piste à vitesse constante
également. S'ils partent en m ê m e temps, d ' u n m ê m e point, mais en sens contraire, ils se rencontrent une première fois après c secondes. Exprimez b en termes de a et c.
9. Un certain type de papier décoratif est vendu en rouleaux de 5 cm de rayon et
contient un tube cartonné au centre d ' u n centimètre de rayon. Quand on a pris du
papier j u s q u ' à ce qu'il ne reste que la moitié de l'épaisseur de papier originale,
quelle fraction de la quantité originale de papier se trouve encore sur le rouleau?
10. Déterminez le nombre de couples ordonnés (x, y) que l'on peut former avec x et
}'choisis dans l'ensemble A ={ 1, 3, 5,..., 1999},
oùx<y.
11. U n e marchande de légumes avait coutume de lier ses asperges au moyen de
ficelles de 30 cm de long, en bottes qu'elle vendait 8 francs. Trouvant ces bottes
trop petites, elle utilisa par la suite des ficelles de 60 cm, et vendit en conséquences ses bottes 16 francs. Cette marchande calculait-elle bien? Sinon, quel prix
Solutions à la page : 47
aurait-elle dû demander?
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QQI^UiTiQniS QiS P i l i i S PrOil
Christian Boissinotte, ÇSDM
67 555 552;
Notons d'abord qu'il y â 2® = 54 nombres de cette forme. Chacune des lettres représentera 32 fois la valeur 0, et 32 fois la valeur 1. Faisons le total de chaque colonne
séparément. Nous obtenons 64 x 1 000 000 + 32 x 100 000 + 32 x 10 000 + 32 x 1000
+ 3 2 x 100 + 3 2 x 10 + 32 = 67 555 552.
536 c m ^
Collons d'abord ensemble les cubes de 6 et 8 cm d'arête, et nous cacherons
2 x (6 x 6) cm^ Il est alors possible de cacher deux faces du troisième cube soit
2 x (2 X 2) ainsi qu'une surface équivalente sur les faces exposées des 2 premiers
cubes. Donc l'aire de la partie visible est 6 x (8 x 8 + 6 x 6 + 2 x 2) - 2 x (6 x 6) - 4 x
( 2 x 2 ) = 6 X (64 + 36 + 4) - 2 X 36 - 4 X 4 = 6 X 104 - 72 - 16 = 624 - 88 = 536 cm^
(voir figure 2)
10.
Soit M sa moyenne et n le nombre de tests faits avant ces deux-là. La moyenne après
le test de 98 est
=M+ 1
Figure 2
(1),
n+1
1 • j -TA 11
. j « M + 98-1-70
1
et après celui de 70 elle est de
=M- 1
n+2
n M + 98 = (M - l)(n + 2 ) - 7 0
nM + 98 = ( M + l ) ( n + 1 )
-170 = -2M + n
2 x 9 7 = 2M'+2n
(2).
(1),
(2)
(1)
(2)
194 - 170 = 3 n e t n = 8.
80.
Il y a 4 cas, selon le signe des expressions :
(1)
+ +
(2)
+ -
(3)
-
+
(4)
-
+
( 2 A : - 1 0 ) + ( 5 y - 1 0 ) = 20
2x + 5y = 40
( 2x - 10 ) - ( 5}; - 10 ) = 20
2x - 5); = 20
- ( 2 x - 1 0 ) + ( 5 ) ; - 1 0 ) = 20
-2x + 5^ = 20
- ( 2 x - 1 0 ) - ( 5 y - 1 0 ) = 20
-2x-5y = 0
En résolvant les systèmes formés par ces équations prises 2 à 2 (avec pentes différentes), on obtient lés 4 sommets d'un parallélogramme : (-5, 2), (5, -2), (15, 2) et (5, 6).
On constate que les diagonales sont parallèles aux axes, donc perpendiculaires entre
elles. Elles mesurent 20 et 8. Il s'agit donc d'un losange et l'aire est le demi-produit
des diagonales.
Remarque : Il est intéressant de regarder les valeurs minimales et maximales des valeurs absolues dans l'équation, et pour quelles valeurs de x et y elles sont atteintes.
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501.
Les nombres de cet ensemble se terminent, dans l'ordre, par 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1,..., et
ça recommence toujours. On voit que 7
^g termine toujours par 1, etc.
On pourrait poser ainsi, par observation : 7"" mod 1 0 = 1 (rappelons que l'expression
«• a modulo b » = \t reste de la division entière de a par b, donc n mod 10 = chiffre des
unités du nombre n); 7""^' mod 10 = 7 ; T"*^ mod 10 = 9 ;
mod 10 = 3. Le nombre
2003 = 4 X 500 + 3 est de la forme 4«+3, tout comme le nombre 3 = 4 x 0 + 3 . Il y a
donc 501 nombres qui se terminent par 3.
128.
L'équation est équivalente à 3A: + 11>' = 400. Il est clair que la valeur de y doit être la
plus petite possible pour que x-\-y soit maximal. On s'en convaincra en transformant
l'équation ainsi : 3A: + 3y = 4 0 0 - S y e t x + y =
0, 1, 2..., on constate que pour)' = 2,
En essayant successivement
^ g g t entier et vaut 128.
2040.
Le nombre cherché doit être divisible par le plus petit commun multiple de ces nombre, soit 60. Il faut donc trouver le plus petit multiple de 60 supérieur à 2003. Puisque
2003 - 60 = 33,4 est entre 33 et 34, il s'agit donc de 34 x 60 = 2040.
8.
b=
ac
a-c
1
En une seconde, la fraction de la piste parcourue par Annie est — et la fraction para
Figure 9
courue par Benoit est
En c secondes, ils ont parcouru toute la piste. En isolant
dans— + — = 1 , on trouve
a b
9.
=
a-c
.
A
Si la longueur du tube est L, le volume de papier au début est 7i(5)^L - 7C(1)^L = 247tL.
Après avoir enlevé la moitié de l'épaisseur du papier (2 cm), le rayon total sera 3 cm.
Le volume du papier restant sera
- 7i(l)^L = StiL, donc le tiers, (voirfigure 9)
10.
499 500.
L'ensemble A contient 1000 nombres {{2n - 1} avec n variant de 1 à 1000). Pour
chaque choix de x, on détermine le nombre de couples valides. On a (1, 3), (1, 5),
...(1, 1999) ce qui donne 999 couples. Il y a 998 couples de la forme (2, y), 997 de la
forme (3, y) et pour finir avec le dernier : (1998, 1999).
Le nombre total de couples est 999 + 998 + ...+ 2 + 1 =
11.
999x1000
32 francs.
Considérons la botte d'asperge comme un cylindre et le disque contenant la corde.
Si la circonférence double, le rayon double et l'aire est donc multipliée par 4 car
A = n{2ry. Le volume d'un cylindre est proportionnel à l'aire de la coupe, donc il sera
aussi multiplié par 4. Le prix devrait être proportionnel au volume et quadrupler lui aussi.
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