Développement et Factorisation

Développement et Factorisation
I Développement
1) Développement à deux termes
b
a
a
k
b
k
Aire = k × ( a + b )
Aire = k × a + k × b
Soient k, a et b trois nombres, alors on a:
k×(a+b)=k×a+k×b
k×(a−b)=k×a−k×b
formes développées
Exemples:
87 × 101 = 87 × (100 + 1) = 87 × 100 + 87 × 1= 8700 + 87= 8787
15 × 999 = 15 × (1000 − 1)= 15 × 1000 − 15 × 1= 15000 − 15= 14985
Développer:
3(4x − 2) = 3 × 4x − 3 × 2= 12x − 6
x(9 + 7x) = x × 9 + x × 7x= 9x + 7x 2
14y(2y − 5) = 14y × 2y − 14y × 5= 28y 2 − 70y
2) Développement à quatre termes
c
d
c
d
a
a
a× c
a× d
b
b
b×c
b× d
Aire = ( a + b ) × ( c + d )
Aire = a × c + a × d + b × c + b × d
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Soient a, b, c et d quatre nombres, alors on a:
(a+b)×(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d
forme développée
Exemples: Développer et réduire.
×
3x
-2
x
3x²
- 2x
5
15x
- 10
OU ( x + 5 ) × ( 3x − 2 ) = x × 3x + x × (−2) + 5 × 3x + 5 × (−2)
= 3x 2 − 2x + 15x − 10
= 3x 2 + 13x − 10
( 4 − 2y) × ( 6y − 1 ) = 4 × 6y + 4 × (−1) + (−2y) × 6y + (−2y) × (−1)
= 24y − 4 − 12y 2 + 2y
= − 12y 2 + 26y − 4
( 3x + 2 )( x − 5 ) − ( 7 − x )( 4 + 2x ) = 3x 2 − 15x + 2x − 10 − ( 28 + 14x − 4x − 2x 2 )
= 3x 2 − 13x − 10 − 28 − 14x + 4x + 2x 2
= 5x 2 − 23x − 38
3) Identités remarquables
Soient a et b deux nombres, alors on a:
( a + b )2 = a2 + 2 × a × b + b2
( a − b )2 = a2 − 2 × a × b + b2
( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2
formes développées
Exemples : Développer et réduire
( 3x + 1 ) 2 = ( 3x ) 2 + 2 × 3x × 1 + 1 2
= 9x 2 + 6x + 1
( 7 − 2x ) 2 = 7 2 − 2 × 7 × 2x + ( 2x ) 2
= 49 − 28x + 4x 2
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( 4x − 5 )( 4x + 5 ) = ( 4x ) 2 − 5 2
= 16x 2 − 25
II Factorisation
1) Factoriser par un nombre (ou une lettre)
Soient a, b et k trois nombres, alors on a:
k×a+k×b=k×(a+b)
k×a−k×b=k×(a−b)
formes factorisées
Exemples : Factoriser les expressions suivantes.
14 × 27 + 27 × 86 = 27 × ( 14 + 86 )
= 27× 100 = 2700
4,2 × 31 − 4,2 × 21 = 4,2 × ( 31 − 21 )
= 4,2 × 10 = 42
9x + 12
= 3 × 3x + 3 × 4
= 3 × ( 3x + 4 ) = 3 ( 3x + 4 )
5x 2 − 46x
= x × 5x − x × 46
= x × ( 5x − 46 ) = x ( 5x – 46 )
21y + 28 y 2 = 7y × 3 + 7y × 4y
= 7y × ( 3 + 4y ) = 7y ( 3 + 4y )
4( x + 2 ) − x( x + 2 ) = 4 × ( x + 2 ) − x × ( x + 2 )
= ( x + 2 ) × ( 4 − x) = ( x + 2 ) ( 4 − x)
( 3x − 5 )( x − 7 ) + ( x + 1 )( x − 7 ) = ( x − 7 )[ ( 3x − 5 ) + ( x + 1 ) ]
= ( x − 7 )( 3x − 5 + x + 1 )
= ( x − 7)( 4x − 4 )
= 4( x − 7 )( x − 1 )
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( x − 4 ) 2 − ( x − 4 )( 2x − 1 )
= ( x − 4 ) × ( x − 4 ) − ( x − 4 ) × ( 2x − 1 )
= ( x − 4 )[ ( x − 4 ) − ( 2x − 1 )]
= ( x − 4 )( x − 4 − 2x + 1 )
= ( x − 4 )( − x − 3)
= − ( x − 4 )( x + 3 )
2) Factoriser avec une identité remarquable
Soient a et b deux nombres, alors on a:
a2 + 2 × a × b + b2 = ( a + b ) 2
a2 − 2 × a × b + b2 = ( a − b ) 2
a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b )
formes factorisées
Exemples:
9x 2 + 12x + 4 = ( 3x ) 2 + 2 × 3x × 2 + 2 2
= ( 3x + 2 ) 2
1 − 2x + x 2 = 1 2 − 2 × x × 1 + x 2
= ( 1 − x )2
4x 2 − 1 = ( 2x ) 2 − 1 2
= ( 2x − 1)( 2x + 1 )
( x − 4 ) 2 − ( 7 − 3x ) 2
= [( x − 4 ) + ( 7 − 3x )][( x − 4 ) − ( 7 − 3x )]
= ( x − 4 + 7 − 3x )( x − 4 − 7 + 3x )
= ( − 2x + 3 )( 4x − 11 )
Attention !
x 2 + 6x + 4 = x 2 + 2 × x × 3 + 2 2
On ne peut pas factoriser car 2 × x × 3 ≠ 2 × x × 2 !
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