D´eterminants, Pfaffiens et groupe sym´etrique

Déterminants, Pfaffiens et groupe
symétrique
Alain Lascoux
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o
o
Institut Gaspard Monge, Université Paris-Est
[email protected]
phalanstere.univ-mlv.fr/∼al
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Alain Lascoux
Déterminants, Pfaffiens, Groupe symétrique
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Déterminants et Pfaffiens sont obtenus par une sommation
(alternée) sur le groupe symétrique.
Pour une matrice M, le déterminant est
X
M→
±M[1, σ1 ] . . . M[n, σn ]
σ∈Sn
Pour une matrice antisymétrique Z , le Pfaffien est, à un facteur
près,
σ
X Z →
± Z [1, 2]Z [3, 4] . . . Z [n−1, n]
σ
P
On n’a donc besoin que de l’idempotent (1/n!) ±σ qui
correspond à une représentation de dimension 1 du groupe
symétrique.
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Comment déduire des identités à l’aide d’un espace de
dimension 1 ?
La situation change quand les entrées des matrices ou Pfaffiens
sont type
fi,j (ai , aj , x i , x j ) .
On a maintenant 3 groupes symétriques.
Le groupe Sa agissant sur les ai , le groupe Sx agissant sur les
x i , et enfin le groupe diagonal agissant sur les indices
simultanément.
Les représentations du groupe symétrique de dimension> 1
peuvent faire leur entrée.
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Rappel:
A une partition λ = [λ1 , . . . , λ` ] de n est associé un vecteur
spectral
v λ = [0, −1, . . . , (−λ1 +1), 1, 0, . . . , (−λ2 +2),
. . . , (λ` −1), . . . , (−λ` +`)]
qui permet d’engendrer un graphe (orienté) dit de Yang-Baxter.
On a droit aux transpositions [. . . , a, b, . . . ], a < b − 1. Dans ce
cas on enregistre la place des composantes échangées, et la
différence des valeurs échangées. Avec a, b en positions i, i +1:
Etiquette
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si + 1/(a−b)
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3
2 5
1 4
01̄2̄10
s3 − 13
s3 − 13
01̄12̄0
s2 − 12
s4 − 21
011̄2̄0
01̄102̄
s4 − 12
s2 − 21
s2 − 21
s4 − 21
Déterminants, Pfaffiens, Groupe symétrique
s4 − 12
5
2 4
1 3
4
3 5
1 2
011̄02̄
Alain Lascoux
4
2 5
1 3
5
3 4
1 2
s2 − 12
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Le même graphe, pour λ = [3, 2], en utilisant les vecteurs
spectraux, ou les tableaux de Young comme étiquettes des
sommets. Pas d’autres transpositions possibles, graphe de
dimension 5.
On lit les matrices de représentation de toutes les transpositions
simples s1 , . . . , s4 sur le graphe. Mais on peut utiliser le graphe
pour engendrer des polynômes, en se donnant un polynôme
pour le premier sommet. Le graphe engendre 4 autres
polynômes, en agissant par les étiquettes des arêtes sur les
polynômes figurant en chaque sommet.
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Polynôme de départ: produit de Vandermondes.
λ = [3, 2] ⇒ ∆32 = ∆(x1 , x2 , x3 )∆(x4 , x5 )
01̄2̄10 = ∆32
s3 − 31
01̄12̄0
s2 − 12
011̄2̄0
s4 − 12
011̄02̄
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= ∆32 (s3 −1/3)
s4 − 21
01̄102̄
s2 − 12
= ∆32 (s3 −1/3)(s4 −1/2)(s2 −1/2)
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Base de Young = base engendrée à partir de ∆λ par le graphe
de Yang-Baxter.
Base de Specht= base engendrée à partir de ∆λ par le graphe
de Yang-Baxter, en prenant les étiquettes si au lieu de si −1/k.
Théorème: Toute somme de ∆σλ s’exprime de manière unique
dans la base de Young, ainsi que dans la base de Specht.
Autre base: celle de Kazhdan-Lusztig, engendrée elle aussi à
partir de ∆λ .
Je vais décrire les bases de Young et de KL pour les
représentations intervenant dans le calcul des Pfaffiens et
déterminants.
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Prenons le Pfaffien Pf((ai −aj ) gi,j ), avec gi,j = gj,i . Il appartient à
l’espace engendré par les permutations de
(a1 −a2 )(a3 −a4 )(a5 −a6 ) · · ·
qui n’est autre que la représentation indicée par un rectangle de
hauteur 2.
Mais le groupe symétrique Sg ne reste pas inactif! Il induit une
représentation, les deux représentations sont en fait intriquées,
celle de Sg correspond à la forme transposée.
Schématiquement, le Paffien appartient à l’espace irréductible
⊗
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Bien plus. Le Pfaffien est diagonal, à la fois dans les bases de
Young, et dans celles de Kazhdan-Lusztig. En indiçant les
bases par les tableaux standards,
X
Pf(ai −aj ) gi,j ) =
±Yta Ytg∼
Pf((ai −aj ) gi,j ) =
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X
±Kta Ktg∼
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Ces bases sont des fonctions non seulement théoriques, mais
que l’on peut utiliser pourdes calculs
explicites. Par exemple, le
ai −aj
Pfaffien de Sundquist Pf xi +xj pour n = 2, est (en éliminant le
dénominateur qui est clair)
a3 a4 x12 x42 −a2 a1 x22 x42 −a2 a1 x32 x12 +a1 a4 x22 x42 +a1 a4 x32 x12 +a3 a2 x22 x42 +
a3 a2 x32 x12 −a3 a4 x22 x42 −a3 a4 x32 x12 +a3 a1 x12 x22 +a3 a1 x32 x42 −a1 a4 x12 x22 −
a1 a4 x32 x42 +a3 a4 x32 x22 +a2 a1 x12 x42 +a2 a1 x32 x22 −a2 a4 x12 x42 −a2 a4 x32 x22 −
a3 a1 x12 x42 −a3 a1 x32 x22 −a3 a2 x12 x22 −a3 a2 x32 x42 +a2 a4 x12 x22 +a2 a4 x32 x42
et dans la base de KL,
− (x12 − x22 )(x32 − x42 )(a1 − a4 )(a2 − a3 )
+ (x22 − x32 )(x12 − x42 )(a1 − a2 )(a3 − a4 ) ,
expression plus compréhensible!
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Je vais expliciter le cas des déterminants de Hankel, c’est-à-dire
le cas où gi,j dépend seulement de i + j, disons
gi,j = hi+h−3 ,
avec des indéterminées hi qui peuvent être identifiées à des
fonctions complètes.
Cela permet de se servir de la théorie des fonctions
symétriques et de traiter les déterminants en les hi comme des
fonctions de Schur.
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Quelques objets combinatoires.
A un tableau de Young à deux lignes, on associe une paire de
partitions conjuguées, en soustrayant à la ligne du bas
[1, 2, . . . , n−1], à celle du haut, [n+1, . . . , 2n].
Ainsi
3
6
7
9
11
12
1
2
4
5
8
10
⇒
[7, . . . , 12] − [3, 6, 7, 9, 11, 12] = [4, 2, 2, 1, 0, 0]
[1, 2, 4, 5, 8, 10] − [1, . . . , 6] = [0, 0, 1, 1, 3, 4]
correspond bijectivement à λ = [4, 3, 1, 1].
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A λ on associe une partition gauche (c’est-à-dire une paire de
partitions dont les diagrammes sont emboités)
∼
n
λ = [(n−1) ] + λω /λ ,
en notant λω le reordonnement croissant λ.
Pour l’exemple courant, c’est
λ = [56 ] + [0, 0, 1, 1, 3, 4] /[0, 0, 1, 2, 2, 4]
= [5, 5, 6, 6, 8, 9] / [0, 0, 1, 2, 2, 4] .
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Lisant la frontière de λ, on obtient un chemin de Dyck et un mot
de Yamanouchi.
Pour n = 4,λ = [3, 1] on a
λ = [3, 1]
1
0
1
0
Yama [1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0]
0
1
Alain Lascoux
1
0
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Numérotant les pas 1, 2, . . . , 2n, et appariant les pas en
vis-à-vis, on obtient des facteurs (ai −aj )
5
2
3
4
6
7
8
9 10
1
11
12
ϕa ([4, 3, 1, 1]) = (a1 −a12 )(a2 −a3 )(a4 −a7 )(a5 −a6 )(a8 −a9 )(a10 −a11 )
produit noté ∆a (12|23|47|56| . . . ).
C’est la première base (duale) de Kazhdan-Lusztig LKλa .
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En changeant d’espace, on obtient une autre base de KL. Cette
fois-ci, les objets sont interprétés comme des exposants de
monômes.
6
2
2
4
6
4
8
8 10
0
10
0
ψ([4, 3, 1, 1]) = [0, 2, 2, 4, 6, 6, 4, 8, 8, 10, 10, 0] .
On étiquette 0, 2, . . . , 2n−2 les pas montants successifs, les pas
descendants qui leur sont appariés ont la même étiquette.
Les vecteurs ψ(λ) sont les exposants d’une deuxième base de
Kazhdan-Lusztig (duale).
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Il est un peu plus élaboré de définir une base de KL (et pas KL
duale). Il faut mettre deux entiers dans chaque boı̂te du
diagramme de λ.
Pour n = 6, and λ = [4, 3, 1, 1], le remplissage
6, 3 7, 2 8, 1 9, 0
D4311 =
5, 2 6, 1 7, 0
4, 1
3, 0
nombres bleus consécutifs à partir du coin rempli par 6.
nombres rouges: coins 0 que l’on efface, nouveaux coins 1, etc.
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La base de KLS est engendrée à partir KLS0 = Sn−1,...,n−1 , en
utilisant les bi-remplissages des diagrammes comme une suite
d’opérations, une boı̂te i, k s’interprétant comme si − 1/(1 + k).
Voici à gauche la base de Specht, à droite le base de KL du
même espace de produits de fonctions complètes (en utilisant
les fonctions de Schur gauches, ou les fonctions de Schur).
S222
S222
S223/001
uu
uu
S233/002
I
I
uu
uu
S234/012
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I
S224/011
I
vv
vv
S033
H
H
S123
H
H
vv
vv
S114
S024 +S123
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Nous avons déjà dit que le Pfaffien est diagonal dans les bases
de Young et de KL.
Dans le cas présent des Pfaffiens de Hankel, l’énoncé est
Theorem. Le Paffien de Hankel d’entrées (ai − aj )hi+j−2−n est
diagonal dans la paire de base LK a , KLS :
X
Pf(a, h) =
(−1)|λ| ϕa (λ) KLSλ .
λ≤ρ
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Par exemple n = 3, on a
Pf(a, h) = ∆a (16|25|34)KLS0 − ∆a (16|23|45)KLS1
+ ∆a (14|23|56)KLS2 + ∆a (12|36|45)KLS11
− ∆a (12|34|56)KLS21
= (a1 − a6 )(a2 − a5 )(a3 − a4 ) S222 − (a1 − a6 )(a2 − a3 )(a4 − a5 ) S123
+ (a1 − a4 )(a2 − a3 )(a5 − a6 ) S114 + (a1 − a2 )(a3 − a6 )(a4 − a5 ) S033
− (a1 − a2 )(a3 − a4 )(a5 − a6 )(S024 + S123 ) .
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En interprétant les hi comme les fonctions complètes de
xP
1 , . . . , xn (d
Qéfinies par−1la série génératrice
r
z hr = i (1 − zxi ) ), on trouve que le Pfaffien est égal au
q-discriminant
Y
D(n, q) =
(x i − qx j )
i6=j
En notant [i] le q-entier (q i −1)/(q −1), on a donc les
développements suivants:
D(2, q) = (x1 − qx2 )(x2 − qx1 )
= [3]KLS0 − qKLS1 = (1+q +q 2 )S11 − qS02 ,
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D(3, q) = [3][5]KLS0 − q[5]KLS1 + q[3]2 KLS2 + q 2 [3]KLS11 − q 3 KLS12
= (1+q +q 2 )(1+ . . . +q 4 )S222 − q(1+ . . . +q 4 )S123 + q 2 (1+q +q 2 )S114
+ q 2 (1+q +q 2 )S033 − q 3 (S024 + S123 ) ,
D(4, q) = [3][5][7]KLS0 − q[5][7]KLS1 + q 2 [3][7]KLS2 − q 3 [3][5]KLS3
+ q 2 [3][7]KLS11 − q 3 [7]KLS21 − q 3 [3][5]KLS111
+ q 4 [3]2 KLS22 + q 4 [5]KLS31 + q 4 [5]KLS211
− q 5 [3]KLS32 − q 5 [3]KLS221 − q 5 [3]KLS311 + q 6 KLS321 .
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