L`escalier du diable de Cantor Dans AlmaSoror

Ensuite, traçons une ligne horizontale au dessus du tiers
milieu de l’intervalle [0, 1], pour obtenir le graphe suivant :
1.2
L’escalier du diable de Cantor
Dans AlmaSoror
1
0.8
0.6
Laurent Moonens
Aspirant du F.N.R.S. (Belgique)
0.4
0.2
Le 20 décembre 2007
0
−0.2
Nous proposons, sous le sapin des lecteurs d’AlmaSoror,
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
l’escalier du diable qui joue un rôle central dans bien des
Finalement, amenons au point d’abscisse 2/3 et d’ordomaines des mathématiques.
donnée
1/2 le graphe obtenu par compression lors de la
Pour commencer, donnons-nous une fonction continue
première
étape :
f définie sur l’intervalle [0, 1] joignant 0 à 1, qui envoie
1.2
0 sur 0 (i.e. vérifiant f (0) = 0) et 1 sur 1 (i.e. vérifiant
f (1) = 1), comme l’illustre la figure suivante :
1
1.2
0.8
1
0.6
0.8
0.4
0.6
0.2
0.4
0
0.2
−0.2
0
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1
0
−0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
La procédure suivante va nous permettre de construire,
à partir de f , une nouvelle fonction g. D’abord, compressons le graphe de f pour le ramener dans le coin inférieur
gauche en effectuant sur le graphe de f une transformation
qui divise les abscisses par 3 et les ordonnées par 2 :
Après cette trinité d’étapes, nous obtenons le graphe
d’une fonction g, continue sur [0, 1], envoyant 0 et 1 sur
0 et 1 respectivement.
Rien ne nous empêche donc d’appliquer à nouveau la
même construction à la fonction g. Voici ce que fournit ce
processus lorsque l’on part de la fonction identique f (x) =
x:
1
1.2
0.9
1
0.8
0.8
0.7
0.6
0.6
0.5
0.4
0.4
0.3
0.2
0.2
0
0.1
−0.2
0
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0.3
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0
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0.3
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0.6
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0.9
1
1
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0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
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0.6
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0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
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0.5
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0.4
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0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
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1
0
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
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0
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0.8
0.9
1
Si nous partons plutôt de la fonction f (x) = x2 , nous
Après une infinité d’étapes, on peut montrer que la
obtenons les itérées suivantes :
construction précédente livre une fonction continue sur
1
[0, 1] fixant 0 et 1.
0.9
Mieux que cela : quelle que soit la fonction f (x) dont
0.8
on part, la construction précédente livre la même fonction,
0.7
appelée escalier du diable.
0.6
Par ailleurs, l’ensemble des points autour desquels cette
0.5
fonction n’est pas constante semble contenir peu de points :
en fait, la probabilité qu’un point de l’intervalle [0, 1] ap0.4
partienne à cet ensemble est nulle !
0.3
Cet ensemble ‘improbable’ est un fractal et est appelé
0.2
l’ensemble
de Cantor.
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
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0.9
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