Bac blanc 2013_2014_correction - gerard

Terminale ES+L
CORRECTION SUCCINCTE BAC BLANC
Lycée Honoré d’Urfé
BAC BLANC DE MATHÉMATIQUES
TERMINALES ES et L
CORRECTION SUCCINCTE
Coefficients 5, 7 ou 4
Année scolaire 2013- 2014
Durée 3 heures
Page 1 sur 8 pages
Année 2014
Terminale ES+L
CORRECTION SUCCINCTE BAC BLANC
Lycée Honoré d’Urfé
EXERCICE 1. Commun à tous les candidats
sur 4 points
Un club de remise en forme propose, outre l’accès aux salles de musculation, des cours collectifs pour lesquels un supplément est demandé lors de l’inscription. Une fiche identifie chaque membre et son type d’abonnement : avec ou sans
cours collectif.
Une étude sur les profils des membres de ce club a montré que :
40 % des membres sont des hommes.
65 % des membres sont inscrits aux cours collectifs.
Parmi les femmes, membres de ce club, seulement 5 % ne sont pas inscrites aux cours collectifs.
On choisit une fiche au hasard et on considère les évènements suivants :
– H : « la fiche est celle d’un homme »,
– F : « la fiche est celle d’une femme »,
– C : « la fiche est celle d’un membre inscrit à des cours collectifs ».
1. Donner les probabilités suivantes : p(H), pF (C), pF (C) et les reporter sur un arbre pondéré modélisant la situation
qui sera complété au cours de la résolution de l’exercice.
p(H) = 0, 4 (énoncé) ; pF (C) = 0, 05 (énoncé) ; pF (C) = 1 − pF (C) = 0, 95
p H (C ) = 0
p (H )
= 0, 4
p (F ) =
0, 6
C
H
pH (C ) = 0
C
pF
C
,8
(C ) = 0, 95
F
pF (C ) = 0
2.
,2
, 05
C
a. Déterminer p(F ∩ C). p(F ∩ C) = pF (C) × p(F) = 0, 6 × 0, 95 = 0, 57 .
b. Montrer que p(H ∩ C) = 0, 08.
On a p(C) = 0, 65 , d’après la formule des probabilités totales : p(C) = p(F ∩C)+p(H ∩C) = 0, 57+p(H ∩C)
et donc p(H ∩ C) = 0, 65 − 0, 57 = 0, 08
c. On tire la fiche d’un homme, quelle est la probabilité que celui-ci soit inscrit aux cours collectifs ?
On cherche : pH (C) =
p(H ∩ C) 0, 08
=
= 0, 2
p(H)
0, 4
d. Compléter l’arbre pondéré de la question 1. Voir l’arbre
3. On choisit au hasard une fiche d’un membre non inscrit aux cours collectifs. Quelle est la probabilité que ce soit
celle d’un homme ? (donner la valeur décimale arrondie au centième).
p(H ∩ C)
. Or p(C) = 1 − p(C) = 0, 35, de même p(H ∩ C) = p(H) × pH (C) = 0, 32
On cherche pC (H) : pC (H) =
p(C)
0, 32
≈ 0, 91
et donc pC (H) =
0, 35
Durée 3 heures
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Année 2014
Terminale ES+L
CORRECTION SUCCINCTE BAC BLANC
Lycée Honoré d’Urfé
EXERCICE 2. Commun à tous les candidats
sur 6 points
PARTIE A
L’objet de cet exercice est l’étude de deux fonctions intervenant dans un modèle économique.
La courbe Cf donnée en page suivante est la représentation graphique, dans un repère orthogonal du plan, de la fonction
f définie sur l’intervalle [0 ; 5] par :
f (x) = e−0,7x+2,1 .
De même, la courbe Cg est la représentation graphique de la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 5] par :
g(x) = 0, 5x + 0, 7.
1. On appelle h la fonction définie par h(x) = f (x) − g(x).
a. Calculer h′ (x) où h′ désigne la fonction dérivée de la fonction h sur l’intervalle [0 ; 5].
h(x) = f (x) − g(x) = e−0,7x+2,1 − 0, 5x − 0, 7. h′ (x) = f (′ x) − g ′ (x) = −0, 7e−0,7x+2,1 − 0, 5
b. Étudier le signe de h′ (x) pour x appartenant à l’intervalle [0 ; 5]. En déduire que la fonction h est strictement
monotone sur cet intervalle.
Pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 5] e−0,7x+2.1 > 0, et donc pour tout x ∈ [0; 5] h′ (x) < 0 la fonction h
est donc strictement décroissante sur [0 ; 5].
c. Justifier que l’équation h(x) = 0 admet une solution unique α sur l’intervalle [0 ; 5] et donner à l’aide d’une
calculatrice une valeur approchée de α à 10−3 près (on ne demande pas de justification sur la méthode d’obtention de cette valeur).
h est continue sur [0 ; 5] car dérivable sur cet intervalle, elle est strictement décroissante sur [0 ; 5],
h(0) ≈ 7.4662 et h(5) ≈ −2.953 donc 0 ∈ [h(5); h(0)] et donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires,
l’équation h(x) = 0 admet une unique solution α ∈ [0; 5]
La calculette donne α ≈ 2, 172
d. Déduire de l’étude précédente les valeurs arrondies à 10−2 des coordonnées du point d’intersection F de Cf
et Cg .
L’équation h(x) = 0 est équivalente à l’équation f (x) = g(x), α est donc solution de f (x) = g(x), et donc
F(α; f (α)) soit au centième F(2, 17; 1, 79)
2. Dans la suite du problème, on prendra α = 2, 17 et f (α) = g(α) = 1, 79.
a. Soient les points C(0 ; f (α)) et E(α ; 0). Donner une valeur arrondie à 10−2 de l’aire du rectangle OCFE
exprimée en unités d’aire.
L’aire en question est coloriée en jaune sur le graphique, elle vaut : A = α × f (α) ≈ 3, 877724 ≈ 3, 88 ua
Z α
f (x) dx.
b. Interpréter graphiquement le nombre
0
Z α
f (x) dx correspond graphiquement à l’aire de la partie du plan située entre l’axe des abscisses, la courbe
0
représentative de f et les droites d’équation x = 0 et x = α
Z α
1
f (x) dx = −
c. Montrer que
f (α) − e2,1 et en donner la valeur arrondie au centième.
0, 7
0
Z α
1
1 −0,7x+2.1 α
1 −0,7x+2.1
e
e
=−
[f (x)]α0 , d’où
et donc
f (x)dx = −
Une primitive de f est F(x) = −
0, 7
0, 7
0,
7
0
0
Z α
1
f (x) dx = −
f (α) − e2,1 ≈ 9, 12
0, 7
0
PARTIE B
La fonction f définie dans la PARTIE A représente la fonction de demande d’un produit ; elle met en correspondance le
prix f (x) exprimé en milliers d’euros et la quantité x, exprimée en tonnes, que sont prêts à acheter les consommateurs à
ce prix. La fonction g définie dans la PARTIE A est la fonction d’offre de ce produit ; elle met en correspondance le prix
g(x) exprimé en milliers d’euros et la quantité x, exprimée en tonnes, que sont prêts à vendre à ce prix les producteurs.
Durée 3 heures
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Année 2014
Terminale ES+L
CORRECTION SUCCINCTE BAC BLANC
Lycée Honoré d’Urfé
On appelle prix d’équilibre du marché le prix pour lequel la quantité demandée par les consommateurs est égale à celle
offerte par les producteurs. On note p0 le prix d’équilibre et q0 la quantité échangée sur le marché à ce prix. Dans la
situation étudiée on a donc : f (q0 ) = g (q0 ).
1. Déduire des résultats donnés dans la PARTIE A les valeurs de q0 et de p0 .
D’une façon évidente, q0 = α et p0 = f (α) voir questions A-1-c et A-1-d.
2. Tous les consommateurs qui étaient prêts à payer au-dessus du prix p0 réalisent une économie.
Le montant écoZ q0
nomisé par les consommateurs, appelé surplus des consommateurs, vaut par définition
f (x) dx − p0 × q0 . Il
0
s’exprime ici en milliers d’euros.
a. Sur le graphique ci dessous (à rendre avec la copie) :
– indiquer les valeurs q0 et p0 sur les axesZde coordonnées ;
q0
– hachurer le domaine dont l’aire s’écrit :
0
f (x) dx − p0 × q0
b. Calculer, en milliers d’euros, le surplus des consommateurs.
Z q0
f (x) dx − A ≈ 5, 24 milliers d’euros .
Le surplus des consommateurs est égal à
0
10
y
9
8
7
6
5
4
3
9
prix
8
7
6
5
4
Cg
3
F
2
2
p0 = f (α)
1
1
C
Cf
0
-1
−1
O 0
-1
−1
Durée 3 heures
E
1
1
2
2
q0 = α
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3
3
4 quantité
4
x5
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CORRECTION SUCCINCTE BAC BLANC
EXERCICE 3. Commun à tous les candidats
Lycée Honoré d’Urfé
sur 5 points
Le nombre d’arbres d’une forêt, en milliers d’unités, est modélisé par la suite (un ) où un désigne le nombre d’arbres, en
milliers, au cours de l’année (2010 + n). En 2010, la forêt possède 50 000 arbres. Afin d’entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d’entretien des forêts décide d’abattre chaque année 5 % des arbres existants et de replanter
3 000 arbres.
1. Montrer que la situation peut être modélisée par : u0 = 50 et pour tout entier naturel n par la relation : un+1 =
0, 95un + 3
Le nombre d’arbres abattus (en milliers) au cours de l’année (2010 + n) est 0, 05un , il en reste donc 0, 95un , on
replante 3 milliers d’arbres chaque année, le nombre d’arbres l’année (2000 + n + 1) est donc un+1 = 0, 95un + 3
en milliers.
2. On considère la suite (vn ) définie pour tout entier naturel n par vn = 60 − un ·
a. Montrer que la suite (vn ) est une suite géométrique de raison 0, 95.
57
vn+1 = 60 − un+1 = 60 − (0, 95un + 3) = 57 − 0, 95un = 0, 95
− un = 0, 95 (60 − un ) = 0, 95vn La
0, 95
suite (vn ) est donc géométrique de premier terme v0 = 60 − 50 = 10 et de raison0, 95.
b. Calculer v0 . Déterminer l’expression de vn en fonction de n.
v0 = 60 − 50 = 10 et pour tout entier n ; vn = 10 × 0, 95n
c. Démontrer que pour tout entier naturel n, un = 60 − 10 × (0, 95)n·
un = 60 − vn = 60 − 10 × (0, 95)n
3. Déterminer le nombre d’arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur approchée arrondie à l’unité. On cherche
u5 soit u5 = 60 − 10 × 0, 955 ≈ 52, 26219 soit environ 52 262 arbres .
a. Vérifier que pour tout entier naturel n, on a l’égalité un+1 − un = 0, 5 × (0, 95)n..
un+1 − un = 60 − 10 × 0, 95n+1 − (60 − 10 × 0, 95n) = 10 × 0, 95n − 10 × 0, 95n+1, il vient :
4.
un+1 − un = 10 × 0, 95n(1 − 0, 95) = 0, 5 × 0, 95n
b. En déduire la monotonie de la suite. . Pour tout entier n, 0, 95n > 0 , la suite (un ) est donc croissante
5. Déterminer la limite de la suite (un ). Interpréter.
0 < 0, 95 < 1 donc lim 0, 95n = 0 d’où lim 10×0, 95n = 0 et donc lim un = 60 , le nombre d’arbres va donc
n→+∞
n→+∞
n→+∞
tendre vers 60 000
6. On cherche à déterminer l’année à partir de laquelle le nombre d’arbres de la forêt aura dépassé de 10 % le nombre
d’arbres de la forêt en 2010. Pour cela on construit l’algorithme suivant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
VARIABLES
N EST_DU_TYPE NOMBRE
U EST_DU_TYPE NOMBRE
DEPASSEMENT EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
N PREND_LA_VALEUR 0
U PREND_LA_VALEUR 50
DEPASSEMENT PREND_LA_VALEUR 1.1*U
TANT_QUE (U<DEPASSEMENT) FAIRE
DEBUT_TANT_QUE
N PREND_LA_VALEUR N+1
U PREND_LA_VALEUR 0.95*U+3
FIN_TANT_QUE
AFFICHER N
FIN_ALGORITHME
a. Compléter les lignes 8 et 12 de cet algorithme pour pouvoir répondre à la question.(Recopier les lignes concernées sur votre copie) voir au dessus
b. A l’aide de votre calculatrice donner l’année cherchée.La machine donne pour n = 14 u14 = 55, 123, le
nombre d’arbres dépassera 55 000 en 2024.
Durée 3 heures
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CORRECTION SUCCINCTE BAC BLANC
Lycée Honoré d’Urfé
EXERCICE 4. Pour les candidats de ES n’ayant pas la spécialité Maths et pour le candidat de L
sur 5 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule
de ces réponses est exacte.
5
On considère une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle −5 ;
. Le plan est muni d’un repère orthonormal.
2
4
• La courbe Cf représentée ci-contre est celle de la
fonction f .
• Les points A(0; 2), B (1 ; e) et C (2 ; 0) appartiennent
à la courbe Cf .
• Le point de la courbe Cf d’abscisse (−5) a une ordonnée strictement positive.
• La tangente (T ) en A à la courbe Cf passe par le
point D(−2 ; 0).
• La tangente en B à la courbe Cf est parallèle à l’axe
des abscisses.
3
2
Cf
1
3
2
1
0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
1 2
−6 −5 −4 −3 −2 −1 -1
3
−1
-2
−2
(T )
-3
−3
-4
−4
-5
−5
Cocher la bonne réponse, aucune justification n’est demandée
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse enlève 0, 5 point. L’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève
aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée est ramenée à zéro.
1. On note f ′ (0) le nombre dérivé de la fonction f en 0. Quelle est sa valeur ?
a. f ′ (0) = 1
b. f ′ (0) = 2
2. À quel intervalle appartient le réel I =
Z
c. f ′ (0) = 0
2
f (x) dx ?
0
a. [0 ; 3]
b. [3 ; 6]
c. [6 ; 9]
b. y = −x + 2
c. y = x − 2
3. La tangente (T ) a pour équation ?
a. y = x + 2
4. Parmi les trois courbes ci-dessous, l’une est la représentation graphique de la fonction dérivée f ′ de la fonction f .
Laquelle ?
a. La courbe (C1 )
b. La courbe (C2 )
c. La courbe (C3 )
5. Parmi les trois courbesci dessous,
l’une est la représentation graphique d’une primitive F de la fonction f , F étant
5
définie sur l’intervalle −5 ;
. Laquelle ?
2
a. La courbe (C1 )
8
7
6
5
4
3
2
C1 1
1
0
-5 -4 -3 -2 -1
O 0 11 2 3
Durée 3 heures
b. La courbe (C2 )
c. La courbe (C3 )
7
6
5
4
3
2
1
1 C2
0
-5 -4 -3 -2 -1
O 0 11 2 3
3
2
1
1
0
-5 -4 -3 -2 -1
O 01 1 2 3
-2
Page 6 sur 8 pages
-2
C3
-3
-4
-5
-6
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Lycée Honoré d’Urfé
EXERCICE 4. Pour les candidats de ES ayant la spécialité Maths
sur 5 points
Partie A
On note Γ le graphe représenté ci-dessous et M sa matrice obtenue en prenant les sommets dans l’ordre alphabétique. La
matrice M 3 est également donnée.
G
C
F
B
E
A
H

10

8


11


10

3
M =
12


5



13

4

8 11 10 12 5 13 4

2 7 3 5 2 4 3


7 8 6 12 3 10 5


3 6 2 11 1 4 8


5 12 11 8 8 13 3


2 3 1 8 0 2 6



4 10 4 13 2 6 9

3 5 8 3 6 9 0
D
Dire, en justifiant votre réponse, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses :
1. Le graphe Γ est connexe.
Γ est connexe car par exemple la chaîne A − B − C − G − H − D − E − F passe par tous les sommets et donc il existe
un chaîne reliant toute paire de sommets.
2. Le graphe Γ contient un sous-graphe complet d’ordre 3.
Le sous graphe constitué des sommetsA E et D est complet donc Γ contient un sous graphe complet d’ordre 3.
3. Il est possible de parcourir ce graphe en passant une fois et une seule par chaque arête.
Pour que cela soit possible, il faudrait que le graphe Γ qui est connexe n’ait que deux et deux seulement sommets de
degrés impairs, or E est de degré 5, H est de degré 3, A est de degré 5 et D est de degré 3, donc ce graphe n’admet
pas de chaîne eulérienne.
4. Il existe au moins un chemin de longueur 3 qui relie chaque sommet à chacun des sept autres sommets du graphe.
Le nombre de chemins de longueur 3 qui relie le sommet numéro i au sommet numéro j est donné par le coefficient
ai,j de la matrice M 3 , pour qu’il existe au moins un chemin de longueur 3 qui relie chaque sommet à chacun des
sept autres sommets du graphe, il faut et il suffit que tous les coefficients de la matrice M 3 soient non nuls, à part
les coefficients de sa diagonale, c’est le cas, donc existe au moins un chemin de longueur 3 qui relie chaque sommet
à chacun des sept autres sommets du graphe.
5. il y a 72 chemins de longueur 3 qui relient le sommet E à chacun des huit sommets du graphe.
Pour cela, on ajoute tous les coefficients de la 5ième ligne de M 3 , il vient 12 + 5 + 12 + 11 + 8 + 8 + 13 + 3 = 72, on
en déduit qu’il a 72 chemins qui relient E à tous les sommets du graphe.
Partie B
Le graphe précédent représente un réseau de lignes d’autobus. Les sommets du graphe désignent les arrêts. Les poids des
arêtes sont les durées de parcours, en minutes, entre deux arrêts (correspondances comprises).
Durée 3 heures
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Lycée Honoré d’Urfé
G
7
C
6
5
6
11
20
F
11
7
B
4
E
H
16
3
3
17
A
9
D
Déterminer, à l’aide de l’ algorithme de Dijkstra, la durée minimum pour aller de l’arrêt A à l’arrêt H et donner un trajet
correspondant.On représentera cela dans un tableau
A
B
C
D
E
F
G
H
Marqués
0
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
3A
11A
17A
16A
∞
20A
∞
A
8B
17A
16A
∞
20A
∞
A; B
17A
14C
∞
15C
∞
A; B; C
17A
21E
15C
∞
A; B; C; E
17A
21E
26G
A; B; C; E; G
21E
26G
A; B; C; E; G; D
25F
A; B; C; E; G; D; F
On lit les étiquettes H − F − E − C − B − A soit en lisant à l’envers :
Le poids minimum est donc 25 minutes, la chaîne de poids minimum est par exemple : A − B − C − E − F − H
Durée 3 heures
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