Problèmes difficiles dans les graphes Clique de taille

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Clique de taille maximale
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Problèmes difficiles dans
les graphes
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Clique de taille maximale
Une clique est un graphe tel que pour toute
paire de sommets x, y l'arête {x,y} existe. On
parle aussi de graphe complet.
Problème de la clique de taille maximale
Pour un graphe G = (S,A) donné, trouver un
sous-ensemble V inclus dans S de cardinalité
maximale tel que le graphe induit par V est une
clique.
Stable de taille maximale
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Stable de taille maximale
Un sous-ensemble V des sommets d'une
graphe G = (S,A) est un stable s'il n'existe pas
d'arête {x,y} de A telle que x et y appartiennent
à V.
Problème du stable de taille maximale
Pour un graphe G = (S,A) donné, trouver un
stable V de cardinalité maximale.
Support de taille minimale
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Un support pour un graphe G = (S, A) est un
sous-ensemble T de S tel que chaque arête du
graphe a au moins une extrémité dans T.
Problème du support de taille minimale
[Vertex Cover]
Pour un graphe G = (S,A) donné, trouver un
support T de cardinalité minimale.
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Support de taille minimale
Stables et cliques
Définition
Le graphe complémentaire d'un graphe G = (S,A) est
le graphe G' = (S, SxS - A).
Stables et cliques
Théorème
Le graphe induit par V⊂S dans G est une clique si est
seulement si V est un stable de G'.
Clique de taille 4
Stable de taille 4
Stables et cliques
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Le problème de stable de taille maximale et
celui de la clique de taille maximale sont donc
“équivalents”.
Stables et cliques
Théorème
Le graphe induit par V⊂S dans G est une clique si est
seulement si V est un stable de G'.
Stable de taille 2
Clique de taille 2
Stables et supports
Théorème
L'ensemble V⊂S est un stable si est seulement si S-V
est un support.
Lorsqu'on sait résoudre l'un des deux
problèmes, on sait résoudre l'autre.
Stable de taille 3
Support de taille 2
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Stables et supports
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Le problème de stable de taille maximale et
celui du support de taille minimale sont donc
“équivalents”.
Lorsqu'on sait résoudre l'un des trois
problèmes, on sait résoudre les trois.
Problèmes difficiles
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On ne sait en fait résoudre aucun des trois
problèmes
Le principe de réductions entre problème se
généralise.
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Cours de complexité de 3ème année
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Classe des problèmes NP complet contient ainsi
plusieurs milliers de problèmes.
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Si on sait résoudre un problème, on sait tous les
résoudre
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On ne sait en résoudre aucun.
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Conjoncture P ≠ NP
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