EXERCICES CHEMINS OPTIMAUX Exercice 1 : Exercice 2

M ODÉLISATION POUR
D ÉCISION
Vincent Mousseau
L’A IDE À LA
E XERCICES C HEMINS O PTIMAUX
.
Exercice 1 :
La demande d’un équipement important en janvier, février et mars est de deux unités, ces deux unités
étant livrées en fin de chaque mois. La firme souhaite établir un plan de production de cet équipement.
Le stock ne peux dépasser deux unités en février et en mars, et le stock est nul en janvier et en avril. La
capacité de production maximale pour chaque mois est de quatre unités. Pour un stock de x unités et
une production de y, le coût mensuel est c(x, y) = 6x + f (y) avec f (0) = 0, f (1) = 15, f (2) = 17,
f (3) = 19 et f (4) = 21.
Montrer que ce problème peut se modéliser par un problème de cheminement sur un graphe représentant les transitions possibles. En déduire le plan de production minimisant le coût.
Exercice 2 :
Une société d’ambulance assure, pour l’hospitalisation à domicile, un service de transport des malades
lorsque ceux-ci doivent subir des examen de contrôles à l’hôpital (H). Une journée type se déroule
comme suit :
– En début de journée, on connaît la liste des malades à transporter à l’hôpital.
– La société n’est pas tenue de respecter un horaire précis. Elle organise ses transports, puis prévient chaque malade de l’heure de départ qu’elle a choisie.
– A huit heures, une ambulance (A) part du garage (G), va chercher à son domicile le premier
patient (P1 ), le transporte vers H, puis se rend au domicile du second patient (P2 ), etc. Après le
dernier malade, l’ambulance retourne au garage.
– Pour le retour des malades, une autre ambulance (B) reconduit, après examen, les malades à
leur domicile respectif.
Le coût d’exploitation des ambulances se compose d’un coût fixe (salaires) et d’un coût proportionnel
à la distance.
1. On souhaite organiser la journée de sorte de minimiser les coût d’exploitation. Quelles tournées
faut-il prévoir pour les ambulances A et B ?
2. On suppose maintenant que les examens effectués à l’hôpital sont suffisamment courts pour
permettre à la même ambulance d’attendre le malade et de le ramener immédiatement chez
lui. On n’utilise alors qu’une seule ambulance pour toute la journée. Cette nouvelle situation
change-t-elle l’organisation précédente ?
3. Appliquer les stratégies trouvées précédemment à l’exemple numérique ci-dessous.
H
G
P1
P2
P3
P4
P5
H
0
-
G
3
0
-
P1
1
2
0
-
P2
1
3
0.5
0
-
P3
3
4
1
1
0
-
P4
2
4
2
1
1
0
-
P5
4
2
2
3
4
5
0
Exercice 3 : Quand changer de voiture ?
C’est décidé, à partir du 1er Janvier prochain (année n), vous aller acheter une voiture. Votre choix
porte sur le dernier modèle RX2 dont le prix d’achat est de xxKe (véhicule neuf). Pour évaluer le
montant du budget nécessaire à l’utilisation de ce type de véhicule durant cinq années à venir, vous
devez déterminer la politique de remplacement la plus économique sur la période.
Les avis sont partagés. Certains prétendent que, pour éviter les pertes dues à la dévaluation de la
voiture lors de la revente, il faut la conserver durant toute la période. D’autres, soulignant la croissance
des frais d’entretiens avec l’âge du véhicule, de la changer pour une neuve tous les deux ans. Une
troisième catégorie de conseils vous orientent vers un achat d’occasion. Pour vous faire votre propre
opinion, vous décidez d’aborder rigoureusement le problème.
Au vu du marché, il vous semble raisonnable d’adopter les hypothèses suivantes :
– toutes les décisions (conservation ou revente du véhicule) s’effectuent au 1er Janvier de chaque
année et ont un effet immédiat,
– le critère de sélection de la politique repose exclusivement sur le coût total de la période (investissements nets + entretien) ; on ne tient pas compte de l’actualisation des flux monétaires
futurs,
– pour que toutes la politiques puissent être comparées, on supposera qu’au 1er Janvier de l’année
n + 5, la voiture sera revendue (quel que soit son âge) pour l’achat d’un véhicule neuf.
La presse spécialisée vous fournit les éléments de coût dont vous avez besoin :
âge
0
1
2
3
4
5
Prix d’achat
10000e
8800e
7700e
6600e
4800e
4400e
prix de revente
8000e
7000e
6000e
4400e
4000e
entretien/an
500e
600e
1200e
1500e
1800e
2400e
Etapes de l’analyse :
1. construction d’un graphe traduisant le champ des choix possibles : les sommets du graphe sont
caractérisés par une date (1er Janvier de l’année t) et l’âge du véhicule à cette date. Par exemple,
(n+2,2) représente l’état “la voiture est âgée de 2 ans au 1er Janvier de l’année n+2”. Identifier
tous les sommets du graphe.
2. Caractériser (par son sommet initial et final) l’arc associé au choix :
– la voiture est âgée de 3 ans au 1er janvier de l’année n + 2 est revendue pour racheter une
voiture neuve,
2
– la voiture est âgée de 2 ans au 1er janvier de l’année n1 est conservée jusqu’au 1er janvier de
l’année suivante.
3. Construire le graphe en modélisant l’ensemble des choix possibles,
4. Que représente, dans le grape construit, un chemin du sommet (n,0) au sommet (n + 5,0),
5. Quelle valuation associer aux arcs ? Que représente la valeur du chemin (n,0)-(n + 5,0) ?
6. Quel problème classique doit-on résoudre pour répondre à la question initiale ? Que devez-vous
faire pour minimiser vos dépenses liées au véhicule ?
Exercice 3 : “Le plein, s’il vous plait”
Dans une station service bien équipée, dans laquelle plusieurs employés peuvent agir simultanément au profit d’un même client, les opérations se déroulent de la manière suivante :
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
Opération
Arrivée du conducteur
Ouverture du réservoir
Remplissage du reservoir d’essence
Ouverture du capot moteur
Contrôle de la pression des pneus
Nettoyage du pare-brise
Préparation de la note
Paiement de la note
Contrôle du niveau d’huile
Addition d’huile
Remplissage du radiateur
Addition d’eau distillée dans les batteries
Fermeture du capot
Gonflage des pneus
Essuyage du pare-brise
Départ du conducteur
Opérations préalables
a
b
a
a
a
c,i
g
d
i
d
d
j,k,l
e
f
h,m,n,o
durée (en sec.)
30
10
120
15
80
20
45
25
60
25
50
30
5
100
15
10
Une opération ne peut être effectuée que par un seul employé, et un seul employé ne peut effectuer
qu’une seule opération à la fois. On supposera, de plus, que pour chaque client la totalité des opération
est effectuée.
1. Construire le graphe G = (X, U ) avec X{tâches à effectuer} ∪ {début, fin} = (les tâches début
et fin sont des tâches fictives représentant le début et la fin du passage de l’automobiliste en
station), et (xi , xj ) ∈ U si la tâche xi doit être réalisée avant le début de la tâche xj ,
2. Quelle valuation pouvez vous associer aux arcs ?
3. Dans un tel graphe, que signifie la présence d’un circuit ? Vérifier que le graphe construit ne
possède pas de circuit.
4. Que signifie la notion de racine dans ce graphe ? Le graphe construit possède-t-il une racine ?
5. Quel concept de la théorie des graphes permet de modéliser la “date de début au plus tôt” d’une
tâche xi ? Déterminer dx la date de début au plus tôt de chacune des tâches (on posera ddbut = 0).
Combien de temps l’automobiliste restera-t-il dans la station service ?
6. A quelle date au plus tard la tâche m peut-elle commencer sans retarder le départ de l’automobiliste ? même question pour la tâche i. Comment déterminer la date de début au plus tard d’une
tâche quelconque ?
3
7. Que pensez-vous des tâches pour lesquels les dates de début au plus tôt et au plus tard coïncident ?
8. Tracer le diagramme de Gantt du projet. Combien d’employé faut-il pour un fonctionnement
efficace de la station service ?
Exercice 4
On considère le problème d’ordonnancement défini par les tâches suivantes :
a
b
c
d
e
f
g
h
j
k
Opération
Travaux de maçonnerie
Charpente de la toiture
Toiture
Installations sanitaires et électriques
Façade
Fenêtres
Aménagement du jardin
Travaux de plafonnage
Mise en peinture
Emménagement
Opérations préalables
a
b
a
c,d
c,d
c,d
f
h
e,g,j
durée (en sem.)
7
3
1
8
2
1
1
3
2
1
1. Représenter ce problème sous la forme d’un graphe.
2. Déterminer un calendrier minimisant la durée totale du projet.
3. Déterminer les marges totales de chaque tâche.
4. On appelle marge libre d’une tâche i la quantité m′ (i) = M inj∈Γ(i)(tj −ti −lij ) avec ti la date de
début au plus tôt de la tache i et lij la durée de la tâche i. Calculer et interpréter les marges libres
de chaque tâche.
5. Comment prendre en compte dans le graphe des contraintes su type :
– La tâche j ne doit pas commencer avant la moitié de la réalisation de la tâche i,
– La tâche j ne peut commencer qu’après une durée x après la fin de la réalisation de la tâche i,
– tâche j ne doit pas commencer qu’après une date d,
– tâche j doit commencer avant une date d,
– La tâche j doit commencer exactement après la réalisation de la tâche i.
4