Fiches de physique - LIX

Fiches de physique
Samuel MIMRAM
2000-2001
Table des matières
0.1 Valeurs numériques
π ≈ 3.1416
ln 2 ≈ 0.693
√
2 ≈ 1.414
e ≈ 2.718
ln 3 ≈ 1.1
√
3 ≈ 1.732
ln 10 ≈ 2.3
me ≈ 9.1 · 10−31 kg
e ≈ 1.302 · 10−19 C
mn ≈ m p ≈ 1.67 · 10−27 kg
Na ≈ 6.02 · 1023
−11
G ≈ 6.67 · 10 SI
MTerre ≈ 6 · 1024 kg
MSoleil ≈ 2 · 1030 kg
T S ≈ 86164 s
RS ≈ 42220 km
vS ≈ 3079 m/s
9
rT−S = 1 ua ≈ 150 · 10 m
T T = 1 an ≈ 365.25 × 86400 s
1 cal = 4.18 J : permet d’élever d’1 K 1 kg d’eau
0.2 Analyse vectorielle
→
−
dl = (h1 (q1 , q2 , q3 ) dq1 , h2 (q1 , q2 , q3 ) dq2 , h3 (q1 , q2 , q3 ) dq3 )
cyl : h1 = 1 h2 = r h3 = 1
sph : h1 = 1 h2 = r h3 = r sin θ
~ = ∂. , ∂. , ∂.
Nabla : ∇
∂x ∂y ∂z
−−−→ →
−
d f = grad f · dl
−−−→
~ f = 1 ( ∂ f ), 1 ( ∂ f ), 1 ( ∂ f )
grad f = ∇
h1 ∂q1 h2 ∂q2 h2 ∂q2
−−−→
= ∂∂rf , 1r ∂∂θf , ∂∂zf
grad f = ∂∂xf , ∂∂yf , ∂∂zf
~ = lim 1
div A
V
~=
div A
cyl
cart
→ ~ ~
~·−
A
dS = ∇
·A=
Σ
V→0
∂Ay
∂A x
∂x + ∂y
+
∂Az
∂z
=
1 ∂(rAr )
r ∂r
∂ f
∂r
1 ∂f
, 1r ∂∂θf , r sin
θ ∂φ
∂
∂q1 (h2 h3 A1 )
∂Az
1 ∂Aθ
r ∂θ + ∂z
1
h1 h2 h3
+
h
=
+
sph
∂
∂q2 (h1 h3 A2 )
+
∂
∂q3 (h1 h2 A3 )
H
−
−→ ~
~ ∧A
~ ·→
~
rot A = lim Σ1 C A
dl ~n = ∇
Σ→0 h ~u
h2~u2 h3~u3 1 1
−→ ~
∂.
∂.
rot A = h1 h12 h3 ∂q∂.1
∂q2
∂q3 h A h A h A 1 1
2 2
3 3
−→ ~ ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ay ∂Ax rot A = ∂y − ∂z , ∂z − ∂x , ∂x − ∂y
−−−→
~2
∆f = ∇
grad f )
2 f = div(
2
2
∆ f = ∂∂x2f + ∂∂y2f + ∂∂z2f
= 1r ∂r∂ (r ∂∂rf ) +
~ Σ) =
Flux : φ(A,
!
cart
→
~·−
A
dS
Σ
1 ∂2 f
r2 ∂θ2
+
∂2 f
∂z2
=
cyl
−→
(surf fermée : dS vers l’ext)
1 ∂
(r2 ∂∂rf
r2 ∂r
) +...
→ #
~·−
~ dτ
Th de Green-Ostrogradsky : Σ A
dS = V div A
RQ →
−
~ · dl
Circulation : CPQ,A~ = P A
H
! −→ −→
→
−
~ · dl =
~ · dS
Th de Stokes : C A
rot A
Σ
−
→ # −−−→
Formule du gradient : Σ f dS = V grad f dτ
# −→
→
~ dτ = −
~∧−
~ ∧ B)
~
Formule de Kelvin :
rot A
A
dS
démo : avec div( A
Σ
−−−→
−−−→
−−−→
grad( f g) = f grad g + g grad f
−−−→
~ =A
~ · grad
~
div( f A)
f + f div A
1
sph
i
−−−→
−→ ~
→~
~+ f −
rot( f A) = grad f ∧ A
rot A
−
→
→~
~ ∧ B)
~ =B
~ · rot A
~−A
~·−
div(A
rot B
−−→ ~
−−→ ~
−→ ~ ~
~ ·−
~·−
~ ·A
~ − (div A)
~ ·B
~
rot(A ∧ B) = ( B
grad)A
− (A
grad) B
+ (div B)
−
−
−
→
−→ −→ ~
~
~
~
rot(rot A) = grad div A − ∆A
−−−→ ~ ~
−−→ ~
−−−→ ~ ~ −→ ~ ~ −→ ~
~ ·−
~ · grad)
grad(A · B) = ( B
grad)A
+ (A
B + B ∧ rot A + A ∧ rot B
−→ −−−→
rot grad f = ~0
−→ ~
div rot A
=0
−−−→ 1
grad( r ) =
−~r
r3
=
−~ur
r2
Vecteur surface : S~ =
H −−→ −−−−→
OM ∧ dOM
1
2 Σ
−→
θ
Angle solide (en stéradians) : dΩ = ~u·rdS
= dS rcos
= sin θ dθdϕ
2
2
Au sommet de mesure α d’un cône : Ω = 2π(1 − cos α)
< cos2 t >t =< sin2 t >t =
1
2
sphère : 4π st
< cos t sin t >t = 0
[
Approximation des grandes distances M “loin” de A et B : r B − rA = −a cos θ avec a = AB et θ = BOM
démo : r2B − rA2 ≈ −2ar cos θ et rA + rB ≈ 2a
Conservation de l’énergie, homogénéité de l’espace, isotropie de l’espace
Conservation locale : δχ = δχe + δχc (échange création)
#
−→
δχe = −( J~χ · dS )dt avec J~χ = ρχ~v
δχc = V σχ dτdt
∂ρ
conservation : χ + div J~χ = σχ
∂t
1 Mécanique
Coordonnées cylindriques : ~v = (ṙ, r θ̇, ż) et ~a = (r̈ − r θ̇2 , rθ̈ + 2ṙθ̇, z̈)
on a : rθ̈ + 2ṙθ̇ =
−
−
−
−
(→
ur )0 = θ̇→
uθ et (→
uθ )0 = −θ̇→
ur
2
~
Coordonnées curvilignes : ~v = ṡT~ et ~a = s̈T~ + ˙ρs N
(on a : ṡ = k~vk et T~ = k~~vvk )
2
−
a→ = ~a·~v ~v
(d’où ρ = v avec ~a = ~a − ~a )
T
dA~
dt
v2
=
R
k~aN k
dA~
dt
R0
N
˙
1 ∂(r2 θ)
r ∂t
T
~ R0 /R ∧ A
~
+Ω
−−→
−
−
~ ∧−
~v = →
vr + →
ve (vitesse d’entrainement / relative)
avec ~ve = ~v(O0 ) + Ω
O0 M
→
−
→
−
→
−
~a = ar + ae + ac (accélération relative / d’entrainement / complémentaire (de Coriolis))
−−−→ ~
−−→
~
→
−
~ ∧−
a = dΩ ∧ O 0 M + Ω
∧ (Ω
O0 M)
e
dt
R
→
−
−
~ ∧→
ac = 2 Ω
vr
−−−→
−→
Pour un mouvement de rotation : Fie = −m~ae = mω2 HM
−→
−
~ ∧→
vr
Fic = −2mΩ
Force dérivant d’un potentiel ⇔ conservative
−−−→
F~ = − grad E p
→
−
dE
dW = F~ · dl = −dE p
P = F~ · ~v = − dtp
−−→ ~
−−→
Moment cinétique : ~L = OM ∧ P
= mOM ∧ ~v
−
→ ~ dL −−→ ~
Moment d’une force : MO (F = dt = OM ∧ F (= ~0 si le mouvement est plan)
~
Théorème de l’énergie cinétique : ∆Ec = WAB (F)
P~ ~
dE p
d2 E
Position d’équilibre : F = 0 ou dx = 0
stable : dx2p > 0 / sinon : instable (repos : ~v = ~0)
stabilité : poser x = xéq + ε
→  du 
Frottement solide : RT = kRN ou RT ≤ kRN si ẋ = 0
Frottement fluide : F~ = −k~v
Ressort : F~ = −k(~l − ~l0 )
E p = 12 k(l − l0 )2
−−→
−−→ P
Centre de masse G : M OG = i (mi OAi )
Référentiel barycentrique : centré sur G
−
→
→
−∗
P∗ = ~0
L est le même en tout point
→
~=M−
P
VG
2
− −−→ ~
−−→ →
Théorème de Kœnig : L/O = L∗ + OG ∧ P
et Ec/O = E∗c + 12 MVG2
m2
Deux points : masse réduite du système : M = µ = mm11+m
2
1.1 Forces centrales
K = GmM
2˙
~
−
−
Constante des aires : C = r 2 θ̇ = k→
r0 ∧ →
v0 k = kmLk
démo : aθ = 0 = 1r d(rdt θ) ou bien
1
→ période
Loi des aires (surface balayée) : dS = 2 Cdt (⇐ dS = 12 r2 dθ)
Etablir la loi du mouvement : poser u = 1r
Formules de Binet :
2
2
v2 = ṙ2 + (rθ̇2 )2 = C 2 [( du
dθ ) + u ] (⇒ Ec )
2
2
ar = r̈ − rθ̇2 = −C
[ d u + u]
r2 dθ2
éliminer θ̇ avec θ̇ =
-
E∗m < 0 : e < 1 : ellipse
E∗m = 0 : e = 1 : parabole
E∗m > 0 : e > 1 : hyperbole
car a = µar = −K
r2
E p = −K
r
E∗m = 21 µv20 − rK0 = −K
démo : Em = 12 (˙r2 + r2 θ˙2 ) −
2a
K
r
éliminer θ˙avec C
C
r2
-
d~L
dt
−−→
= MO (O) = ~0)
calculer ṙ et r̈ avec
du
dt
= θ̇ du
dθ
calculer Em en r = a + c et en r = a − c (où ˙r = 0)
2
p = µCK = ±a(1 − e2 ) (⇒ a avec Em )
2
e = ac
a2 = b 2 + c2
p = ba
−
→
−
~ =P
~ ∧ ~L − µK→
U
er = cst
direction : grand axe, sens foyer → périastre ; ϕ = arg(U r + iUθ )
R
2
2
4π2
e
3 loi de Kepler : période : Ta3 = 4π2 Kµ ≈ GM
démo : dS = 21 CT = πab → au carré puis C 2 = baµK car p =
q
√
2
T
Vitesses de libération : v1 = GM
2v1 (car m rv0 = cst)
r0 et v2 =
−→
−
~ =→
~ = −e
Vecteur excentricité : A
e − C ~v = cst
kAk
θ
GM
Éllipse :
2
2
p
équation pol : r = 1+e cos(θ−θ
cart : ax2 + by2 = 1
0)
OF = c
FP = a − c
OC = b
F M + F 0 M = 2a
0
la bissectrice de F[
MF est normale à l’ellipse
FA = a + c
Conservation : du moment cinétique et de E∗m
1.2 Oscillateurs
F = −kX
E p(X) ≈ E p(x0 ) +
kX 2
2
avec X = x − x0
Harmonique :
Isochronisme : ω0 indépendant de X0
Em = 21 KX02 + E p(x0 )
Énergie moyenne : Ec = E p = E2m
avec x0 : puits de potentiel
T=
2π
ω0
= 2π
pm
K
ω0
h
(Ffrott = −h ẋ)
Amorti : ω20 = Km
Q = m
ω0
2
ẍ + Q ẋ + ω0 x = 0
Q < 12 : régime apériodique, Q = 12 : critique, Q > 12 : pseudo-périodique, Q → ∞ : périodique
Décrément logarithmique (rapport entre deux max successifs) constant
Plan de phase : ẋ en fonction de x
dE p
dt = (−h ẋ) ẋ = Pfrott < 0
Frottement solide : F~ = −h × sgn ẋ s’il y a mouvement, F~ = ~0 sinon
oscillations centrés sur ± Kh
Oscillateur harmonique forcé : poser X B = xB − xBéq
Résoudre en posant X0 = X0 e jϕ et q = ωω0 = ff0
Oscillations autour de la pos d’équilibre : intégrer Em = cst avec un  de l’E p
2
dr
1
dr
1 d2 U
(r
−
r
)
=
0
→
multiplier
par
m
+
éq
2
2
dt
2 dt
dt ...
3
µC2
K
=
b2
a
Période des oscillations : Em =
R θ0 dθ
√2 2 =π
−θ
0
1
2
2 m ẋ
+ E p (x)
→
dx =
q
2(Em −E p (x))
dt
m
→
T
4
=
R T /4
0
dt = . . .
θ0 −θ
1.3 Chocs
Quantités de mouvement : P1 + P2 = cst
Élastique : Ec = cst (Ffrott ≈ 0)
mou : Ec , cst
→
− →
−
−
−
Cœfficient de restitution : v01 − v02 = −e(→
v1 − →
v2 )
0<e<1
e = 1 : élastique
e = 0 : parfaitement mou
−→
Sur une surface dure : F~ frott = ~0 ⇒ ~vT = cst ; si élastique : ~v0T = ~vT et ~v0N = −~vN
Choc élastique : ∆~p = 2~p⊥
Il y a conservation : de la quantité de mvt ; si le choc est élastique : de l’E c du syst
1.4 Mécanique du solide
Formule de Gibbs : (~u ∧ ~v) ∧ w
~ = (~u · w
~ )~v − (~v · w
~ )~u
Champ équiprojectif ⇔ antisymétrique (~u · L(~v) = −~v · L(~u)) ⇒ :
−
→
−
→
→
− −−→
Torseur : MP = MQ + R ∧ QP
→
−
−−→
Vecteur lié : (A, ~u) ⇒ glisseur : G P = ~u ∧ AP
couple : torseur uniforme
−
→ −
→0 −
→ ~0 −
→ ~
Comoment (ici noté ⊗) (indép de M) : M ⊗ M = M M · R
+ M0M · R
R −−→
−−→ R −−→
Centre d’inertie G : GM dm = ~0 et mOG = OM dm
Théorèmes de Guldin :
– Asurf engendrée par la courbe = Lcourbe × Lcercle engendré par G
– Vengendrée par la suf = Asurf × Lcercle engendré par G
−→
~ ∧−
Torseur cinématique (des vitesses) : ~v B = ~vA + Ω
AB
R −−→
~ c = ~p = m~vG
Torseur cinétique : σ
~ A = AM ∧ ~v M dm
R
R −−→
~ d = m~aG
R
Torseur dynamique : ~δA = AM ∧ ~a M dm
~ 1 /R) =
Ω(R
d~j1
dt
R
~k1 ~i1 + d~k1 ~i1 ~j1 + d~i1 ~j1 ~k1
dt
dt
R
R
σ
~A = σ
~ ∗A
~ ∧ ~i1 =
⇒Ω
d~i1
dt ...
R −−→
−−→
ω ∧ OM) dm
Opérateur d’inertie R: σ
~ O = J(O) ω
~ = R OM ∧ (~
R
coef diag : I xx = (y2 + z2 ) dm = d∆2 dm
I xy = − S xy dm
Moment d’inertie : J∆ = ~u · J(O)~u
rotation autour d’un axe : σ∆ = J∆ ω
Th d’Huygens : J∆ = J∆G + md2 (∆//∆G )
Moments d’inertie :
– sphère : J∆G = 32 mR2
– boule : J∆G = 52 mR2
– disque : J∆G = 12 mR2
– cylindre [creux] : J∆G = [ 21 ]mR2
1
– barre : J∆G = 12
ml2
Calcul de J pour une sphère :
#
d∆2 dm =
2
3
#
r2 dm
∗
−−→
−→
−−→
~δA = ~δ∗ + −
Th de Kœnig : σ
~A = σ
~ ∗ + AG ∧ m~vG
AG ∧ m~aG = d~dtσ + AG ∧ m~aG
σA
si A fixe (ds R galil) ou A = G ou ~vA /~vG : ~δA = d~dt
dσA
svt : δA = dt = J ω̇ = J θ̈
~c + ω
~ ·σ
~ G ) = 12 (~v ⊗ σ
~ ) = 12 mvG2 + 21 J∆ ω2 = 12 mvG2 + ECK
Th de Kœnig (att : l’Ec dépend du réftl) : Ec = 21 (~vG · R
−−→
−−→
Th de Kœnig : J (O) ω
~ = J(G) ω
~ + mOG ∧ (~
ω ∧ OG)
p
Th de la résultante cinétique () : d~
dt =
−
→
Th du moment cinétique () : ~δ = Mext
A
P~
fext
4
Th de l’énergie mécanique () :
dEc
dt
= P = Pint + Pext
(ds un réftl galil ou barycentrq)
−
→ ~
Écrire le  au point d’application des forces de frottement (→ M(R)
= ~0)
Ds un réftl galil : ∆Em = WNC
syst conservatif : Em = Ec + E p = cst
−−−→
~
dV = grad V · dl
dW = −dV
∆W = −∆V
La puiss des actions int est indép du réftl choisi
R −−→
R
−
→ ~
−
→
−→
~ ∧−
Moment d’une force : MA (F)
= AM ∧ dF~ = MO + ( dF)
OA
−
→ ~
−
→ ~
Puissance (dépend du réftl) : P ~ = F~ · ~v M + M M (F)
·ω
~ = ~v ⊗ M(F)
F
−
→
−−→
Champ de pesanteur : MO = m~g ∧ GO
−−−→
−−−→
g = MP
g
Force pressante : d f~ = − grad Pdτ
svt : grad P = ρ~g = M
V~
RT ~
Condition de roulement sans glissement : ~v I = ~0
→ ˙x + rθ˙= 0
~ t k ≤ f kR
~ n k) :
Lois de Coulomb (kR
~ t opposé à ~v
~ t k = f d kR
~nk
– si glissement : R
kR
~ t k = f s kR
~nk
– sinon : kR
Liaison parfaite : puiss des actions de contact = 0
2 Électrocinétique
Densité particulaire de porteurs de charge : nm =
Densité de charge mobile : ρm = qnm
Densité de courant en un point : J~ = ρm~v
−→
Charge : dQ = ( J~ · dS )dt
~ −→
Intensité : dI = dQ
dt = J · dS
dN
dτ
Conservation de la charge : div J~ + dρdtm = 0
Loi d’Ohm locale : J~ = γ E~
γ : conductivité
I = JΣ = γΣE
U = El = RI avec R = γSl = ρl
ρ = γ1 : résistivité
S
démo : U =
R
R −−−→ →
− R ~ →
−
dV = − grad V · dl = E
· dl =
1
R
γS
l
1
γ
R
→
−
J~ · dl =
1
γS
Il
Conductance : G = =
∆V = RI
Résistances : série (R = R1 + R2 ) / parallèle (G = G 1 + G2 )
2.1 Réseaux linéaires
Lois de Kirchhoff :
P
– loi des nœuds : i εi Ii = 0
P
P
– loi des mailles : i εi Ri Ii = k εk ek
Théorème de superposition : la solution du système global est égale à la somme des solutions à un générateur (+ générateurs
dépendants)
P
P
VAi /Ri
V /R +I
Pi i j )
Théorème de Millman : VN = Pi i 1/R
(V
=
N
1/Ri
i
Équivalence triangle-étoile : R0A =
RB RC
RA +RB +RC
démo : considérer les cas où i = 0 ds une branche de l’étoile
Symétrie : un point et son symétrique sont au même potentiel → il ne passe pas de courant entre entre eux
Antisymétrie : deux points sur l’axe sont au même potentiel...
Théorème de Thévenin :
– eth : U en sortie ouverte
– Rth : Réq , générateurs éteints (sauf commandés)
r
Pont diviseur de tension : U AB = e R+r
5
Matrice de transfert : (u s , i s ) = M(ue , ie )
matrice impédance : (u s, ue ) = M(i s , ie )
2.2 Réseaux linéaires en régime variable
du
Condensateurs : q = Cu
i = dq
WE = 21 CU 2
dt = C dt
di
1
2
Bobines : U = L dt
WB = 2 LI
En régime continu C ⇔ -/- et L ⇔ —
,ω→∞
Continuité de la tension aux bornes de C et du courant qui traverse L
2
di
Régime variable : ddi2i + ωQ0 dt
+ ω20 = 0
Q < 21 : apériodique, Q = 12 : critique, Q >
Décrément logarithmique constant
1
2
: pseudo-périodique, Q → ∞ : périodique
2.3 Régime sinusoidal forcé
Impédances : R
C:
1
jCω
L : jLω
dU
dt
= jωU
Forme canonique : I =
E
1
1+ jQ(x− 1x )
et U = 1+ jQ(x− 1 )
x
q
Q = RL ω0 = R1 CL
avec x =
svt : ω0 = √1LC
Q : facteur de qualité
Fonction de transfert (gain en tension à i s = 0) : H =
Gain : GdB = 20 log kHk
phase : ϕ = arg(H)
Bande passante : G (−3 dB) = G√max (20 log( 21 ) ≈ −3)
P∞
k=0 [an
bn =
cn =
=
=
∆F
F0
F
F0
Us
Ue
∆ω
ω0
2
Séries de Fourier : f (t) = a20 +
RT
an = T2 0 f (t) cos(nωt)dt
P
i nωx
cplx : f (x) = ∞
−∞ cn e
ω
ω0
=
1
Q
cos(nωt) + bn sin(nωt)]
R
2 T
T 0
1
2 (an
f (t) sin(nωt)dt
(parité !)
− i bn ) et c−n = 12 (an + i bn )
ω=
ck =
2π
TR
1 T
T 0
f (t) e− i kωt dt
√
√
U = U eff 2 cos(ωt + ϕ)
I = Ieff 2 cos(ωt + ϕ)
RT
Puissance moyenne : P = T1 0 ui dt = Ieff Ueff cos ϕ
Puissance complexe : P = 12 U · I ∗ (puissance active : P = <(P), puissance réactive : =(P))
Amplificateur opérationnel :
i+e ≈ i−e ≈ 0
v s = µ(v+e − v−e ) = µε
µ : gain
v s ≤ v smax ⇒ v+e − v−e ≈ 0
dv s
fonctionnement linéaire : τ dt + v s = µε
appliquer le th de Millman aux bornes d’entrée
rétroaction : tjrs sur la borne pour être stable
µ ≈ 105
τ ≈ 10−2 s
Re ≈ 1011 Ω
Rs ≈ 1 Ω
Vsat ≈ 15 V
imax ≈ 10 m V
   ...
3 Ondes életromagnétiques
3.1 Équations de Maxwell
−→ ~
−→ ~
~
~
~=0
~= ρ
div B
rot E = − ∂∂tB
rot B = µ0 ( J~ + ε0 ∂∂tE )
div E
ε0
µ 0 ε0 c2 = 1
µ0 = 4π · 10−7 SI
P
Vecteur densité de courant : J~ = ρ~v = ni qi~v
(ρ : densité volumique de charge)
Conservation locale de la charge : div J~ +
∂ρ
∂t
→~
~:B
~=−
Potentiel vecteur associé à B
rot A
−
−
−
→
~
Potentiel associé à E~ : E~ = − grad V − ∂∂tA
~
∆V = − div ∂∂tA −
=0
⇐
∂Q
∂t
=−
−→ ~
car div rot A
=0
−→ −−−→
car rot grad V = 0
ρ
ε0
~=0
Jauge de Coulomb (→ statique) : div A
~+
Jauge de Lorentz (→ propagation) : div A
1 ∂V
c2 ∂t
=0
6
Σ
−→
J~ · dS =
∂
(
∂t
#
V
ρ dτ)
ou
−→ ~
div rot B
=0
−→
~ =∇
~0
Par une transfo de Galilée (~v = cst coli à ~i) : ∇
−
−
−
→
d.
∂.
v · grad)
or dt = dt0
donc ∂t∂.0 =
dt = ∂t + (~
0
ρ : invariant
f~ = f~
∂.
∂t
~ avec V
~ ·∇
~ = ~v − ~v0
+V
−→
Maxwell-Gauss : div E~ = ερ0 ⇒ th de Gauss : Σ E~ · dS = Qεint0
→
~ ·−
~ =0⇒B
~ à flux conservatif :
B
dS
Maxwell-Flux : div B
Σ
!
H
→
→
−
−→
~
~ ·−
Maxwell-Faraday : rot E~ = − ∂∂tB ⇒ loi de Lenz : C E~ · dl = − ∂t∂ Σ B
dS
H
−
−→ ~
~
~ ·→
dl = µ0 I
Maxwell-Ampère : rot B
= µ0 ( J~ + ε0 ∂∂tE ) ⇒ th d’Ampère : C B
~ 2 − E~ 1 =
À travers une surface chargée : E
~2 − B
~ 1 = µ0 J~S ∧ ~n12
B
σ
n12
ε0 ~
3.2 Phénomènes vibratoires
Onde monochromatique : V(t) = V0 cos(ωt + ϕ)
(quasi : A0 (t) ≈ cst sur une période)
Addition de 2 ondes isochrones : V 2 = VV ∗ = V021 + V022 + 2V01 V02 cos ∆ϕ
Onde progressive : dépend de t ± cx
h i
Onde plane progressive : ψ(t − ~uc·~r )
monochromatique : ψ = ψ0 cos ω t − ~uc·~r = ψ0 cos(ωt − ~k · ~r)
les ondes planes se mettent ss la forme : ψ(x, t) = f (t − cx ) + g(t + cx )
Onde sphérique : ψ(r, t) = ψr0 cos[ω(t − cr )]
Onde stationnaire : ψ(x, t) = f (x)g(t)
Sont solution de l’éq des ondes : ∆ψ =
démo : mq ∆ψ =
1
r
∂2 (rψ)
∂r2
1 ∂2 ψ
c2 ∂t2
⇒ φ = (rψ) sol de l’éq en dim 1
−→ ~
−→ ~
~
~
~ = ~0
Éq de Maxwell ds le vide : div E~ = ~0
div B
rot E = − ∂∂tB
rot B = µ0 ε0 ∂∂tE
2~
2~
−
−
−
→
−→ −→
~B
~E
~ = 12 ∂ E2
~ = 12 ∂ E2
~ F)
~
∆
µ 0 ε0 c2 = 1
(avec rot rot F~ = grad div F~ − ∆
On en déduit : ∆
c ∂t
c ∂t
ω
~k : vecteur d’onde ; coli à la direction de propagation
k = 2π
λ = c
1
c : célérité
ds le vide : c = √ε0 µ0
Vitesse de phase : vϕ =
E = hν =
hc
λ
ω
k
vitesse de groupe : vg =
dω
dk
= kB T
Milieu homogène : ε = εr ε0
µ = µ r µ0
c0 = √εcr µr
√
λ0
Indice de réfraction : n = εr µr
λ= n
n = vc > 1
2~
E
∂
1
1
~B
~ E~ = 2 2
~ = 2 ∂2 B2~
∆
v(~r)
Milieu non homogène : ∆
v ∂t
air : n = 1, verre : n ≈ 1, 5
v ∂t
Sols ss la forme ψ(~r, t) = A(~r) exp[i(ωt − ϕ(~r))]
−−−→
Approximation de l’optique géom : k grad ϕk = ωv
−−−→
−−−→
d’où : ~k = grad ϕ
k~kk = k grad ϕk = ω = 2π
avec A(~r) ≈ cst devant ϕ(~r) (phase) :
λ
v
−−−→
grad ϕ ⊥ surf équiphases
Th de Malus : les rayons sont perpendiculaires aux surfaces d’onde
Principe du retour inverse de la lumière
Chemin optique : dL = n ds
(AB) = c ∆t
Principe de Fermat : la lumière emprunte le plus court trajet possible
−−−→
u)
Éq des rayons lumineux d(n~
ds = grad n
−−−→
−−−→
démo : mq grad L = n~u avec dL = grad L d~r et d~r = ~u ds puis
Repère de Frénet :
1
R
∆A
A
−−→
~ ·−
=N
grad n
−−→
d −
(grad L)
ds
(dL = 0)
−−−→
= grad( dL
)
ds
Polarisation () : ϕ = ϕy − ϕz avec E x = E x0 cos(ωt − kz) et Ey = Ey 0 cos(ωt − kz − ϕ) :
– sin ϕ > 0 : polarisation elliptique gauche (sens trigo) , sin ϕ < 0 : droite
– ϕ = ± π2 et E x0 = Ey0 : polarisation circulaire gauche (+) / droite (−)
– ϕ = 0 ou π : polarisation rectiligne
~ =
Vecteur de Poynting : Π
1 ~
µ0 E
~
∧B
m
Bilan énergétique : − dW
dt = Pcédée ds V
~ + ∂Wm
local : − J~ · E = div Π
→
~ ·−
~ > dS
Π
dS
< P >=
<Π
#
→
~ ·−
dS
+ Pcédée à l’ext = V J~ · E~ dτ + Σ Π
P=
∂t
7
−−−→
k grad ϕk2
Pression électrostatique :
σ2
2ε0
−→
dS
Pression magnétostatique : J~S ∧
~E =
démo : Π
~
B
2
dq E~
( )
ds 2
−→
dS = − 21 µ0 JS2 dS
= σ×
→
1 σ−
dS
2 ε0
=
→
σ2 −
dS
2ε0
~ B = J~S ∧
démo : Π
~
B
2
=
µ0
2
−→
−→
J~S ∧ ( J~S ∧ dS ) = − µ20 JS2 dS
3.2.1 Réflexion
~ = 2E0 sin kx sin ωt ~ey
Sur un métal ⊥ : E
(onde stationnaire)
démo : E/ = 0
E
0
~ = 2 cos kx cos ωt ~ez
 : B
c
< Wem >t = ε0 E 2 (onde incidente : Wem = 12 ε0 E02 )
démo : Wem = 12 ε0 E2 + 2µ10 B2
2E
0
σ=0
J~S =
cos ωt ~ey
µ0
~
~ 0 = B ) : Pm = ε0 E 2 ~e x
pression de radiation ( B
2
Corpusculaire : photon : E = hν
hν
n
c~
~p =
Wem = Nhν
∆~p =
hν
n2
c (~
d~p
dt
− ~n1 )
∼ force
~ et B
~
Isolant : σ = 0 et J~S = ~0 à l’interface → continuité de E
→~
~
~ à partir de E~ :  : −
Calcul de B
rot E
= − ∂∂tB
et vice versa avec 
σ
~
~
~
~
Calcul de JS et σ : avec E = ε0 ~n et B = µ0 JS ∧ ~n
3.2.2 Propagation
−→ −→ ~ −−−→
~A
~ −∆
~
démo : rot rot A
= grad(div A)
~B
~ E~ − 12 ∂2 E2~ = ~0
~ − 12 ∂2 B2~ = ~0
∆
∆
c ∂t
c ∂t
−−→
→~
~
~ =−
~ = −−
B
rot A
E
grad V − ∂∂tA
~ + 12 ∂V = 0
Jauge de Lorentz : div A
c ∂t
−→ ~
~
avec rot B
= µ0 ε0 ∂∂tE
2
2
∂.
∂.
1 ∂.
∂.
− 1c ∂t
 : F(u, v) = f (x, t) ; ∂∂x2f − c12 ∂∂t2f = 0 ⇔ ∂x
∂x + c ∂t f = 0 ⇔
~ 0, B
~ 0 ) : trièdre direct
 : (~k, E
~
~ = 1 ~n ∧ E
Structure locale d’ : la norme est ≈ indép de r et B
c
∂f
∂f
V
~
~
 : ∂t = −c ∂x
A x = c + cst (jauge de L)
E⊥B
B = Ec
1
c
EB
2
2
2
~ =
n = cε0 E ~n = µ0 B ~n
Π
µ0 = cµ0 E ~
δ~p
δt
énergie
Wem ∼ volume
∼ π = ε0 E 2 (pression)
2
~ = cWm~n
Wm = ε0 E 2 = Bµ0
Π
−4 ∂2 F
c2 ∂u∂v
= 0 avec u = t −
x
c
et v = t +
x
c
= π dΣ ~n
~
Densité volumique de quantité de mvt : ~g = ε0 E~ ∧ B
~ = E~ 0 exp[i(ωt − ~k · ~r)]
 : E
~
< Π >t = 2µ1 0 E0 B0 = 21 cε0 E02
∂.
∂.
∂.
~ = − i ~k
= −1
∇
démo : ∂x
c ∂t
∂t = i ω
~
Revenir en notation réelle pour calculer Π
Milieux isolants : ε = εr ε0 et µ = µr µ0
Dispersion : c0 = nc avec n(ω)
q
~ = ε E 2 ~n
 : Π
~ >t = <
ou bien : < Π
n=
√
1 ~
2µ E
~∗
∧B
ε r µr
µ
Loi d’Ohm locale : J~ = γ E~
~ − µ0 γ ∂ E~ − ε0 µ0 ∂2 E2~ = ~0
Éq de propagation : ∆E
∂t
∂t
→~
−→ −→ ~
−→
~
~ −
démo : J~ = γ E,
rot B
= . . ., rot rot B
= . . ., rot E~ = − ∂∂tB
Relation de dispersion : k = f (ω)
γ
k2 = εµω2 (1 − i εµ
)
~ − µ0 γ ∂ B~ − ε0 µ0 ∂2 B2~ = ~0
∆B
∂t
∂t
avec l’éq de propagation en cplx
~
|ε ∂ E |
de déplacement|
∂t
k2 = k02 (εr µr )(1 − Qi )
facteur de qualité : Q = |courant
|courant de conduction| = | J|
~
ω
att : a priori, c , k
Onde évanescente : q
onde stationnaire atténuée
(⇔ k ∈ i R)
~
2
Effet de peau : δ = µ0 ωγ
démo : relation de dispersion en négligeant le courant de déplacement en ( ∂∂tE ) → E = . . . × e x/δ
P
Ds un plasma, γ avec : J~ = γ E~ = qi vi
8
3.2.3 Rayonnement
~ + 12 ∂V = 0
Jauge de Lorentz : div A
c ∂t
~A
~ = 12 ∂2 A2~
∆V =
Éq des potentls : ∆
c ∂t
Solution des potentiels retardés :
1 ∂2 V
c2 ∂t2
1
V(~r 0 , t) = 4πε
0
−−−−→
Dipôle oscillant : q = q0 ei ωt
~s = O− O+
θ p
~ r, t) = µ0 ~p˙ (déf)
V(~r, t) = cos
A(~
4πr
4πε0 r2 +
→~
~ r, t) = µ0 sin θ ˙2p + p̈ ~eϕ (avec B
~ =−
rot A)
B(~
4π
r
#
V
ρ(t− rc )
r dτ
i ωt
~p = q0 e ~s
ṗ
rc
(avec Lorentz et
Eθ =
rc
sin θ
4πε0
p
r3
+
~ r0 , t) =
A(~
µ0
4π
∂. ∂r
∂r ∂z
=
∂.
∂z
ṗ
r2 c
=
+
p̈
rc2
#
V
~ r)
J(t−
c
r dτ
∂.
∂r
cos θ ou déf)
−−→
~ = −−
(avec E
grad V −
~
∂A
)
∂t
3.2.4 Propagation guidée
~ = E~ 0 (x, y) exp[i(ωt − kz)]
~=B
~ 0 (x, y) exp[i(ωt − kz)]
À l’intérieur
du guide
d’ondes : E
B
ρ = 0, J~ = ~0
∂. ∂.
~
∇ = ∂x , ∂y , − i k
Mq E0 x , E0y , B0 x , B0y s’expriment en fonction de E 0z et B0z et de leurs dérivées spaciales avec  et 
Écrire les éq de propagation (∆E z −
2
∂2 E 0 z
∂2 E
+ ∂y20 z = k2 − ωc2 E0z ...
∂x2
1 ∂2 E z
c2 ∂t2
= 0 et en Bz) en cplx
Ondes transversales électriques : E 0 z = 0 ; chercher une sol de l’éq de propagation ss la forme B0 z = B0 0 X(x)Y(y)
2
2
2
2
2
1 d2 X
+ Y1 ddyY2 = −( ωc2 − k2 ) ⇒ X1 ddxX2 = χ2x et Y1 ddyY2 = χ2y avec χ2x + χ2y = ωc2 − k2 ... χ x = nπ
X dx2
a ...
σ
1
~ n = ~0, E~ ∧ ~n = , B
~ = J~s ∧ ~n
Conditions aux limites : E~ t = ~0, B
ε0
Modes propres : l = p
µ0
~ = ~0 ⇒ E(x, y) = E(x)
div E
E~ = E(x, y) ei(ωt−kz)
λp
2
d’où k p =
éq de propagation → solution
pπ
l
3.3 Optique
Suivant λ(nm) : 0.4 (violet) – 0.56 (jaune) – 0.6 (rouge) – 0.8 : visible
γ – rayons X (10−10 m) – ultraviolet . . . infrarouge – microondes
Réflexion : θi = θr
– centimétrq
réfraction (loi de Descartes) : n1 sin i2 = n2 sin i2
continuité des composantes T et N ← Maxwell
Incidence Brewster : tan i B =
n2
n1
: seule la composante de E~ ⊥ au plan d’incidence est transmise par réflexion
~
Principe de Frénet → n1~u1 − n2~u2 coli à N
0
démo : introduire O origine ds dL = 0 entre A1 et A2
grandissement : γ =
Grossissement : G = αα
0
Relation de Lagrange-Helmotz : γG = nn
Stigmatisme : deux rayons entrant / sortent /
A0 B0
AB
−−−→
−−−→
pr deux rayons / : L(B0 Bi) − L(A0 Ai ) = cst = ni~ui · Ai Bi − n0~u0 · A0 B0
Sinus d’Abbe (aplanétisme, vertical) : n AB sin α = n0 A0 B0 sin α0
Condition de Hershell (stigmatisme longitudinal) : n AC sin2 α2 = n0 A0C 0 sin2
Objet / image réel / virtuel
focale, plan focal
α0
2
Lorsqu’on entre ds un milieux plus réfringeant, le rayon se rapproche de la normale
Dioptre plan : A0 H =
– radio (> 1 km)
tan i
tan r AH
0
≈
n2
n1AH 0
e n n−n
0
Lame à faces parallèles : AA =
Prisme : A = r + r0
[ sortant)
déviation : (rayon entrant,
D = A − (i + i0 )
angles faibles : D = (n − 1)A
condition d’émergence : A − λ ≤ r ≤ λ avec sin λ = 1n et A ≤ 2λ
Penser à : aa0 = bb0 = aa−b
0 −b0
Focale : f = HF et f 0 = HF 0
x = FA, x0 = F 0 A0
p = HA = f + x
0
Vergence : V = −nf = nf 0 (convergente : V > 0)
Dioptre sphérique :
0
n0
n
n0 −n
γ = − xf = − xf 0 =
S A0 − S A = S C
n S A0
n0 S A
xx0 = f f 0
f0 =
9
n0
n0 −n S C
f
f0
0
= − nn
n0
CA0
0
0
n
− CA
= nCS−n
γ = nn0 CA
CA
Lentille mince (S 1 ≈ S 2 ≈ S ) :
1
1
1
1
1
p0 − p = f 0 = (n − 1)( R1 − R2 )
γ=
−f
x
=
Formule de Gullstrand : V = V1 + V2 − dV1 V2
−x0
f0
xx0 = f f 0 = − f 02
f = −f0
1
f0
= (n − 1)( S 1C1 −
n0
n)
(⇐ γG =
Tracé des rayons :
– entre / à l’axe → sort en passant par F 0 et vice-versa
– les rayons passant par O ne sont pas déviés
– des rayons / focalisent sur le plan focal image
Lunette réglée à l’infini : entre / → sort /
f0
f0
Doublet (a, b, c) : deux lentilles : a1 = be = c2
Plan principal objet : rayon horizontal ∩ le rayon émergeant
Points principaux (H) : γ = 1, antiprincipaux (H ∗ ) : γ = −1, nodaux : G = 1
Mirroir : n0 = −n
plan : R = S C = ∞
3.4 Interférences lumineuses
Source cohérente : ∆ϕ = cst
m̂ source et δ L (L : lg de cohérence)
I = 21 < ψψ∗ >
√
2 sources cohérentes : I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ϕ
m̂ I0 : I = 2I0 (1 + cos ϕ)
−Imin
Visibilité (contraste) : V = IImax
max +Imin
Interfrange : ϕ = 2π ou δ = λ
Ordre d’interférence : p = λδ0
−−−−→
Onde sphérique : ϕ = 2π δ ∆ϕ = ~k · S 1 S 2
λ0
~ = ~k2 − ~k1
 de m̂ amplitude : vecteur interférence : K
Utiliser le th de Malus
~ · ~r
ϕ=K
interfrange : i =
λ
2 sin( α2 )
Loi de Malus : I ∝ cos2 θ (intensité lumineuse transmise)
Trous d’Young : δ = sX
i = λD
(D “assez grand”)
D
s
h
i
δ
1
+
cos(2π
)
Interférence à 2 ondes de m̂ amplitude : I = Imax
2
λ
R l/2
Fente de largeur l : I(M) = Il0 −l/2 Idy
R νsup
Avec spectre : I = ν kIν (ν)[1 + cos( 2πcδν )]dν
inf
caractère non monochromatique insensible si : 2πδ
∆ν1/2
c
2π
∆ν1/2 c
δ
λ2
∆λ1/2
δ
Modélisations du spectre de raies (dI = kIν (ν)dν) :
– rectangle
– lorentzienne : Iν (ν) = 1+[2πτc1(ν−ν0 )]2
(gaz à haute pression)
(ν−ν )2 0
(effet Doppler)
– gaussienne : Iν (ν) = exp − 2σ2
1
sinc : x 7→ sinx x
poser σ = λ1 = νc (nombre d’onde)
fonction d’Airy : x 7→ 1+M sin
2 x
(2)
h i kx ia
Ra
= 2a sinc ka
faire des changements de var pr s’y ramener
max pour x ≈ (2p + 1) π2
ei kx dx = ei k
−a
−a
Longueur de cohérence temporelle lt : D qui annule la première fois la visibilité
2
transmission : t12 =
Coef de réflexion (reste ds 1) : r12 = ψψ0r = nn11 −n
+n2
2
2
T =t
R=r
pas de pertes : T + R = 1
⇒ attention au déphasage de π si r12 < 0 (ex : air / verre)
Michelson : lame d’air (à l’infini) / coin d’air
Ondes transmises à travers une lame pleine : δ = 2ne cos r
Lame pleine à l’infini : I = 1+MImax
ϕ = 2π
λ 2ne cos r
sin2 ϕ
2
2n1
n1 +n2
lame d’air : δ ≈ 2e ≈ 2αx
pλ
anneaux : cos r = 2ne
figures d’interférence : avec i ≈ nr
r p avec cos r p ≈ 1 −
x2
2e
+
π
e
≈
Anneaux de Newton : ϕ = 2π
λ
2R
r2p
2
10
dans ϕ = 2pπ
1
S C2 )
Réseau de N fentes en incidence normale à l’infini : I(M) = NI0
Pouvoir de résolution (sépare les lg d’onde) : PR =
Dispersion en différence de phase : Dϕ = dϕ
dλ
sin(N ϕ2 )
N sin( ϕ2 )
2
λ
∆λ
a−b
Battements en intensité : utiliser cos a + cos b = 2 cos( a+b
2 ) cos( 2 )
Principe de Huygens-Fresnel : diffraction : chaque pt atteint par une onde se comporte comme une src secondaire d’onde
sphérique
! de m̂ pulsation que l’onde incidente et d’amplitude proportionnelle ; rapidement ≈ plane
ψ(P) = Σ ψ(M)Q exp(iR kR) dS
[Q] = L−1
Diffraction de Fraunhoffer : à l’infini + dioptre plan
−−→
−−→
)
r = kOMk M(x, y) P(X, Y)
Q indép de R (car R grand)
R = k MPk ≈ r(1 − xX+yY
r2
ψ(M)
Transmittance du diaphragme : t(x, y) = ψ0
!
→
− −−→
ψ(P) = QR Σ ψ0 t(x, y) exp(− i k · OM) dx dy
→
− −−→ 2π
~k = 2π ( X ~e x + Y ~ey + Z ~ez )
k · OM = (ux + vy) avec u = X et v = Y
λ
r
r
Max relatif de lumière : u p = p λa
Réseau la transmittance (∈ C) varie périodiquement
→
− −−→
Déphasage de rayons arrivant / : ϕ = k0 · OM
λ
r
r
r
Fente rectangulaire en diffraction : I(M) = KI0 (ab)2 sinc2 [ λπ (α − α0 )a] sinc2 [ λπ (β − β0 )b]
!
−−→
Réseau de fentes / en transmission : ψ(P) = Kψ0 t(x, y) exp[− i(~k − ~k0 ) · OM] dx dy
Nφ 2
sin( 2 )
(sin
α
−
sin
α
)]
I = I0 sinc2 [ πε
0
λ
sin( φ )
2
Formule des réseaux (ϕ = 2πp) :
– en transmission : sin α − sin α0 = p λa = pnλ
– en réflexion : sin α + sin α0 = p λa
a : distance entre 2 fentes
n : nb de fentes par unité de lg
Dispersion angulaire : D = dα
dλ
Angle de déviation max : D(α0 ) = α − α0 maximal
knλ = 2 sin( D2m )
4 Champs en
1
r2
~
F~ = q(E~ + ~v ∧ B)
4.1 Électrostatique
1
−12
SI
ε0 ≈ 36π10
9 SI ≈ 8.85 · 10
dq
Charge volumique : ρ = dτ
Densité surfacique de charge : σ = dq
ds
Densité linéique de charge : λ = dq
dl
Conductivité γ : J~ = γ E~ (loi d’Ohm locale)
Utiliser les symétries / antisymétries
Champ électrique : E~ =
th de superposition
q −
u−→
4πε0 r2 AB
Plan infini : E~ = 2εσ0 ~n
Disque : E = 2εσ0 (1 − cos α)
Le champ dérive d’un potentiel / la force dérive de l’énergie potentielle
−−→
~ = −−
E
grad V
(exprimé ds le repère local en cyl)
→
−
Circulation : dC = E~ · dl = −dV
C = −∆V
diverge lorsqu’il y a des charges à l’infini
Potentiel électrostatique : V = 4πεq 0 r + cst
Énergie potentielle électrostatique : E p = qV
δW = −dE p = −q dV
11
~ −−→
car ψ(M) = ψ0 ei k0 ·OM
Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles, dans le sens des potentiels décroissants
−→
Flux de E~ : dΦ = E~ · dS
Q
Pour une charge ponctuelle : dΦ = 4πε
dΩ
0
(ΦG~ = 4πGMint )
Théorème de Gauss : flux à travers une surface fermée : Φ = Qεint0
H −→
Q
~
⇒ Σ dS · E = ε0 → E → V + cst (cst : par continuité / par le potentiel en O)
Théorème de Gauss local (éq de Poisson) : div E~ = ερ0
Unicité
la solution à l’éq de
Laplace (∆V 2= 0) 2 de
∂2 f
∂2 f
∂2 f
= 1r ∂r∂ (r ∂∂rf ) + r12 ∂∂θ2f + ∂∂z2f
∆ f = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2
cart
chercher les sol ss la forme : V(r, θ) = f (r)g(θ)
ρ
ε0
∆V +
=0
cyl
svt : f (r) = Cr α
Méthode des images électriques : placer des autres charges pour “simuler” une équipot (métal)
R2
charge q en B, sphère (O, R) V = 0 ⇔ −λq placée en A tq : d = OA = OB
et λ = Rd
−
~ = K→
Lignes de champ : E
dl ⇔
dr
Er
= rdθ
Eθ
→
−
Équipotentielles : V = cst ou E~ · dl = 0
~2 − E
~2 =
Lorsqu’on traverse une surface chargée, discontinuité du champ normal : E
−
σ→
→
−
~
~
Th de Coulomb : E = n
(⇒ σ = ε E · n )
ε0 e
0
e
Positions de Gauss : intersection avec les axes (θ =
nπ
2 )
1
Taylor de PM
au voisinnage de O :
~ = Q 2−
– distribution pôlaire : V = 4πεQ0 r et E
u−−→
4πε0 r GM
→
− −−→
P
1 P ·OM
– distribution dipôlaire ( i pi = 0 et G− , G+ ) : V = 4πε
3
0 OM
P
– distribution quadripôlaire ( i pi = 0 et G− = G+ ) : calculer AM 2 puis
Énergie potentielle
(W pr amener
#
# les charges à l’∞) : Wélec =
E 2 dτ
Wélec = 21 V ρV dτ = ε20
1
2
P
i
1
AM
q i Vi
−−→ −1/2
= AM 2
, faire un 
(Vi : V en i par les qi, j )
Dipôles électrostatiques :
−−−−→
~ = QG
Moment dipôlaire : P
− G+ ~r
Q G− G+ cos θ
P·~
cos θ P sin θ
V = 4πε
E~ = 2P
=
3
2
3 , 4πε r3
4πε0 r
4πε
r
0r
0
0
~ r)~r−Pr
~ 2
3(P·~
1
Écriture intrinsèque : E~ = 4πε
5
r
0
~ · E~
Énergie potentielle du dipôle : Wd = Q(VA − VB) = −P
−
−
−
→
~ · grad)E~
Force exercée par le champ sur le dipôle : F~ = (P
−Q2
Énergie propre (de formation) : W = 4πε0 AB
Champ électrique sur le dipôle :
−
−
→
−
→ →
– force résultante nulle : F~ = qE0 − qE0 = 0
~ sur E~ : ~Γ = P
~∧E
~
– couple de moment qui tend à aligner P
−→
Pression électrostatique : dF =
→
σ2 −
2ε0 dS
Capacité d’un condensateur : C =
Condensateur plan : C = ε0dS
P
Association de C :
série : C = k
Ep =
1 Q2
2 C
=
1
2 QV
=
1
2
2 CV
(~Γ → 0)
−→
~
(car dF = dq E)
Q
U
(U = ∆V)
1
Ck
(car dE p =
/ /:C =
qdq
)
C
avec V1 − V2 =
P
R r2
r1
−
~ ·→
E
dr
k Ck
4.2 Magnétostatique
~ =0
div B
σ
n12
ε0 ~
−→ ~
~
rot B = µ0 ( J~ + ε0 ∂∂tE )
~=0
Jauge de Coulomb : div A
~A
~ + µ0 J~ = ~0
⇒ éq de Laplace : ∆
# J(P)
~
µ0
~
diverge lorsqu’il y a des courants à l’infini
Potentiel vecteur : A(M)
= 4π
−−→ dτ
kPMk
R
→
−
− ~
µ0
I dl
~ → I→
Circuit filiforme ( Jdτ
dl) : A(M) = 4π
C −−→
kPMk
12
~ −−→
~ est uniforme : A(M)
~
Si B
= B∧2OM
!
→ ! −→ ~ −→ H ~ →
−
~ avec
~ ·−
Calculer A
B
dS = Σ rot A
· dS = A · dl
Σ
→~
~ =−
B
rot A
=
µ0
4π
#
sur (r → r + dr) × h
~
J(P)∧~
u
dτ
r2
R →
−
dl∧~u
~ = µ0 I
filiforme : relation de Biot et Savart : B
4π C r2
~e − B
~ i = µ0 J~S ∧ ~ne
B
Perpendiculaire au plans de sym, / aux plans d’antisym
R
Pour les poser : xz = tan α
Utiliser des syst équivalents pour les conducteurs (images magnétiques)
→~
~ : parité, div B
~ = 0 (calculer le flux de B)
~ et −
 de B
rot B
= µ0 J~ = 0
−→
~ ~I, −
Trièdre direct : B,
AM
règle de la main droite
!
H
−→
−
~ ·→
dl = µ0 Σ J~ · dS = µ0 I
Théorème d’Ampère : C B
~ = 0 ⇒ flux conservatif
div B
µ0 I
Fil rectiligne infini : B = 2πr
µ0 I
Segment : B = 4πr (sin αB − sin αA )
0I
Spire de courant : B = µ2R
sin3 α
(pt d’inflexion à ± R2 )
µ0 IN
Solénoide : B = 2 (cos α1 − cos α2 )
infini : B = µ0 IN
µ0 JS
Ruban : B = πD sin α
~ = 1 µ0 J~S ∧ ~n
Plan infini : B
2
ω
En rotation : dI = dq 2π
Dipôles magnétiques :
−
→
−
→ ! −→
P
M = 21 i ~ri ∧ (qi~vi )
Moment magnétique : M = Σ I dS
−
−−→ →
−
→ −−→ ~
−→
−−→ −−−→
dl
dM = OP∧2 Jdτ = OP∧I
démo : dS = 12 OP ∧ dOP
2
−
→
µ0 M∧~r
~
(avec la formule de Kelvin)
A(M)
= 4π
r3
→
→
−
→
−−−→ µ0 −M·~
θ µ0 M sin θ
r
~
~ = µ0 5 [3(−
~ = 2µ0 M cos
B = − grad( 4π r3 )
B
M · ~r )~r − Mr2 ]
B
,
3
3
4πr
4πr
4πr
cyl
−
→ ~
−
→ −−−→ ~
−−−→
E p = U L = −M · B
force : F~ = − grad UL = (M · grad) B
~ ∧B
~
Moment sur le dipôle : ~Γ = M
dPL
~
~ ~
Force de Lorentz : F~ = q(E~ + ~v ∧ B)
dτ = J · E
~
~ ~
Wem : densité volumq d’énergie magnétq
Éq locale de Poynting : ∂Wem
∂t + div Π = − J · E
→ ~ ~ −→ ~
1
1
1
2
2
~ = E
~∧B
~
~ =B
~ ·−
Π
avec
div(
E~ ∧ B)
rot E
− E · rot B
Wem = 2 ε0 E + 2µ0 B
µ0
!
−
→
~ · dS
P= Π
~ : vecteur de Poynting
Π
Penser à : J~ = γ E~
Énergie magnétique : Wm =
1
2µ0
#
B2 dτ =
1
2
#
−
→
− ~
~ dτ = I→
Force de Laplace : d f = J~ ∧ B
dl ∧ B
−
→
−
→
−−−−−→
H
H
−−−−→
µ0 I 1 I 2
(dl1 ·dl2 ) M1 M2
2 circuits : F1→2 = − 4π C C
−−−−−→ 3
2
1
k M1 M2 k
−−−→
µ0
2 fils infinis / : f1→2 = − 4πR
I1 I2 ~er
~ dτ
J~ · A
~ ∧ B)
~ = ...
avec div( A
→
−
att : orientation de dl
−−−→
déf de l’Ampère : lorsque R = 1 m et I1 = I2 = 1 A, f1→2 = 10−7 N
Pression magnétostatique : Pm =
1
2
2µ0 B
⇒ µ0 = 4π · 10−7 SI
= 21 µ0 J~S2
~ 00 − B
~ 00 = µ0 J~S ∧ ~n, B
~ 00 = − B
~ 00 , B
~=B
~0 + B
~ 00 , ~0 = B
~0 + B
~ 00 , B
~ 0 = 1 µ0 J~S ∧ ~n
démo : B
2
1
2
1
2
1
2
!
→
→
−→ →
− →
−
~ ·−
~ ·−
Travail des forces de Laplace : WL = IφC = I B
dS
φC : flux coupé
dφC = B
dS
dS = (dr ∧ dl)
~ =0
Théorème de Maxwell : WL = I(φ2 − φ1 )
démo : div B
att : orientation de la normale
#
~ dτ
Énergie potentielle : U L = −Iφ
volumique : U L = −
J~ · A
−
→ ~
→ ~
~Γ = −
dWL = −dUL
U L = −M · B
M∧B
∂φ
∂φ
∂W
∂W
Γ = ∂θ = I ∂θ
Fx = ∂x = I ∂x
H H −dl→·−dl→
µ0
1
2
Coef d’inductance mutuelle M : φ1→2 = MI1
UL = −MI1 I2
M = 4π
r12
C C
1
13
2
H
−
~ ·→
Force électromotrice : e = E
dl
~
C fixe dans B variable (induction de Neumann) : loi de Lenz : e = − dφ
dt
~ uniforme (induction de Lorentz) : e = − dφC
C mobile dans B
dt
H
−
~ m = ~v ∧ B
~ − ∂ A~
~m · →
Cas général : champ électromoteur : E
e= E
dl
démo : 
∂t
Coefficient d’autoinductance : φp = LI
circuit infini, etc : L avec Wm = 21 LI 2 = 2µ1 0
P
Wm = 21 i Ii φ j→i
Pr un circuit filiforme : Wm = 21 φI
M
Deux circuits couplés : k = √L L
−1 < k < 1
démo : Wm = 21 φ1 I1 + 12 φ2 I2 ≥ 0
#
B2 dτ
1 2
Couplage électromécanique : 1 éq électrique (U = RI) + 1 éq mécanique (, )
éq méca avec la puiss : J ω̇ × ω = Pc = −ei
Quantité d’électricité induite : qind = − R1 (φ2 − φ1 )
5 Atomistique
Énergie d’un photon : w = hν =
h
Longueur d’onde : λ = hp = mv
hc
λ
quantité de mvt : p =
hν
c
2
2
−e
Force exercée sur l’e- : F = ma = m vr → Em = Ec + E p = 8πε
0r
Condition de quantification (sur le moment cinétique) : L = mvr = n~
ε 0 h2
2
rayon de Bohr : r0 ≈ 5 · 10−11 m
Rayon de l’orbite n : r = n2 πme
2 = n r0
Relation de Rydberg : σ = λ1 = Ry n12 − m12
4
Ry = 8εme
≈ 1.1 · 10−7 m−1
2 3
0h c
E0 = hcRy ≈ 13.6 eV
Règle de Slater : énergie de l’électron : E =
2
n
Zeff a0
rayon de l’orbitale : r =


0 si n2 > n1





 0.35 si n2 = n1
σ21 ≈ 


0.85 si n2 = n1 − 1



 1 si n2 n1
P
(z− σ)2
E0
n2
a0 ≈ 53pm
= −13.6
Z 2
eff
n
eV
Principe d’incertitude d’Heisenberg : ∆x∆p x ≥ ~
2
∂·
(Em = Ec + E p avec x ↔ ·x et px ↔ i ~ ∂x
)
Équation de Schrödinger : HΨ = −~
2m ∆Ψ + E p Ψ = Em Ψ
2
∗
Quantité d’énergie (probabilité de présence) : E = |Ψ| = ΨΨ
n : nb quantique principal
l : nb quantique orbital
m : nb quantique magnétique
√
Énergie : E = En20
moment cinétique : L = ~ l(l + 1)
n≥1
0≤l<n
−l≤m≤l
spin des e- : 12 ou − 12
Couche : suivant l : S P D F
(ex : n = 3, l = 1 : couche 3p)
Remplissage suivant les niveaux d’énergie : règle de Klechkowski
e- de valence : e- de n max + couches incomplètes
2 premières exceptions : Cr (Z = 24, . . . 4s1 3d5 )
Cu (Z = 29, . . . 4s1 3d10 )
6 Chimie
H
Li
Na
Be
Mg
B
Al
C
Si
N
P
O
S
F
Cl
He
Ne
Ar
aA + bB cC + dD
ac ad
Loi d’action de masse : aCa aDb = KT0
A B
Activité : solide : 1, gaz : pression partielle en bars, liquide : concentration
Air ≈ 45 N2 + 15 O2
ne pas oublier les gaz inertes ds les bilans
Conductivité : γ = γ+ + γ− = (αa0 )F xp(k+ + k− )
(avec α : taux de dissociation, x : coefficient stœchiométrique, p : charge, k ± : mobilité)
Conductivité équivalente : Λ∞ = F k
14
Conductance : σ = kγ ≈ γ Sl ∼ R1
P
γ = λ i ci
λi ≈ λ0i : conductivité molaire (Ω−1 cm−1 mol−1 )
Densité : d =
ρ
ρair
=
M
Mair
≈
M
29
Volume molaire partiel : vi =
1 S = 1 Ω−1
(avec M en g · mol−1 )
∂V
∂ni T,P,n j,i
Mésomères (plusieurs struct de Lewis) :
– règle de l’octet (8 e- max sur la couche périph)
– charges formelles minimales
Insaturation : 12 (2nIV + nIII − nI + 2 + z)
AXn E p (n doublets liants, p doublets non liants) → linéaire, coudée, tétrahèdrique, bipyramidal
À l’équivalence :
[A]
a
=
[B]
b
c
d
[C] [D]
aA + bB → cC + dD
produit ionique : K = [A]
a [B]b
+
−
ex : AgCl Ag + Cl
Produit ionique (= cste d’équilibre de la réaction) : PI = [Ag+ ][Cl− ]
Si précipité en solution : PI = K s , sinon : PI < K s
Solubilité : s = − log K s
6.1 Cristallographie
cubique
p
i f
quadratique
p
i
hexagonal
orthorombique p c i f
monoclinique
p c
rombohèdrique
triclinique
p : primitif
c : 2 faces centrées
i : centré
f : faces centrées
Cristaux : métallique
ionique
covalent
moléculaire
Coordinance : nb de voisins (12 max)
par les atomes
Compacité (τ ou C) : τ = vol occupé
vol de la maille
MZ
V = (a × b)c
ρ = VN
a
q
τ = 0.74
c = 12
Hexagonal compact : h = a 23
Cubique à faces centrées : l = a
Cubique centré : τ = 0.68
√
2
4
τ = 0.74
c = 12
Sites : tétrahèdriques, octahèdriques
2r− ≤ a = k(r+ + r− )
Structures :
– silicium et diamant : cfc + 1 site T sur 2 occupé
– graphite : plans d’hexagones (2e décalé)
– CsCl : Cl- cubique simple, Cs+ au centre du cube
– NaCl : Cl- cfc, Na+ ds ts les sites O (ou vice versa)
– blende (ZnS) : S2- cfc, Zn2+ ds 1 site T sur 2
– fluorine (CaF2 ) : Ca2+ cfc, F- ds ts les sites T
6.2 Cinétique chimique
aA + bB → cC + dD
Degré d’avancement du réacteur : dη = − dnaA = dncC
Vitesse de réaction : R = dη
dt
Vitesse spécifique : r = VR
d[A] Si V = cst, r = − 1a dt
R
η̇ = k · f ([A], [B], . . .)
k : cste de vitesse
−Ea
Relation d’Arrhénius : k(T ) = Ae RT
avec Ea : énergie d’activation (J · mol−1 ) et A : facteur de préexponentiel
αA
αB
Réaction ordonnée : r = k[A] [B]
avec αA : ordre partiel, αA + αB : ordre total
15
Si αA = a et αB = b, la réaction suit la règle de Vant’hoff (réaction élémentaire)
α
β
Souvent : − a1 d[A]
dt = k[A] [B]
]
 (principe de Bodenstein) : d[X
dt = 0
Faire un bilan de matière
Réaction rapide : équilibre atteint : K =
⇒ [X ] = . . .
k1
k−1
Mesure de l’ordre total :
– on se met ds les proportions stoech → r = k 0 [A]αA +αB
– dégénerescence de l’ordre : [B] ≈ cst avec [B] [A], très concentré
Ordre
Évolution
0
[R]
1
√2
[R]
1
ln[R]
2
3
1
[R]
1
[R]2
6.3 Réaction acide-base
−
Ke = [H−3 O+ ][HO
] = 10−14 à 25 o C
[A ][H3 O+ ]
Ka = [AH]
pKa = − log Ka
Ke
Kb = Ka
Équations : conservation, équilibre, (électroneutralité,) zéro protonique
h
Monocaide : [AH] = a0 h+Ka
2
Diacide : [AH2 ] = a0 h2 +h·Ka1h+Ka1 ·Ka2
a0 ·Ka
Acide fort : pH ≈ − log a0 / faible : h ≈ Ke
h + h+Ka
Prédominance : pH < pKa − 1 / pH > pKa + 1
6.4 Oxydo-réduction
F = 96500 C
Nombre d’oxydation : Σ n.o. = charge de la molécule, O : − (péroxydes -O-O- : − par O), H : + (hydrures : −)
Oxydant : capte des électrons (grand n.o., grand E 0 )
3+
−
14H+ + Cr2 O2−
+ 7H2 O
7 + 6e → 2Cr
3+ −
+ → + ; équilibrage : Cr , e , H+ , H2 O
dU = T dS − PdV + φdq
Potentiel électrochimique : µi = µi + φzF
P
Affinité électrochimique : A = − νi µi
µ − −µ −
φ2 − φ1 = e (2)F e (1)
équilibre : A = 0
Électrodes :
– 1re espèce : Ag / Ag+
– 2e espèce : Hg / Hg2 Cl2 / K+ , Cl- (au calomel :  : E 0 = 241 mV)
– 3e espèce : Pt / Fe2+ / Fe3+
Piles : Pt | Ox1 , Red1 : Ox2 , Red2 | Pt ⊕
E 0 (Ox/Réd) = K 0 (Ox/Réd) − K 0 (H3 O+ /H2 )
δWélec = ∆E dq
dGT,P = −Edq
αOx + ne- → βRéd
Relation de Nernst
α:
a
RT
E = E 0 + nF
ln βOx
aRéd
α aOx
E = E 0 + 0.059
n log β
aRéd
∆r g̃0
∆r g̃ = −nF E
0
RT
F
convention : E 0 (H3 O+ /H2 ) = 0
ln 10 ≈ 0.059
= −nF E 0
∆rG0 = ∆r (∆r g̃0i )
0
0
∆r H 0 = ∆r G0 + T ∆r S 0 ou avec : − ∆Tr H2 =
∆r S 0 = − d∆dTr G = nF dE
dT
dE0
Coefficient de température : dT
16
d ∆r G0
dT ( T )
n1 Red2 + n2 Ox1 n1 Ox2 + n2 Red1
dq = n1 n2 F dξ
∆r G = −n1 n2 F ∆E
∆r G0 = ∆r (∆r g̃0i ) = −RT ln KT0
Énergie récupérable : T = ∆r G0
Oxydation anodique () / réduction cathodique (⊕)
Référence : EH0 + /H = 0
E 0 (H2 O/H2 ) = 1.23 V
2
Tous les couples d’une même solution sont, à l’équilibre, au même potentiel
“Chasles” avec les E 0 : 6E 0 (/-) = 5E 0 (/) + E 0 (/-)
(linéarité des ∆r g̃0 )
Pile ≈ générateur de tension
Fém : E = E+ − E− = E+0 − E−0 −
0.06
n
log Q
où Q =
Pile à l’équilibre : ∆E = 0
Cste d’équilibre : ∆r G0 + RT ln KT0 = 0 donc E 0 =
pH = − log[H3 O+ ]
Diagrammes E / pH : E = E 0 − 0.06 np pH +
convention 1 : m̂ [c]
0.06
n
0.06
n
log
aνi i
Q
log KT0
aαOx
aβRéd
convention 2 : équi-répartition att : ex : c0 = [Cl− ] + 2[Cl2 ]
– immunité : H2 O n’oxyde pas le métal
– corrosion : métal oxydé par H2 O
– passivation : le métal est protégé par un oxyde ou un hydroxyde
Dismutation : ex : X → X + X
→ stabilité avec KT0
Diagrammes E / pH : il ne peut y avoir de domaines disjoints
Électrolyse : U ≥ U min =
∆r G
nF
6.5 Diagrammes binaires
g
On représente : à P fixée : T = fl (xli ) et T = fg (xi )
à T fixée...
Variance : v = 4 − ϕ
Mélange parfait de gp : loi de Raoult : Pi = xli Psat
A (T )
Coeff d’activité :
– réf corps pur (x → 1) : P = γxPsat (loi de Raoult)
– réf soluté infiniment dillué (x → 0) : P = γxk (k : cste d’Henry)
Courbe d’ébullition :
l
sat
sat
l sat
– iso-T : P = Psat
loi de Raoult → P = xlA Psat
A (T ) + xB PB (T )
B (T ) + xA [PA (T ) − PB (T )] : droite
dP
LP
– iso-P : avec Clapeyron (hyp : g.p., vl vg , L(T ) = cst) : dT = RT 2 → P = . . . → T = . . .
Courbe de rosée :
g
l
re
– iso-T : PA = xlA Psat
A (T ) = xA P ⇒ xA → ds la 1 éq
– iso-P : idem : xgA = xlA
Psat
A (T )
P
Point homoazéotropique (Z) : T éb = T ros et Péb = Pros
g
Th de Gibbs-Konovalov : (sg − sl ) dT − (vg − vl ) dP = −(xA − xlA )(dµA − dµB )
P
démo : Gibbs-Duhem ( ni dµi = −S dT + VdP) et, à l’équilibre, µlX = µgX
donc pt Z : T g = T l
Pg = P l
dP
dT
=
sg −sl
vg −vl
Th des moments chimiques : (x − xl )nl + (x − xg )ng = 0
Deux liquides non miscibles : pt hétéroazéotropique
Courbe de rosée : avec µlA = µ∗A, l (T, P) (du corps pur)
démo : µ0A, g (T ) + RT Aéb ln( PPtot0 ) = µ∗A, l (T, P) = µ0A, g (T ) + RT ln(
g
xA Ptot
P0
);
d
dT
Lvap
A
17
µ0A, g (T )−µ∗A, l (T,P)
T
!
= −R dTd (ln xgA ) ; puis
d
dT
( Tµ ) = − Th2 où h0A, g − h∗A, l =
7 Thermodynamique
Gaz parf : 22.4 L à T = 273 K et P = 1 atm
T = 273, 16 × limP→0 (PV)pointPV
triple de l’eau
t = T − 273, 15
E = kB T
kB = NR
g−g0
Échelle affine centésimale : θ(t) = 100 g100
−g0
Diagramme d’Amagat : PV / P
Pression : 1 bar = 105 Pa
760 mm de Hg = 1 atm = 101325 Pa
unité SI : Pa
−→
−−−→
−→
dF = − grad P dτ = P dS
P = −ρgz + P0
∆P = ρgh
PM
Souvent : ρ = mV = nM
V = RT
−−−→
−−−→
Mz
relation de la statique des fluides : grad P + grad(ρgz) = ~0
en dim 1 : dP = −ρg dz d’où P = P0 e− RT
Poussée d’Archimède : ΠA = −ρvg = −Pfluide déplacé
Gaz parfaits :
On néglige les interactions entre les molécules (P doit être faible : 1 atm) et V molécules Vtot
Loi des gaz parfaits : PV = nRT
P = NkT
R ≈ 8.314 J · K−1 · mol−1
a
Loi de Van Der Waals : (P + V 2 )(V − b) = RT
a : interaction entre molécules
b : covolume, vol des particules
1
Coef de dilatation isobar : α = V1 ∂V
∂T P ≈ T
∂P
≈ 1
Coef de variation de pression à vol cst : β = P1 ∂T
V T
1
Coef de compressibilité isotherme : χT = − V1 ∂V
∂P T ≈ P
∂P
∂V
∂T
∂V T ∂T P ∂P V = −1
α = βχT P
7.1 Premier principe
Énergie interne : U = Wc(int) + W p(int)
Travail échangé par les forces pressantes : dW = Pext dτ
dW = −Pext dV
C p , Cv : capaciés calorifiques à P / V constant
C
C
Chaleur massique : c p = Mp
chaleur molaire : C p = np
dQrév = Cv dT + l dV
dQrév = C p dT + h dP
dQrév = λ dV + µ dP
h : chaleur latente de variation de pression (m3 )
g p : h = −V
l : chaleur latente de variation de volume (Pa)
gp:l=P
λ : capacité calorifique (Pa)
1er principe de la thermo : dU = δW + δQ
Enthalpie : H = U + PV
Loi de Joule : l’énergie interne d’un gaz parf ne dépend que de sa température (∆U = 0)
Loi de Joule-Thomson : pour un gaz qui subit une détente de Joule-Thomson, ∆T = 0 (et ∆H = 0)
∆(H + 12 mv2 + mgh) = W 0 + Q
(W 0 : travail des forces autres que pressantes)
Transformations :
C
(monoatomique : γ ≈ 53 / diatomique γ ≈ 75 ≈ 1.4)
γ = Cvp
R
g. p. : C p − Cv = R
dU = Cv dT
dH = C p dT
Cv = γ−1
R
Svt : W = −P dV = P1 V1 · ln VV12 = nRT · ln PP12
– isotherme : δU = 0
∆H = 0
Q = −W
– isobare : W = P ∆V
∆U = Cv ∆T
Q p = ∆H = C p ∆T
2 −P1 V1
– isochore : W = 0
Qv = ∆U = P2 Vγ−1
18
Cp =
γR
γ−1
Transfo adiabatique : le syst n’échange pas de chaleur (δQ = 0)
(svt réversible)
Relations de Lapalce : PV γ = cst
T V γ−1 = cst
P1−γ T γ = cst
démo : δQ = −δW + dU = 0
7.2 Second principe
S : entropie
∆S = ∆S échange + ∆S création
dS ≥ 0 (rév / irrév)
Transfo rév : ∆S = 0
Tf
−1
−1
dS = TδQ
(→
∆S
=
C
ln
)
(eau
:
C
=
4186
J
·
kg
·
K
)
p
éch
p
Ti
ext
3e principe : à 0 K, S = 0
P
Machine thermique : i QT ii ≤ 0 : inégalité de Claussius
Moteur : cyclique → ∆S = 0 et ∆U = 0
P
P
P
Pour les machines thermiques (valable aussi pr les ∂) : i Qi + j W j = 0 et i S i = 0 (si réversible)
fourni
Rendement : ρ = | travail
travail reçu |
2
réfrigérateur : ρ = T 1T−T
pompe à chaleur : ρ =
Moteur : ρ = 1 − TT 21
2
nR
nR
nR
γ
γ−1
S = γ−1 ln(PV ) + cst = γ−1 ln(T V ) + cst = γ−1 ln(P1−γ T γ ) + cst
dU = δQ + δW = T dS − P dV
Diagramme entropique : T / S
Condition d’équilibre (⇐ dS =
syst isolé (δQ = 0)
→
S et V fixés
→
S et P fixés
→
T et U fixés
→
T et P fixés
→
T1
T 1 −T 2
δQ
T
+ δi S avec δi S ≥ 0) :
−S décroît jusqu’à un minimum
U
H
F
G
F ∗ = U − T ext S
G∗ = U − T ext S + Pext V (exergie)
(partir de U)
∗
Wf ≤ −∆F (pr une transfo monotherme)
Wf, u ≤ −∆G∗ (pr une transfo monotherme monobare)
is
h
Putile + Pthermq = dtd (E + Pext + V) + (h + ec + e p )qm
e
7.3 Application différentielle des deux principes
H = U + PV
F = U − TS
G = H − TS
dU = T dS − PdV
dH = VdP + T dS
dF = −PdV − S dT
dG = VdP − S dT
∂P
Relations de Clapeyron : l = T ∂T
h = −T ∂V
(grâce à dU / dS et dH / dS et Schwartz )
∂T P
V
∂V
∂P
C p − Cv = T ∂T
= T αVβP
∂T
P
V
Relation
:
de Gibbs-Helmholtz
∂ G
− TH2 = ∂T
car H = G + T S = G − T ∂G
T
P
∂T P
U
∂ F
− T 2 = ∂T T
car U = F + T S = F − T ∂F
∂T V
V
7.4 Changement d’état
Point critique : L −−−−→ 0
T →T c
Changement d’état : Q p = ∆H = mL
L1→2
= h2 − h1
∂P
Formule de Clapeyron : L1→2 = T (u2 − u1 ) ∂T
(où u : vol massique)
V
dP
dT
=
Lα→β
T (uβ −uα )
démo : µα = µβ donc dµα = dµβ donc vdP − sdT donc
∆Hcycle = LF + LV − LS = 0
m
=
u = x uv + (1 − x) ul avec x = vapeur
m
h i
Psat (T ) = Psat (T 0 ) exp − RL T1 − T10
LM
LV
(idem pour h et s)
démo :
dP
dT
≈
L
T vg
=
LP
RT 2
Diagramme de phases : P / T
diagramme d’Andrews : P / v
t(o C) 4
(pr 50 < t < 200 o C)
Formule de Duperray (pr l’eau) : P(atm) = 100
ébullition 100 oC
1 atm
4
0, 01 oC 4 mm Hg= 760
atm
Eau : τ
C
374 K
218 atm
19
dT
dP
=
vβ −vα
sβ −sα
et S =
L
T
Machines : régime permanent : ∆H = 0 =
P
i
mi hi
7.5 Théorie cinétique des gaz
Hyp :
P
– U = i 21 mi v2i
– homogénéité : dN
dτ = cst
– isotropie de l’espace
Cste de Bolzmann : k B =
R
N
≈ 1.38 · 10−23 J · K−1
mv2
m 3/2 − 2kT
dv x dvy dvz
Nb de particules tq : v x < v < v x + dv, vy . . . : d3 n = N( 2πkT
) e
q
2kT
Vitesse la plus probable : v p =
m
q
R
1 ∞
3kT
u = N v=0 v dn(v) =
m
R∞
√
2
1
I0 = 21 πβ
In = 0 e−βv vn dv
I1 = 2β
In = n−1
2β In−2
3m
Vitesse quadratique moyenne : u2 = 4kT
P
P
Méthode du viriel : dériver OM 2 = cst → Ec = 21 mv2
Chaque degré de liberté ajoute 21 kT à l’énergie
Monoatomique : U = 23 RT / γ = 53
diatomique : γ = 75
3a−2
Polyatomique : γ = 6a−3
déformable : γ = 3a−3
6a−5
− ktE
L’énergie est proportionnelle à e
déformable : γ =
(on a : dv x dvy dvz = 4πv2 dv)
9
7
7.6 Transferts thermiques
Evib = (n + 12 )hν
changemt de niv d’énerg : ∆n = ±1
~q : vect densité de courant volumq d’énrg interne
σu : terme de création d’énrg int par unité de vol
−
→
dE = dEc − dEe
échange : dEe = −( dΣ ~q · dΣ) δt
création : dEu = σu dτ δt
!
−
→
∂E
σu dτ − Σ ~q · dΣ
∂t =
Rayonnement / conduction / convection (déplacemt de matière) : ~q = ~q R + ~qCd + ~qCv
J~Th = ~qCd ≈ ~q : vect densité volumq de courant d’énrg int, non convectif (conduction)
um : énrg int massq
ρ : masse volumq (uv = ρum )
m)
= σu
Conservation locale de l’énrg : div J~Th + ∂(ρu
∂t
div J~Th + ρcm ∂T
=
σ
avec
du
=
c
dT
m
m
u
∂t
2
pr une résistance : σu = J~ · E~ = Jσ
−−−→
Loi de Fourier : J~Th = −λ grad T
λ : conductivité themique (en W · m−1 · K−1 )
−−−→
∂T
Éq de la diffusion thermique : ρc ∂t = div(λ grad T ) + σu
−−−→
σu
en milieu homogène (grad λ ≈ 0) : ∂T
∂t = a∆T + ρcm
a = ρcλm : diffusivité themique
a en m2 · s−1
Svt : σu = 0 (pas de création d’énergie)
En régime permanent, le flux thermique est constant
∆T = 0
Résistance themique : R =
T 2 −T 1
P
~ −→
Entropie : dS = sv dτ = ρsm dτ
δe S = −( Σ JThT·dΣ )δt
J~S : densité de courant volumq d’entropie
σS : création d’entropie
~
Éq de conservation locale de l’entropie : ρ cTm ∂T
avec :
∂t + div JS = σS
Avec A entropie volumique : ρ ∂∂ts + div J~S = A
démo : dS =
C p dT
T
A=
−−−→
T 2
λ( grad
T )
∂ sv
∂t
−−−→
−−−→
et grad( T1 ) = − T12 grad T et la conservation locale de l’énergie
−−−→
grad T et J~Th st de sens contraire
−−−→
démo : σS = grad T1 · J~Th ≥ 0
Convexion :
χ : grandeur scalaire extensive
20
+ div J~S = σS
P Th = −
−
→
J~Th · dΣ (reçue)
J~χ = ρχm~v
φχ =
−
→
J~χ · dΣ
Continuité de T donc de J~Th à l’interface
Loi de Newton : δQ = −h(T − T ext ) dΣ δt
Rayonnement thermique :
φ : puiss totale rayonnée par la source (W)
ϕ~u : fraction du flux surfacique émis ds l’angle solide dΩ ds la direction ~u (en W · m−2 · sr−1 )
dφ = ϕ~u dΣ dΩ
ici : dΩ = sin θ dθ dϕ = cosrθ2 dS
R
dφ
Émittance totale : M = dΣ
flux surfacique : φ = surf M dΣ
Luminance totale : dφ = L~u cos θ dΣ dΩ
θ : angle fait avec la normale
Loi de Lambert : L~u = L = !
cst
M = πL
démo : M = L cos θ dΩ
R∞
R∞
Luminance, émittance monochromatiques : L~u = 0 L~u,λ dλ
M = 0 Mλ dλ
R
dφ
Éclairement total (d’une surface) : E = dΣ
φ = surf E dΣ
Corps noir : idéal, émet le maximum d’énergie par rayonnement
2πhc2 λ−5
Loi de Planck : Mλ0 = exp
hc
]−1
[ λkT
loi de Wien : λmax (T ) · T = cst ≈ 3 · 10−3 m · K
5 4
Loi de Stephan : M 0 = σT 4
avec σ = 2πc2 hhk4
Flux du Soleil sur la Terre : ϕS →T = σT S4 ( RDS )2 πR2T
démo : ϕ = M ×
Émissivité : ε~u,λ =
∆Ω
4π
× S (supposé isotrope)
L~u,λ
L0λ
L~u,λ = ε~u,λ L0λ
Mλ = ελ Mλ0
M = εM0
Corps gris : ε~u,λ = ε~u,λ0
Corps à émission diffuse : ε~u,λ = ε~u0 ,λ (suit la loi de Lambert)
Loi de Kirchhoff : à l’équibre thermodynamq, ελ,~u = αλ,~u (coef d’absorption)
8 Thermochimie
P Q p + Qv = RT i νi gaz
Pour un corps simple : H 0 = 0
P ∆H = ∆U 0 + RT i νi gaz = Q p
P
(→ ∆U 0 )
dQv = ( i νi Cvi )dT
P
dQ p = ( i νiC p i )dT
(→ ∆H 0 )
dQ p
dQv
dP = 0
dV = 0
P
Enthalpie de formation (énergie de la réaction à 25 o C) : ∆H = i νi Hi0
∆H 0 < 0 : exothermique
(ne dépend pas du chemin suivi)
Énergie de liaison : ∆r H 0 de la réaction (A − B)g → Ag + Bg
8.1 Thermodynamique chimique
Pression partielle : pression qu’aurait le gaz s’il était seul
Fraction molaire : xi = nni = PPi
dU = T dS − PdV + µdn Potentiel chimique : µ = ∂U
= g = Gn
∂n S ,V
∂G
µ = ∂H
= ∂F
dµ = v dP − s dT
∂n T,V = ∂n T,P
µ ∂µ ∂n S ,P
∂µ ∂
= −s
=v
µ = h− Ts
− Th2 = ∂T
∂T
∂P
T
P
T
P
(avec µ = g = h − T s = h + T
∂µ
gaz parf : µ = µ0 (T ) + RT ln PP0
avec ∂P
=v
T
0
cas général : µ(T, P) = µ (T ) + RT ln f (T, P)
f : fugacité
f (T, P) ∼ P
P→0
R
∂µ P V
f
V
dP − d(ln P) = d(ln P )
f (T, P) = P exp 0 ( RT − P1 )dP
f : avec ∂P = v
RT
T
21
∂µ ∂T P
)
Plusieurs
constituants :
P
dU = T dS − P dV + µi dni
µi = ∂U
∂ni
−T δi S =
S ,V,n j,i
P
i
µi dni
Théorème d’Euler : si f (x, y, z) est homogène, de degré 1, en x, y, z alors f (x, y, z) = x
démo :dériver λ f = f (λx, λy, λz) par rapport à λ d’où, si λ = 1...
si Y extensive alors : Y(T, P, ni) =
P
⇒ G = ni µi
P
ni
∂f ∂x y,z
+y
∂f ∂y x,z
+z
∂f ∂z x,y
∂Y
∂ni T,P,n j,i
P
P
P
Équation de Gibbs-Duhem : V dP − S dT = ni dµi
démo : dG = P dV − S dT + µi dni = d( ni µi )
P
P
à T et P fixés : xi dµi = 0
(permet de relier les µi )
aussi : xi = 1
Cœxistence de deux phases (pr un corps pur) : µα = µβ
(si µα < µβ , seule α est stable)
Lα→β
dP
Relation de Clausius-Clapeyron : dT = T (vβ −vα )
(loin du pt critq : vl vg )
Diagramme de phases : P / T
isothermes d’Andews : P / v
Mélange parf de g p (loi de Dalton) : Pi = xi Ptot
µi = µ0i (T, P0) + RT ln PP0i
g
l
Loi de Raoult (liq + gaz) : Pi = xli Psat
alors : µli = µ0,l
avec : µli,p,x = µi (T ) + RT ln xli
i (T )
i,p,x (T ) + RT ln xi
Mélange binaire : A ≈ pur : suit la loi de Raoult
B ≈ pur : A suit la loi d’Henry (P A = xlA Kh(B/A) )
l
sat
coeff d’activité : ai = γi xi
Activité : Pi = Pi ai
0,l
l
l
µi = µi (T ) + RT ln ai
l
À dillution infinie (suit la loi d’Henry) : µlA = µ0,l
A,∞,x (T ) + RT ln xA
[A]
Pr une concentration fixée : µlA = µ0,l
A,∞,c (T ) + RT ln créf
Avancement ξ : ni = n0i + νi ξ
ξmax et ξmin : avec ni ≥ 0
P
Opérateur de Lewis : ∆r Y = νi Yi = ∂Y
∂ξ
si Y fonction d’état extensive
= − ∂G
dG = −S dT + VdP − Adξ
A = − ∂U
∂ξ
∂ξ
T,P
Affinité chimique : T δi S = A dξ
S ,V
T,P
P
A = − νi µi = −∆rG
Condition d’équilibre chimique : A = 0
Q éq
Constante d’équilibre : KT0 = (ai )νi
∆r G0 = −RT ln KT0 (loi d’action de masse)
Avec l’activité ai :
– liquide pur (solvant) / solide pur : ai = 1
Préf = 1 bar
– gaz (≈ parf) : ai = Pi = PPréfi en bar (att avec les Pa !)
[Ai ]
0,l
– soluté : ai = créf
créf = 1 mol / L
µi = µi,∞,c
P
aéq
A = RT νi ln aii
Évolution : A dξ ≥ 0 donc : A > 0 : →
A<0:←
A = 0 : éq
g
faire des bilans de matière (+ colonne ntot )
att : gaz inertes
2 réaction ∼ successives
Q νi
KT0
Quotient de réaction : Q = ai
A = RT ln Q
Relation de Van’t Hoff :
démo :
d
dT
d ln KT0
dT
0
=
∆r H 0
RT 2
(ln KT0 ) = − R1 dTd ( ∆rTG ) = − R1
∆r G 0 = ∆ r H 0 − T ∆ r S 0
Relations de Kirchhoff :
P
µ0
i
νi dTd ( Ti ) or
d
dT
µ0
h0
( Ti ) = − Ti2 d’où
d
dT
(ln KT0 ) =
P
0
i νi hi
RT 2
=
∆r H 0
RT 2
approximation d’Ellingham : ∆r H 0 et ∆r S 0 indép de T
d∆r HT0
dT
= ∆rC 0p
Relations de Gibbs-Helmholtz : ∆r S 0 =
d∆r S 0T
dT
0
− d(∆dTr G )
=
∆r C0p
T
0
− ∆Tr H2
=
d
dT
∆ G0 r
T
Réaction de formation : produit 1 mol à P0 = 1 bar et à T = cst
P
P
P
∆f Hi0 = ν j h0j
h0i = ∆f Hi0 − corps ν j h0j
loi de Hess : ∆r H 0 = i νi ∆f H 0
simple
Variance : v = n − r + 2 − ϕ
démo :
Pn
i=1
(n : nb d’espèces chimiques, r : nb de réactions, ϕ : nb de phases)
xφi : ϕ, µ1i = µ2i = . . . = µϕi : ϕ − 1, A = 0 : r
c0 = c − r : nb de réaction chimqmt indép
att : aux relations entre P ⇒ v = v − 1
P g
Q
g
Liq / gaz : A = RT ln KT0 − RT ( νi ) ln( N g PP ) − RT ln gaz (ni )νi
tot réf
P
Q
Solutés / solides : A = RT ln KT0 + RT ( soluté νsoluté
) ln(Créf V) − RT ln soluté nνi i
i
Endo/exothermique : ∆r H 0 > 0 ou < 0
∆r H 0 dT dξ ≥ 0
Principe de Lechatelier : principe modération, le syst diminue les effets de la perturbation
22
Diagramme d’Elligham :
2x
y M
+ O2 →
2
y
M x Oy (oxyde)
éq
∆rG0 = RT ln PO2 = f (T )
23
haut : + oxydants