Étude en régime permanent d`un embrayage électromagnétique Un

Étude en régime permanent d’un embrayage électromagnétique
Un embrayage électromagnétique (voir figure 1) est constitué de deux rotors désignés
respectivement comme rotor menant et rotor mené.
Le rotor menant (vitesse angulaire Ω1 ) est une roue polaire à aimants permanents d’induction
radiale, à répartition spatiale sinusoïdale et à p paires de pôles.
Le rotor mené, situé à l’intérieur du précédent (vitesse angulaire Ω 2 ), porte trois enroulements
de phase à p paires de pôles et dont les axes sont décalés entre eux d’un angle égal à 2π / 3p .
Les trois phases, couplées en étoile, sont raccordées par le système classique bague-balai à
trois résistances R h égales et réglables, couplées en étoile.
En régime permanent de vitesse : Ω1 et Ω 2 sont constantes ; la machine d’entraînement du
rotor menant lui applique le couple de moment C1 et on note C 2 le moment du couple
électromagnétique développé sur le rotor mené : C 2 = C1 .
N
Ω2
Ω1
Charge
Mécanique
C1
C2
S
Rh
figure 1
Chaque phase (indice k ∈ {1,2,3} ) du rotor mené est le siège d’un flux d’induction magnétique
ϕ k qui, par hypothèse de non saturation (linéarité), est la somme d’un flux ϕ ak créé par les
aimants et d’un flux ϕ ik créé en commun par les trois courants i1 , i 2 , i 3 : ϕ ik = L. i k , avec L
inductance cyclique. Les fuites magnétiques ne sont pas prises en considération.
l’amplitude du flux
Enfin on désigne par r la résistance de chacune des phases et par Φ
a
d’aimant par phase.
On définit également dans un repère angulaire absolu :
• l’angle de l’axe de la roue polaire (pôle nord) par rapport à l’axe de référence : Ω1t ;
• l’angle de l’axe de la phase 1 du rotor mené par rapport à l’axe de référence : Ω 2 t .
L’enroulement de la phase 1 est représenté à la figure 2 ; le marquage indique son orientation
pour la définition algébrique des flux et l’application de la loi de Faraday.
r
i1
Rh
figure 2
Question 1
Établir l’expression instantanée du flux d’induction ϕ1 puis celle de la f.e.m. de Faraday e1
induite dans la phase 1, en déduire l’équation différentielle dont i1 est la solution.
On pose ω = p( Ω − Ω ) , mettre i ( t ) sous la forme suivante : i ( t ) = I sin(ωt − ψ ) ;
1
2
1
1
donner les expressions de I et de ψ .
Question 2
La roue polaire exerce le couple électromagnétique C 2 sur le rotor bobiné ; le théorème de
MAXWELL sur le travail des forces électromagnétiques peut être traduit par la relation :
C2
dϕ
dθ
= ∑ i k . ak
dt
dt
k
avec θ , l’angle de déplacement du rotor bobiné par rapport à la roue polaire.
En supposant que les courants i1 , i 2 , i 3 forment un système direct, établir, en régime
et ψ , puis en fonction de Φ
et ω .
permanent, l’expression de C 2 en fonction de I, Φ
a
a
Question 3
On admet, pour les fréquences rotoriques f (= ω / 2π ) inférieures ou égales à 10 Hz, que le
couple C 2 est sensiblement proportionnel à ω .
Le couple nominal C n est développé pour une fréquence 1 Hz quand R h = 0 .
Dans le cas d’une transmission du couple nominal avec division de la vitesse par deux et
f = 10 Hz ; calculer :
•
la vitesse de rotation en tr/min de la charge mécanique sachant que p = 4 ;
•
la relation numérique entre R h et r.
Corrigé succinct
Question 1
dϕ
ϕ1 = φa cos( p( Ω1 − Ω2 )t ) + L i1; e1 = − 1 = ( r + Rh ) i1
dt
ωφa
di
⇒ ( r + Rh ) i1 + L 1 = ωφa sin(ω t ); I =
, ψ = arctan( Lω / ( r + Rh )
dt
( r + Rh )2 + ( Lω ) 2
Question 2
dϕ
dϕ
dϕ
θ = ( Ω2 − Ω1 ) t; C2 ( Ω2 − Ω1 ) = i1 a1 + i2 a 2 + i3 a 3
dt
dt
dt
i1 = I sin(ω t − ψ ) ; ϕa1 = φa cos(ω t )
avec :
i2 = I sin(ω t − ψ − ( 2π / 3)) ; ϕa 2 = φa cos(ω t − ( 2π / 3))
i3 = I sin(ω t − ψ − ( 4π / 3)) ; ϕa 3 = φa cos(ω t − ( 4π / 3))
on déduit :
3
3
( r + Rh )ω
C2 = pIφa cos(ψ ) = pφa2
2
2
( r + Rh ) 2 + ( Lω )2
Question 3
3 pωφa2
3 pπφa2
C2 ≅
; Cn ≅
r
2( r + Rh )
• pour f = 10 Hz et Ω2 = Ω1 / 2 , alors ω = pΩ1 / 2 = pΩ2 , soit Ω2 = 5π = 15,7 rad/ s ;
• C2 = Cn ⇒ Rh = 9 r .
Fin du corrigé