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Sciences Industrielles Calcul vectoriel Cours PCSI-PSI Cours Sciences de l’ingénieur Les Outils nécessaires en Mécanique Schéma cinématique minimal d’un mécanisme doseur Page 1 Jacques AÏACHE – Jean-Marc CHÉREAU EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Sciences Industrielles Calcul vectoriel Cours Sommaire 1 Page 2 Outils nécessaires en mécanique ............................................................................................................3 1.1 OPERATIONS SUR LES VECTEURS .........................................................................................3 1.1.1 Produit scalaire .........................................................................................................................3 1.1.1.1 Définition du produit scalaire : ..........................................................................................3 1.1.1.2 Définition de la norme géométrique ..................................................................................3 1.1.1.3 Interprétation géométrique du produit scalaire :................................................................3 1.1.2 Produit vectoriel........................................................................................................................3 1.1.2.1 Définition du produit vectorielle .......................................................................................3 1.1.2.2 Interprétation géométrique du produit scalaire :................................................................3 1.1.3 Produit mixte.............................................................................................................................4 1.1.3.1 Définition du produit mixte ...............................................................................................4 1.1.3.2 Interprétation géométrique du produit mixte : ...................................................................4 1.1.4 Double produit vectoriel ...........................................................................................................4 1.1.5 Division vectorielle...................................................................................................................4 1.1.5.1 Le problème : .....................................................................................................................4 1.2 APPLICATIONS ANTISYMÉTRIQUES......................................................................................5 1.2.1 Définition ..................................................................................................................................5 1.2.2 Propriétés ..................................................................................................................................5 1.3 CHAMP DE VECTEURS ..............................................................................................................5 1.3.1 Définition ..................................................................................................................................5 1.3.2 Champ antisymétrique ..............................................................................................................5 1.3.3 Champ équiprojectif..................................................................................................................5 1.3.4 Théorème de DELASSUS ........................................................................................................6 1.4 TORSEURS....................................................................................................................................7 1.4.1 Définition d’un torseur..............................................................................................................7 1.4.2 Notation d’un torseur ................................................................................................................7 1.4.3 Changement de point ................................................................................................................7 1.4.4 Torseur nul ................................................................................................................................7 1.4.5 Somme de deux torseurs ...........................................................................................................7 1.4.6 Multiplication par un scalaire ...................................................................................................8 1.4.7 Comoment de deux torseurs......................................................................................................8 1.4.8 Automoment d'un torseur..........................................................................................................9 1.4.9 Axe central d'un torseur ............................................................................................................9 1.4.10 Torseurs particuliers ...............................................................................................................9 1.4.10.1 Torseur Glisseur...............................................................................................................9 1.4.10.2 Torseur Couple ..............................................................................................................10 1.4.11 Décomposition d'un torseur ..................................................................................................10 1.4.12 Interprétation Géométrique d’un torseur ..............................................................................11 Jacques AÏACHE – Jean-Marc CHÉREAU EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Sciences Industrielles Calcul vectoriel Cours 1 OUTILS NECESSAIRES EN MECANIQUE 1.1 OPERATIONS SUR LES VECTEURS E est un espace vectoriel de dimension 3. x1 x2 → → V 1= y1 , V 2= y2 3 Soient trois vecteurs de Ε : b z1 rrr b (x,y,z ) . On définit les opérations suivantes : 1.1.1 → x3 , V 3= y3 et une base orthonormée directe b z2 b z3 PRODUIT SCALAIRE 1.1.1.1 Définition du produit scalaire : Le produit scalaire est une application linéaire définie positive de E² dans R ‘réel tel que le produit scalaire est défini et noté : → → → → (V1,V2 )=V1.V2= x1x2+ y1 y2+z1z2 1.1.1.2 Définition de la norme géométrique La norme géométrique d’un vecteur est définie et notée : → → → → → → V1 = (V1,V1 )= V1.V1 = V1² = x1x1+ y1 y1+z1 z1 → Cette norme représente graphiquement la longueur en mètre du vecteur V1 . La norme géométrique est définie positive. 1.1.1.3 Interprétation géométrique du produit scalaire : y Soit la représentation plane dans le plan vectoriel → → V2 V1 x → → → → →→ ( x,y ) → → (V1,V2 )=V1.V2= x1x2+ y1 y2+z1z2= V1 V2 cos(V1,V2 ) r → r →→ Si V1=x c’est-à-dire que V1 =1 alors, V1.x représente la → projection orthogonale du vecteur V2 sur la direction de → Projection orthogonale du vecteur V1 sur la direction de V2 1.1.2 V1 . Cas de nullité du produit scalaire : ! l'un des vecteurs est nul, ! les deux vecteurs sont orthogonaux. PRODUIT VECTORIEL 1.1.2.1 Définition du produit vectorielle Le produit vectoriel est une application linéaire antisymétrique de E² dans E tel que le produit vectoriel est défini et noté : → → r r r (V1∧V2)=(x1z2- y2z1) x +(z1x2-z2x1) y +(x1y2-x2y1) z 1.1.2.2 Interprétation géométrique du produit scalaire : Page 3 Jacques AÏACHE – Jean-Marc CHÉREAU EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Sciences Industrielles Calcul vectoriel Cours →→ Soit la représentation plane dans le plan vectoriel ( x,y ) → → → → → → r (V1∧V2)= V1 V2 sin(V1,V2 ) n , y → vecteur V1 → → V1∧V2 x → → = V1 V2 → → sin(V1,V2 ) représente → unitaire → directement perpendiculaire à (V 1,V 2 ) . La norme du produit S V2 r n avec la surface vectoriel S du → parallélogramme défini par V1 et V2 ) . Cas de nullité du produit vectoriel : • l'un des vecteurs est nul, • les deux vecteurs sont colinéaires. 1.1.3 PRODUIT MIXTE 1.1.3.1 Définition du produit mixte Le produit mixte est une application linéaire antisymétrique de E3 dans R « réel » tel que le produit mixte est défini et noté : → → → → → → → → → → → → (V1,V2,V3)=(V1∧V2).V3=(V3∧V1).V2=(V2∧V3).V1 Le produit mixte de trois vecteurs est un scalaire invariant par permutation circulaire des vecteurs ou par inversion des opérations. 1.1.3.2 Interprétation géométrique du produit mixte : → → → V → → y → → → V1, V2 et V3 ) S V2 z → (V1,V2,V3)=(V1∧V2).V3 représente graphiquement le volume du parallélépipède de cotés définis par les vecteurs V3 V1 x V1 1.1.4 Cas de nullité du produit mixte : ! l'un des vecteurs est nul, ! deux des vecteurs sont colinéaires, ! les trois vecteurs sont coplanaires. DOUBLE PRODUIT VECTORIEL → → → V1∧(V2∧V3) → → est un vecteur perpendiculaire à (V2∧V3) . Il se trouve donc dans le plan formé → → → → → → → par les vecteurs V2 et V3 et peut s'écrire alors : λV2+µV3 avec (λ,µ)∈R² . Par identification on obtient : → → → → → → V1∧(V2∧V3)=(V1.V3) V2 - (V1.V2)V3 1.1.5 DIVISION VECTORIELLE 1.1.5.1 Le problème : Page 4 Jacques AÏACHE – Jean-Marc CHÉREAU EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Sciences Industrielles Calcul vectoriel Cours → → → → → → V et W étant deux vecteurs connus non nuls , existe-t-il un vecteur X tel que : V ∧ X =W on en conclut : → ! X doit être non nul, ! V et W doivent être orthogonaux et X et W aussi par propriété du produit vectoriel.. → → → → → → → Si il existe une solution X , alors tout vecteur de la forme X +λV sera aussi solution. → → → → En multipliant vectoriellement par V la relation V ∧ X =W , on obtient : → → → → → → → → →→ → → → V ∧(V ∧ X )=V ∧W ou bien (V .X ) V -(V .V ) X =V ∧W → → où (V .X ) est réel β → → Si on cherche la solution particulière X0 (β = 0) orthogonale à V , on obtient : → → → → → → → X0= -V ∧2W et X = -V ∧2W +λV V V 1.2 APPLICATIONS ANTISYMÉTRIQUES 1.2.1 DEFINITION Une application 1.2.2 • L de Ε dans Ε est antisymétrique si et seulement si : r r r r r r ∀ u et v∈E, u⋅L(v )=-v⋅L(u) r r Remarque : u. L( u ) = 0 PROPRIETES L Toute application antisymétrique de Ε dans Ε est linéaire. r r r r r r c'est à dire : ∀ u et v ∈ E et ∀ λ ∈ , (u+λv )= (u )+λ (v ) → r Dans Ε, le vecteur S étant donné, l’application qui à u fait correspondre r r → (u )=u ∧S est antisymétrique. L • L L L L 1.3 CHAMP DE VECTEURS 1.3.1 DEFINITION Si à tout point P de l’espace euclidien E(Ε) on fait correspondre un vecteur → M(P) d’origine P, on dit qu’on définit un champ de vecteurs. 1.3.2 CHAMP ANTISYMETRIQUE → Un champ de vecteurs M est antisymétrique si et seulement si, antisymétrique de Ε dans Ε quels que soient les points P et Q de → → L étant une application E(Ε), on a : → M(P)=M(Q)+L( PQ ) Dans Ε, cette relation s’écrit : → → → → M(P)=M(Q)+PQ∧S 1.3.3 Page 5 CHAMP EQUIPROJECTIF Jacques AÏACHE – Jean-Marc CHÉREAU EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Sciences Industrielles Calcul vectoriel Cours → Un champ de vecteurs M est équiprojectif si, et seulement si, quels que soient les points P et Q de E(Ε), on a : → → → → M(P).PQ=M(Q).PQ 1.3.4 THEOREME DE DELASSUS Tout champ antisymétrique est équiprojectif et réciproquement. Démonstration : → → → → → → → → → M(P)=M(Q)+L( PQ ) , alors : M(P).PQ=M(Q).PQ+L( PQ ).PQ Comme l’application L est antisymétrique : L( PQ ).PQ=0 Si nous avons → → Donc : → → → → M(P).PQ=M(Q).PQ → Le champ de vecteurs M est donc équiprojectif. Réciproque : → Retranchons → M(O).PQ à chaque membre de l’expression précédente. → Nous obtenons : OQ. → → → → → → → → → M(P).PQ-M(O).PQ=M(Q).PQ-M(O).PQ Et, en factorisant : → → M(P).PQ=M(Q).PQ Soit un champ équiprojectif : → → → → → → → → → (P)- (O) .(OQ-OP)= (Q)- (O).(OQ-OP) Finalement, on obtient : → → → → → → → → (O) -OP. (P)- (O) =OQ. (Q)- (O)-OP. (Q) → → M M M(P)-M M M M M → M M(O) M M → Le champ de vecteurs → OP. M étant équiprojectif, les deux produits scalaires : M(P)-M(O) et OQ. M(Q)-M(O) sont nuls. → → → D'où : -QO. → → → → → → (O)= PO. M(P)-M → → M(Q)-M(O) → Soit L l’application de Ε dans Ε qui à tout vecteur AB associe le vecteur : L( AB )=M(A)-M(B) → → L'égalité -QO. → → → → → → → M(P)-M(O)=PO. M(Q)-M(O) s'écrit : → → → → - QO. L(PO) = PO. L(QO) Page 6 Jacques AÏACHE – Jean-Marc CHÉREAU EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Sciences Industrielles Calcul vectoriel Cours L’application → → → L est donc antisymétrique et la relation L( AB )=M(A)-M(B) donne : → → → M(A)=M(B)+L( AB ) et L r r → (u )=u ∧S d’ou → → → → M(A)=M(B)+AB∧S → M est donc antisymétrique. Le champ de vecteurs 1.4 TORSEURS 1.4.1 DEFINITION D’UN TORSEUR → → M T On appelle torseur l'ensemble d'un champ antisymétrique et de son vecteur S associé. Pour définir complètement un torseur, il faut et il suffit de préciser : → • le vecteur S , • la valeur du champ → M en un point quelconque P. Ces deux vecteurs sont appelés éléments de réduction du torseur au point P. → S est aussi appelée coordonnée Somme du torseur indépendante du point. → M(P) est aussi appelée coordonnée Moment du torseur dépendante du point. 1.4.2 NOTATION D’UN TORSEUR T • → S = → = (P) M Sx, z(M) Sy, Sz M (M),M (M),M M y x rrr P, x, y, z → rrr Sx,S y,Sz sont les projections de S dans la base orthonormée directe (x, y,z ) → • M (M),rMr r(M),M (M) sont les projections de M(P) x y z dans la base orthonormée directe (x, y,z ) 1.4.3 CHANGEMENT DE POINT → Le champ de vecteurs D’où : T 1.4.4 → = = (A) A → → S M Page 7 → → → → (A)+ BA ∧ S B → → S → M (B)=M TORSEUR NUL T 1.4.5 → M étant antisymétrique, on peut écrire : M(A)=M(B)+ AB∧S → 0 = → 0 ∀M SOMME DE DEUX TORSEURS Jacques AÏACHE – Jean-Marc CHÉREAU EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Sciences Industrielles Calcul vectoriel Cours Soient deux torseurs T 1= et 1 (M) M → r M S1 T 2 = → r S M (N) N 2 2 Exprimons la somme des deux champs en M. Pour sommer deux torseurs, il est nécessaire qu’ils soient écrits au même point. C’est pourquoi, il faut transporter le torseur T2 au point M. Au point M nous pouvons écrire le torseur T2 : T T +T 1 2 = 2 = = 2(N) N → r M + 1(M) M → S1 r M → r S M (N)+MN∧S M S2 2 → 2 = 2(N) N → r M → 2 → → S 1+ S 2 r r =T M (M)+M (N)+MN∧S M S2 → 1 2 → 2 Ajouter deux torseurs dont les éléments de réduction sont exprimés en des points différents n'a aucun sens ! 1.4.6 MULTIPLICATION PAR UN SCALAIRE T Soient un torseur r r = → r S M(M)M → → et un scalaire λ∈R (réel). r → → λM(M)=λM(N)+λ(MN ∧ S)=λM(N)+MN ∧(λ S) Ce produit représente bien un champ antisymétrique qui peut être représenté par un torseur. Au point M nous pouvons écrire : λT ≡=λ λ→ S = λ (M) (M) M M → r M r M S L'ensemble des torseurs est un espace vectoriel sur le corps des réels. 1.4.7 COMOMENT DE DEUX TORSEURS T et T , la quantité scalaire c(T , T ) telle r r T =S .M (M)+S .M (M) On appelle comoment de deux torseurs que : T1⊗ 2 → 1 1 2 2 → 2 1 2 1 Cette quantité est indépendante du point M et est réel. En effet : T1⊗T2 est appelé aussi Invariant scalaire du torseur Page 8 Jacques AÏACHE – Jean-Marc CHÉREAU EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Sciences Industrielles Calcul vectoriel Cours T1⊗T r r r r Mr (M)+S .Mr (M)=S .M (N)+MN∧S +S .M (N)+MN∧S M (N)+S .M (N)+(1S 4 ,MN ,MN S4)+ S4 S3) 4,4 2(4 4,4 → 2=S 1. → = S 1. → 2 2 → 2 2 → 1 2 → → → 1 2 1 1 → → → 2 2 → → → 2 1 → 1 → 1 =0 1.4.8 AUTOMOMENT D'UN TORSEUR On appelle automoment d'un torseur, la quantité scalaire → (T)= 1 (T⊗T)=S . 2 A A(T) telle que : r M(M) A(T)=T⊗T est appelé aussi Invariant scalaire du torseur Cette quantité, indépendante du point M, constitue un invariant du torseur. 1.4.9 AXE CENTRAL D'UN TORSEUR Soit un torseur T = → rS M (M) .On appelle axe central de M → T, l'ensemble des → r M est colinéaire à S . En I, on peut écrire : M(I)=α S r r r Or M(M)=M(I)+MI ∧S=α S+MI ∧ S ⇔ M(M)-α S=MI ∧S r Cette égalité n'existe que si : S ≠0 et S ⊥M(M)-α S r r Ce qui nous permet d'écrire : S . M(M)-α S =0 ou bien S .M(M)=α S .S r S .M(M) D'ou : α = Cette valeur est indépendante M du point et est appelée le «pas» points I pour lesquels le champ → → → → → → → → → → → → → → → →→ → S2 du torseur. r De la relation M(M)-α S=MI ∧S → → → on tire, par division vectorielle, le résultat suivant : r S ∧M(M) MI= +λS r → → → S 2 → Ce résultat représente l'équation paramétrique d'une droite parallèle à S et passant par un point I où le champs antisymétrique est minimum (voir définition). 1.4.10 TORSEURS PARTICULIERS 1.4.10.1 Torseur Glisseur → → Tout torseur dont l'automoment est nul (avec S ≠ 0 ) est appelé glisseur. Page 9 Jacques AÏACHE – Jean-Marc CHÉREAU EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Sciences Industrielles Calcul vectoriel Cours Il découle de cette définition que : • • • → r M S ⊥ (M) , le pas d'un glisseur est nul, r M(I)=0 → où I appartient à l’axe central r S ⊥M(M) , = Donc, si : → → T r S = S M(M)M 0 I → → 1.4.10.2 Torseur Couple → T Tout torseur dont le vecteur S est nul, est appelé couple. Il découle de cette définition que : ! ! ! r M le champ est constant, l'automoment est nul, l'axe central n'est pas définit. → Donc, si : → S = 0 , le torseur couple s’écrit : C → 0 ≡ ∀M r M 1.4.11 DECOMPOSITION D'UN TORSEUR En tout point M, un torseur manière suivante : T se décompose en somme d'un glisseur et d'un couple de la = T r M Page 10 → S + = → 0 (M) M M → S Jacques AÏACHE – Jean-Marc CHÉREAU → r 0 M(M)∀M EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Sciences Industrielles Calcul vectoriel Cours 1.4.12 INTERPRETATION GEOMETRIQUE D’UN TORSEUR = → S = = (I) (M) M I → T r M S r M → r S r M(I)+IM ∧S M → r M (M) r M (M) r IM ∧ S → M r M (M) r → IM ∧ S M r → IM ∧ S M M r → IM ∧ S r M (M) On remarque qu’il est possible d’imaginer la représentation géométrique d’un torseur comme une liaison visécrou d’axe, l’axe centrale du torseur. Cette liaison est appelée dans la norme liaison hélicoïdale d’axe : l’axe centrale du torseur représenté ci-dessus ; d’où le nom de torseur (torsion). Page 11 Jacques AÏACHE – Jean-Marc CHÉREAU EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites.
