Modélisation des actions mécaniques

Synthèse
Mécanique
Modélisation des actions mécaniques
1
Introduction mathématique :
1.1
L’outil vecteur :
Un vecteur est caractérisé par :
Son point d’application A,
Sa direction (∆) (ou droite support),
Son sens,
Sa norme
A
X
1. Ecriture « lignes » du torseur en A :
(∆)
A
A YA
Z A
(ou intensité).
A
A calculer
−3
X C − X A = 55 ×10
AC YC − YA = 33 ×10 −3
Z C − Z A = 150 ×10 −3
y
y
YA
A
x
XA
A
4. Calcul du moment en A :
0
55 × 10 −3 − 55
M A, 2 / 1 = 0 + 33 × 10 − 3 × 200 =
600 150 × 10 − 3
0
A
α
A
ZA
XA
x
X A = A cos α
z
Le produit vectoriel
{τ 2 / 1}=
XB
B = YB
et
ZA
2
XB =
YB
YA × Z B − Z A × YB
Z A × X B − X A × ZB
ZA
ZB
X A × YB − YA × X B
XA
XB
YA
YB
On réécrit les 2 premières
lignes
L’outil torseur :
Un torseur est un outil mathématique pouvant modéliser une action
mécanique, en fonction du point d’observation :
Soit le torseur
{τ 2 / 1 }écrit en A :
Résultante (invariante quel que
soit le point de réduction)
Composantes
de
la
résultante (en Newtons)
⎧X
⎧⎪ R2 /1 ⎫⎪ ⎪ A 21
{τ 2 /1 }= ⎨
⎬= ⎨ YA 21
M A, 2 /1 ⎪⎭ ⎪
⎪
Point
de
⎩
A
Z
réduction
A ⎩ A 21
Moment (varie en fonction du
point de réduction)
Ecriture « lignes »
On transporte le torseur
{τ 2 / 1 }de
L A 21 ⎫ Repère de
⎪ projection
M A 21 ⎬
N A 21 ⎪⎭ ( x , y , z )
Composantes du moment (en
Newtons.mètre)
Ecriture « colonnes »
A en B (on change de point de
⎧⎪
⎫⎪
R2 /1
⎨
⎬
⎪M B , 2 /1 = M A, 2 /1 + BA × R2 /1 ⎪⎭
B⎩
Moyen mnémotechnique : « BABAR » : (MB = MA + BA x R)
Application :
On donne :
Déplacer
− 30 ⎫
⎧− 55
⎪
⎪
⎨ 200 − 8.25 ⎬
⎪ 0
619 .25⎪⎭( x , y , z )
A⎩
55 × 10 −3
0
⎧− 55 0 ⎫
;
et
.
⎪
⎪
−3
A − 23 × 10
C 10 × 10 −3
{τ 2 / 1 }= ⎨ 200 0 ⎬
⎪ 0
50 × 10 −3
200 × 10 −3
600⎪⎭ ( x , y , z )
C⎩
{τ 2 / 1 } de C en A :
Définition d'une action mécanique :
•
Maintenir un corps au repos
↔
•
Modifier un mouvement
↔
Domaine de la DYNAMIQUE
↔
Domaine de la RESISTANCE
DES MATERIAUX
•
Déformer un corps
3
Domaine de la STATIQUE
Classification des actions mécaniques :
Les actions mécaniques sont de deux sortes :
• A distance (champ de pesanteur, champ électromagnétique),
• De contact (liaisons ponctuelles, linéiques, surfaciques).
4
Le torseur d’action mécanique :
Avant de parler du torseur, il apparaît comme absolument nécessaire de
parler des éléments qui vont le composer :
• le vecteur résultante (aussi appelé force),
• le vecteur moment (aussi appelé couple).
4.1
La résultante :
En mécanique les résultantes sont utilisées pour modéliser ou schématiser
des charges concentrées et des résultantes d’actions mécaniques très
diverses (poids, attraction magnétique …). Une résultante ou force est
toujours appliquée en un point.
4.2
Le moment :
On peut définir un moment comme un phénomène physique qui pourrait être
en mesure de faire entrer les solides en rotation.
MA,op/clé
F
A
réduction) :
{τ 2 /1}=
200
On appelle action mécanique toute cause physique susceptible de :
On raye la première ligne
1.3
150x10-3
19.25 + 600
Leur produit vectoriel est :
ZB
A× B = X A x
YA
-55
5. Ecriture « colonnes » du torseur en A :
Soient les vecteurs :
XA
A YA
55x10-3
− 30
− 8.25
!
YA = A sin α
1.2
M A, 2 / 1 = M C , 2 / 1 + AC × R2 / 1
3. Calcul vecteur déplacement :
A
Ses composantes.
YA
2. Application du théorème de transport du
moment (BABAR) :
⎧
⎫ ⎧
⎫
{τ 2 /1 }= ⎪⎨ R2 /1 ⎪⎬= ⎪⎨ R2 /1 ⎪⎬
M
M
⎪
⎪ ⎪ A, 2 / 1 ⎪⎭
C ⎩ C ,2 /1 ⎭ A ⎩
y
x
Fop/clé
Ici, le moment de l’action mécanique de l’opérateur sur la clé en A
MA,op/clé
tend à générer un mouvement de rotation autour de A.
4.2.1 Calcul avec le produit vectoriel :
Soit deux points A et B et un effort
M , A = BA × A
A
appliqué en A :
B
Moyen mnémotechnique : « BABAA » : (MBA = BA x A)
Synthèse
Mécanique
Modélisation des actions mécaniques
5.2
4.2.2 Calcul avec le bras de levier :
Poids :
Soient les composantes du moment de l’action mécanique de l’opérateur sur la
clé en A :
M A ,op / clé M ( A, y ),op / clé : moment autour de l' axe (A, y )
P
1
M ( A, x ),op / clé : moment autour de l' axe (A, x )
terre/1 Est l’action mécanique de la
Terre sur la pièce 1, c’est le poids de la
pièce 1.
• Point d’application : centre de gravité
G de la pièce 1.
• Direction : verticale
• Sens : vers le centre de la Terre
G
y
M ( A , z ),op / clé : moment autour de l' axe (A, z )
x
M ( A , z ),op / clé = ± Fop / clé × d
Pterre/1
A
0
Fop/clé
A
fluide/1Est l’action mécanique de la
fluide sur la pièce 1.
Admission
A
1
F
S=
d
x
π.زpiston
4
• Point d’application : centre géométrique
A de la surface en contact avec le fluide
• Direction : normale au contact
• Sens : vers la matière isolée (pièce 1)
• Norme :
Refoulement
Fop/clé
d
x
y
x
Moment rouge :
x
z
y
+ y
z
A
0
Refoulement
Afluide/1
Négatif
S=
1
A
x
x
z
+ y
avec :
Øpiston
+ y
fluide/1Est l’action mécanique de la
fluide sur la pièce 1.
π.زpiston-زtige • Point d’application : centre géométrique
A de la surface en contact avec le fluide
4
• Direction : normale au contact
• Sens : vers la matière isolée (pièce 1)
• Norme :
Admission
Moment vert :
F = p×S
- F :norme en N
- p :pression du fluide en pa
- S : surface en contact avec le fluide
Afluide/1
Fop/clé
Signe du moment : dépend du mouvement éventuel que
pourrait générer le moment.
•
Pression fluide (hydraulique ou pneumatique) :
Øpiston
d
y
avec :
Le poids est une action à distance.
5.3
3 exemples de bras de levier d en fonction de
l’effort de l’opérateur sur la clé :
F = m× g
- P :norme du poids en N
- m :masse en kg
- g pesanteur en m/s² (g=9.81 m/s²)
Terre
Bras de levier d : distance normale entre une force et un axe (segment
perpendiculaire à la droite d’action de la force passant par l’axe)
•
• Norme :
F = p×S
avec :
- F :norme en N
- p :pression du fluide en pa
- S : surface en contact avec le fluide
en m²
Négatif
Øtige
•
y
Moment bleu :
x
x
4.3
z
Positif
+ y
5.4
Ressort :
Fress/ext
Le torseur d’action mécanique :
Voir § 1.3
Torseurs particuliers :
∆L
⎧ R = 0 ⎫⎪
{τ 2 / 1 }= ⎪⎨ 2 /1
⎬
⎪M A, 2 / 1 = 0⎪⎭
A⎩
⎧⎪ R2 / 1 ⎫⎪
Torseur glisseur : {τ
⎬
2 / 1 }= ⎨
⎪M A, 2 / 1 = 0⎪⎭
A⎩
⎧⎪ R2 / 1 = 0⎫⎪
Torseur couple : {τ
⎬
2 / 1 }= ⎨
⎪ M A, 2 / 1 ⎪⎭
A⎩
Actions mécaniques remarquables :
•
∆L
Fress/ext
Torseur nul :
•
•
5
5.1
L
Ressort comprimé
Fress/ext
A
1/2 Est l’action mécanique de contact
de la pièce sur 1 sur la pièce 2 :
• Point d’application : centre A du
contact entre 1 et 2
• Direction : normale au contact
• Sens : vers la matière isolée (pièce 2)
A1/2
A
A
y
2/1 Est l’action mécanique de contact
de la pièce sur 2 sur la pièce 1 :
1
x
A2/1
A2/1
Est l’action mécanique réciproque de
• Point d’application : centre A du
contact entre 1 et 2
• Direction : normale au contact
• Sens : vers la matière isolée (pièce 1)
A1/2 donc A2/1
Ressort à vide
Ressort tendu
Est l’action mécanique de la ressort sur l’extérieur :
• Point d’application : centre du contact avec le ressort
• Direction : axe du ressort
• Sens : sens contraire à la déformation
Action de contact ponctuel :
2
L
L0
=
A1/2
• Norme :
-
F = − k × Δ L = −k × ( L − L0 )
avec :
F :norme en Newtons
k :raideur du ressort en N/m
L0 : longueur libre du ressort = longueur à vide en m
L : longueur du ressort = longueur du ressort déformé en m