PSI Les Ulis Cours CI8 – DYNAMIQUE DES SYSTEMES

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CI8 – DYNAMIQUE DES SYSTEMES
Dynamique des systèmes de solides
Objectif final :
En présence d’un système technique industriel composé de solides rigides en mouvement
relatif sous l’action d’efforts extérieurs, vous devrez être capable de :
•
Relier les quantités cinématiques (effets) aux actions mécaniques (causes)
o Principe fondamental de la dynamique
o Théorème de l’énergie cinétique
•
Résoudre des problèmes de 3 types :
o Systèmes à cinématique imposée
Rechercher les actions mécaniques
(Exemple : couple de démarrage d’un moteur)
o Systèmes à cinématique libre et actions mécaniques connues
Rechercher les lois de mouvement
(Exemple : détermination de l’accélération limite entraînant une perte
d’adhérence d’un véhicule)
o Systèmes à inconnues mixtes (cinématique et actions mécaniques)
Plan :
I
SYSTEME MATERIEL A MASSE CONSERVATIVE ..................................................................................... 2
I.1
I.2
II
SYSTEME MATERIEL .............................................................................................................................................. 2
CONSERVATION DE LA MASSE ............................................................................................................................... 2
CENTRE D’INERTIE ............................................................................................................................................ 3
II.1
II.2
III
TORSEUR CINETIQUE / DYNAMIQUE D’UN SYSTEME MATERIEL ...................................................... 4
III.1
III.2
III.3
IV
DEFINITION ...................................................................................................................................................... 3
PROPRIETES ...................................................................................................................................................... 3
TORSEUR CINETIQUE ........................................................................................................................................ 4
TORSEUR DYNAMIQUE ...................................................................................................................................... 4
RELATION ENTRE LE MOMENT DYNAMIQUE ET LE MOMENT CINETIQUE ............................................................ 5
PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE ....................................................................................... 6
IV.1
ENONCE............................................................................................................................................................ 6
IV.2
THEOREMES GENERAUX DE LA DYNAMIQUE ..................................................................................................... 6
IV.2.1 Théorème de la résultante dynamique ........................................................................................................ 6
IV.2.2 Théorème du moment dynamique ............................................................................................................... 6
IV.3
THEOREME DES ACTIONS RECIPROQUES ........................................................................................................... 7
IV.4
PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE ...................................................................................................... 7
V
CINETIQUE DES SOLIDES INDEFORMABLES ............................................................................................. 7
V.1
V.2
V.3
SOLIDE AU SENS DE LA CINETIQUE/DYNAMIQUE ............................................................................................... 7
CALCUL PRATIQUE DU MOMENT CINETIQUE POUR UN SOLIDE S........................................................................ 7
CALCUL PRATIQUE DU MOMENT DYNAMIQUE POUR UN SOLIDE S ..................................................................... 8
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CI8 – DYNAMIQUE DES SYSTEMES
I SYSTEME MATERIEL A MASSE CONSERVATIVE
I.1 Système matériel
Un système matériel est constitué d’un ensemble de points P chacun de masse
élémentaire dm(P ) .
dm( P ) = µ ( P ) dv avec
µ (P) : masse volumique en P
dv : élément de volume
m (Σ ) =
∫
P∈Σ
dm( P ) = ∫ ∫ ∫ µ ( P ) dx dy dz
Point P
Système Σ,
Masse MΣ
z y x
La masse est définie positive et est additive.
dm(P)=µ
µ(P)dv
m(Σ1 ∪ Σ 2 ) = m(Σ1 ) + m(Σ 2 )
L’unité de masse est le kg.
Expression du volume élémentaire :
Coordonnées cartésiennes
Coordonnées cylindriques
Coordonnées sphériques
dv = dr . r . dθ . dz = r . dr . dθ . dz
dv = dr . r .sin ϕ . dθ . r . dϕ
dv = r . dr . dθ . dz
dv = r 2 .sin ϕ . dr . dθ . dϕ
dv = dx . dy . dz
I.2 Conservation de la masse
Un système matériel ( Σ ) est à masse conservative si toute partie (Si) de Σ qu’on suit au
cours du temps a une masse constante.
Conséquence :
r
Soit ϕ ( P,t ) est une fonction vectorielle définie sur Σ et dérivable par rapport au temps.
Pour tout repère R, on peut écrire :
r
d
d r 
ϕ ( P ,t ) dm( P) = ∫  ϕ ( P ,t )  dm( P)
∫
P
∈
Σ
P
∈
Σ
R
dt
 dt
R
[
]
En dynamique et énergétique, les systèmes étudiés seront à masse conservative.
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CI8 – DYNAMIQUE DES SYSTEMES
II CENTRE D’INERTIE
II.1
Définition
GΣ est le centre d’inertie de Σ s’il vérifie :
→
∫
GP dm( P) = 0 ou encore
P∈Σ
II.2
→
∫
P∈Σ
Propriétés
GP µ ( P) dv = 0 .
Exemple : cette roue possède une
symétrie matérielle (axe de révolution
(A, z )
Position de GΣ :
Soit O un point quelconque.
z
mΣ OGΣ = ∫
P∈Σ
z
OP dm( P)
Si Σ présente un élément de symétrie matérielle
A
(symétrie géométrique et symétrie de la distribution
y
massique) alors GΣ appartient à cet élément.
x
Centre d’inertie et centre de gravité
y
En faisant l’hypothèse d’un champ de pesanteur
x
constant en tout point alors le centre d’inertie G est
Le centre d'inertie appartient donc à
confondu avec le centre de gravité (point
l'axe A, z
d’application de la résultante des efforts de pesanteur).
( )
Résultantes cinétique/dynamique
Σ en mouvement par rapport à un repère R ; O fixe dans R
mΣ OGΣ = ∫ OP dm( P)
P∈Σ
d
(...)R
dt
(
d
mΣ OGΣ
dt
mΣ
(
)
d
OGΣ
dt
R
)
R
d
dt
=
(∫
P∈Σ
=∫
P∈Σ
mΣ V (GΣ / R ) = ∫
P∈Σ
OP dm( P )
( )
d
OP
dt
R
)
R
dm( P )
V ( P / R ) dm( P )
Or GΣ ∈ Σ P ∈ Σ
mΣ V (GΣ ∈ Σ / R ) = ∫
P∈Σ
V ( P ∈ Σ / R )dm( P ) Résultante cinétique de Σ /R
De la même manière, par dérivation de la résultante cinétique :
mΣ Γ(GΣ ∈ Σ / R ) = ∫
P∈Σ
Γ( P ∈ Σ / R )dm( P ) Résultante dynamique de Σ /R
Cas de plusieurs systèmes matériels
→
→
1 i =n
=
m
V (GΣ ∈ Σ / R ) =
i AG i
AG ∑ mi ∑
i =1
Γ(GΣ ∈ Σ / R ) =
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1
∑ mi
1
∑ mi
i=n
∑ m Γ(G
i =1
i
i
i=n
∑ m V (G
i =1
i
i
∈ Σ / R)
∈ Σ / R)
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III TORSEUR CINETIQUE
MATERIEL
III.1
CI8 – DYNAMIQUE DES SYSTEMES
/
DYNAMIQUE
D’UN
SYSTEME
Torseur cinétique
Le torseur cinétique d’un système matériel ( Σ ) dans son mouvement par rapport à (R)
est
r
m V (G ∈ Σ / R) = V ( P ∈ Σ / R)dm( P)
← Résultante cinétique[kg.m.s-1 ]
Σ
Σ
∫

P∈Σ
{CΣ/R }=  r
r
→
2 -1
 σ (A, Σ/R) = ∫ AP ∧ V ( P ∈ Σ / R) dm( P) ← Moment cinétique en A [kg.m .s ]
P∈Σ
A
Nous
montrons
ici
que
r
→
σ (B, Σ/R) = ∫ BP ∧ V ( P ∈ Σ / R) dm( P)
r
P∈Σ
r
→
→
→
→
{C }est
bien
(Σ/R)
un
→
torseur.
→
→
BP = BA + AP
avec
Calculons
donc
r
σ (B, Σ/R) = ∫ ( BA + AP) ∧ V ( P ∈ Σ / R) dm( P)
P∈Σ
r
σ (B, Σ/R) = ∫ ( AP ∧ V
( P ∈ Σ / R )) dm( P ) +
P∈Σ
→
→
∫ ( BA ∧ V ( P ∈ Σ / R)) dm( P)
P∈Σ
σ (B, Σ/R) = σ (A, Σ/R) + (mΣ V (GΣ ∈ Σ / R ) )∧ AB
r
r
formule de changement de point
r
σ (A, Σ/R)
caractérise bien un champ de moment. Donc
{C }=
Σ/R
m V (G ∈ Σ / R )
Σ
Σ
 r
 σ (A, Σ/R)
A
est
bien un torseur.
III.2
Torseur dynamique
De la même manière, il est possible d’introduire un torseur dynamique du système
matériel ( Σ ) dans son mouvement par rapport à (R) :
r
r
m Γ(G ∈ E / R) = Γ( P ∈ Σ / R) dm( P) ← Résultante dynamique [kg.m.s- 2 ]
Σ
∫
 Σ
P∈Σ
r
=  r
→
δ
(
A,
Σ
/R)
=
∧
Γ
( P ∈ Σ / R) dm( P) ← Moment dynamique en A [kg.m 2 .s- 2 ]

AP
∫

P∈Σ
A
{D }
Σ/R
r
r
δ (B, Σ/R) = δ (A, Σ/R) + (mΣ Γ(GΣ ∈ Σ / R) ) ∧ AB
r
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formule de changement de point
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III.3
Cours
CI8 – DYNAMIQUE DES SYSTEMES
Relation entre le moment dynamique et le moment cinétique
A est un point quelconque, GΣ ∈ Σ et P ∈ Σ .
Moment cinétique en A :
r
r
→
σ (A, Σ/R) = ∫ AP ∧ V ( P ∈ Σ / R) dm( P)
P∈Σ
d
(...)R
dt
r

d  →
 ∫ AP ∧ V ( P ∈ Σ / R) dm( P) 

dt  P∈Σ
R
r
r
d  →
σ (A, Σ/R) R = ∫  AP ∧ V ( P ∈ Σ / R)  dm( P)

R
P∈Σ dt
r
r
r
→
→
σ (A, Σ/R) R = ∫ d  AP  ∧ V ( P ∈ Σ / R)dm( P) + ∫ AP ∧ d V ( P ∈ Σ / R) R dm( P)

R
dt
P∈Σ dt
P∈Σ
d
dt
(σr (A, Σ/R))
d
dt
d
dt
(
)
(
)
=
R
(
O un point fixe dans R.
→
d r
 ∧ Vr ( P ∈ Σ / R)dm( P) +
(σ (A, Σ/R) )R = ∫ d  - OA
dt
P∈Σ
 243
R
dt 4
1
r
r
d
dt
(σ (A, Σ/R) )
R
r
(
r
r
r
= δ ( A, Σ/R) − V ( A / R ) ∧ mΣV (GΣ ∈ Σ / R )
d
δ (A, Σ/R) =
dt
∫
P∈Σ
→
AP ∧
(
)
d r
V ( P ∈ Σ / R) R dm( P)
dt 44
1
42444
3
r
Γ ( P∈Σ / R )
( P∈Σ / R )
24444443
14V4
444424444443 1444444
r
−V ( A / R )
r
r
d  → 
 OP  ∧ V ( P ∈ Σ / R)dm( P) +
R
dt 
P∈Σ 1424
3
∫
)
(
r
)
O
δ ( A,Σ/R)
)
r
r
σ (A, Σ/R) R + mΣ V ( A / R) ∧ V (GΣ ∈ Σ / R)
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IV
Cours
CI8 – DYNAMIQUE DES SYSTEMES
PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE
IV.1
Enoncé
Il existe au moins un repère, appelé repère galiléen Rg, tel que pour tout système
matériel ( Σ ), le torseur en un point A quelconque des efforts extérieurs appliqués à ( Σ )
noté {TΣ→Σ }, soit égal au torseur dynamique en ce même point A de ( Σ ) dans son
mouvement par rapport à Rg noté DΣ / R g .
{
}
{TΣ →Σ } = {DΣ / R
g
}
au même POINT !!!
Remarque :
Il s'agit d'un principe, énoncé par Isaac Newton en 1687. Il ne faut donc pas s'attendre à
une démonstration de ce principe. Sa validité est liée à l'exactitude de ce principe en
comparaison à des expériences.
Le PFD introduit la notion de référentiel galiléen. Un référentiel galiléen est un
référentiel dans lequel le PFD est valide. Les référentiels galiléens courants sont :
• le référentiel de Copernic (son centre est le centre d'inertie du système solaire, et
ses axes sont trois directions stellaires), utilisé pour l'étude des mouvements des
systèmes interplanétaires, par exemple ;
• le référentiel lié au centre de masse de la Terre, et d'axes ceux du référentiel de
Copernic, utilisé pour l'étude des satellites autour de la Terre, par exemple ;
• la Terre, utilisé pour l'étude de tous les systèmes mécaniques courants.
IV.2
On a
Théorèmes généraux de la dynamique
{TΣ →Σ } = {DΣ / R
g
}
r
r
 R( Σ → Σ)  mΣ Γ(GΣ , Σ / R)
Qui peut s’écrire au point A  r
=  r

M
(
A
,
Σ
→
Σ
)
 A  δ (A, Σ/R) 
A
IV.2.1
Théorème de la résultante dynamique
On en déduit le théorème de la résultante dynamique :
r
r
R( Σ → Σ) = mΣ Γ(GΣ , Σ / R )
IV.2.2
Théorème du moment dynamique
On en déduit le théorème du moment dynamique au point A :
r
r
M( A, Σ → Σ) = δ (A, Σ/R)
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IV.3
Cours
CI8 – DYNAMIQUE DES SYSTEMES
Théorème des actions réciproques
On suppose que Σ = Σ1 ∪ Σ 2 . Le PDF appliqué à Σ donne :
soit encore
{TΣ →Σ } = {DΣ / R
}
{T }+ {T }= {D }+ {D }
{T }= {D }= {T }+ {T }
{T }= {D }= {T }+ {T }
Σ → Σ1
Σ1 / R g
Σ →Σ 2
Le PDF appliqué à Σ1 donne
Σ1 →Σ1
Le PDF appliqué à Σ 2 donne
Σ2 →Σ 2
g
Σ2 / R g
Σ1 / R g
Σ →Σ1
Σ2 / R g
Σ →Σ 2
Σ 2 → Σ1
Σ1 → Σ 2
(1)
(2)
(3)
En réinjectant (2) et (3) dans (1), on obtient le théorème des actions réciproques (ou
théorème de l'action et de la réaction)
{T
Σ 2 → Σ1
IV.4
}= − {T
Σ1 →Σ 2
}
Principe Fondamental de la Statique
{D }= {0}
Si un système est à l'équilibre, en mouvement de translation rectiligne uniforme ou
de masse négligeable,
Σ / Rg
Statique.
, on retrouve le Principe Fondamental de la
{TΣ →Σ } = { 0}
V CINETIQUE DES SOLIDES INDEFORMABLES
V.1
Solide au sens de la cinétique/dynamique
C’est un solide défini au sens de la cinématique sur lequel la masse mS est prise en
considération.
Le torseur cinématique peut être utilisé et ses propriétés :
r
 rΩ( S / R) 
{VS / R }= 
 ; formule de changement de point, équiprojectivité, CIR.


V
(
A
∈
Σ
/R)

A
V.2
σ ( A, S / R) =
Calcul pratique du moment cinétique pour un solide S
r
AP
∧
V
( P ∈ S / R).dm( P) =
∫
P∈S
σ ( A, S / R) ==
∫ AP ∧ [V ( A ∈ S / R) + Ω(S / R) ∧ AP].dm( P)
P∈S
∫ AP ∧ V ( A / R).dm( P) + ∫ AP ∧ Ω( S / R) ∧ AP.dm( P)
P∈S
1444
42
4444
3
r
m S AG ∧V ( A∈S / R )
P∈S
1
44444244444
3
I ( A, S ) . Ω ( S / R )
Avec I ( A, S ) la matrice d’inertie du solide S au point A (termes caractérisant la
répartition des masses en kg.m2 ) (voir fiche sur les opérateurs d’inertie)
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Cours
CI8 – DYNAMIQUE DES SYSTEMES
Le moment cinétique en A d’un solide S dans son mouvement par rapport au repère
galiléen R(O, x, y, z ) est :
σ ( A, S / R) = I ( A, S ).Ω( S / R) + mS .V ( A ∈ S / R) ∧ GA
Au centre de gravité G de S :
σ (G, S / R) = I (G, S ).Ω(S / R)
En un point A fixe :
σ ( A, S / R) = I ( A, S ).Ω( S / R)
•
Pour calculer le moment cinétique en un point B quelconque, on applique la relation
du changement de point du moment d’un torseur classique :
σ ( B, S / R) = σ ( A, S / R) + mS .V (G ∈ S / R) ∧ AB
•
Pour un ensemble Σ de solides Si, le moment cinétique en A est la somme des
moments cinétiques en A de chaque solide :
σ ( A, Σ / R) = ∑ σ ( A, S i / R) Au même point A !!!
i
V.3
Calcul pratique du moment dynamique pour un solide S
Le moment dynamique en A d’un solide S dans son mouvement par rapport au repère
galiléen R(O, x, y, z ) s’obtient par la relation liant les moments dynamique et cinétique :
r
r
r
d r
δ (A, Σ/R) = σ (A, Σ/R) R + mΣ V ( A / R ) ∧ V (GΣ ∈ Σ / R )
dt
Au centre de gravité G se S :
(
)
δ (G, S / R) =
d
[σ (G , S / R )] R
dt
δ ( A, S / R) =
d
[σ ( A, S / R )] R
dt
En point fixe A :
•
Pour calculer le moment dynamique en un point B quelconque, on applique la
relation du changement de point du moment d’un torseur :
δ ( B, S / R ) = δ ( A, S / R ) + mS .Γ(G ∈ S / R) ∧ AB
•
Pour un ensemble Σ de solides Si, le moment dynamique en A est la somme des
moments dynamiques en A de chaque solide :
δ ( A, Σ / R) = ∑ δ ( A, Si / R)
Au même point A !!!
i
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