M3.16. Point mobile à l`intérieur d`un cône. 1. Cas d`un

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M3.16. Point mobile à l’intérieur d’un cône.
1. Cas d’un mouvement circulaire et uniforme.
La projection de cette expression dans la base cylindro-polaire s’écrit :

(1) suivant u r : m 
r  r 2   N cos 


1 d 2
(2) suivant u : m r  2r  m
r  0
r dt

(3) suivant u z : mz  N sin   mg


 
Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme on a :
z  cte  z  0 et 
z0
we
r  cte  r  0 et r  0
  cte    0
b.c

om
Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la loi de la dynamique appliquée au point M s’écrit :
 

P  N  ma
Les équations précédentes s’écrivent maintenant :
 2 ' : r 2  Cte
 3' : N sin   mg  0
 N
mr 2
cos 
ola
1' : mr 2  N cos 
 N
mg
sin 
Le rapport des équations (3’) et (1’) donne :
o 
kh
mg cos 
 1 comme r  a on obtient :
sin  mr 2
2 1
g
tan = 2  o2  2
a

o
1
tan 
2. Expression de la constante.
w.
D’après l’équation (2’) : r 2  Cte
On détermine l’expression de la constante en utilisant les conditions initiales :
2
r  t  0    t  0   a 2  a 2 o  Cte
ww
 
On reconnait ici la loi des aires : en effet dans le plan u r , u le mouvement est à force centrale

 N cos  u r .


3. Equation différentielle.
On exprime l’énergie mécanique de la particule :
Em  Ec  E p 


1
m r 2  r 2 2  z 2  mgz  constante
2
2
Or :
 a 2 o 
r
2 
2
2

z
; r   a o    
 et o 
2
tan 
 r

1
tan 
b.c
2
1  2 2  a 2 o 
r 2  mgr

Em  m  r  r 
 constante
 
2 
r 2  tan 2   tan 



1 
1
 mgr
Em  m  r 2 1  o4   2 a 4  2o2  
 constante
2 
r
 tan 
1 2
1
constante
r 1  o4   2 a 4  2o2  gr o2 
2
2r
m
Comme g  ao2 , on obtient :
 1 a 2 2
1 2
2 r 
r 1  o4   a 2o2 


  Cte '
o
2
2
2
r
a


 
Energie cinétique
Energie potentielle dite effective E p eff
ola
 1 a 2 2
r
E p eff  a 2o2 
 o2 
2
a
2 r
r
r   E p eff  a 2o2 o2  ao2 o2 r
a
r  0 E p eff  
we
suivant r
On recherche les extremums de la fonction E p eff :
dE p eff
 
 1
2 2 
 a 2o2   a 2  2 3  o   0  r   
r
a 
 2
 o 
ww
w.
kh
dr
om
Ces relations permettent d’éliminer de l’intégrale première de l’énergie la dépendance en z et  :
2
3
On peut déduire de cette étude graphique que : r1  r  r2 .
4. Evolution de r.
Comme à t = 0, r  0   0 pour r  a , l’une des deux positions limites r1 ou r2 doit être égale à a.
om
2
 3
D’autre part comme la position d’équilibre r  a   est nécessairement comprise entre r1 et r2 , on peut
 o 
en déduire que si :
ww
w.
kh
ola
we
b.c
  o  r1  a et r2  a
  o  r2  a et r1  a