Le théorème de Schoen-

Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Le théorème de Schoen–Webster
Benoı̂t Kloeckner
25 octobre 2007
Benoı̂t Kloeckner
Le théorème de Schoen–Webster
Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Table of contents
1
Rigidité des structures géométriques
2
Introduction à la géométrie CR
3
Le théorème
4
Une démonstration
Benoı̂t Kloeckner
Le théorème de Schoen–Webster
Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Sommaire
1
Rigidité des structures géométriques
Benoı̂t Kloeckner
Le théorème de Schoen–Webster
Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Principe vague
Une structure géométrique sera dite rigide s’il existe peu
d’espaces possédant beaucoup de symétries.
Voir Gromov & D’Ambra.
Benoı̂t Kloeckner
Le théorème de Schoen–Webster
Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Avoir beaucoup de symétries,
ce sera ici :
pour une variété M compacte, posséder un groupe
d’automorphismes G non compact.
pour une variété quelconque, avoir un groupe
d’automorphismes qui agit non proprement.
Définition
L’action de G sur M est propre si pour tous compacts K , L de M
l’ensemble {g ∈ G; gK ∩ L 6= ∅} est compact.
Benoı̂t Kloeckner
Le théorème de Schoen–Webster
Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Actions non propres
Si l’action n’est pas propre, on peut trouver deux suites
convergentes (xi ), (yi ) de M et une suite (gi ) de G qui sort de
tout compact telles que gi (xi ) = yi .
Benoı̂t Kloeckner
Le théorème de Schoen–Webster
Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Actions non propres
Si l’action n’est pas propre, on peut trouver deux suites
convergentes (xi ), (yi ) de M et une suite (gi ) de G qui sort de
tout compact telles que gi (xi ) = yi .
Benoı̂t Kloeckner
Le théorème de Schoen–Webster
Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Actions non propres
Si l’action n’est pas propre, on peut trouver deux suites
convergentes (xi ), (yi ) de M et une suite (gi ) de G qui sort de
tout compact telles que gi (xi ) = yi .
Benoı̂t Kloeckner
Le théorème de Schoen–Webster
Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Actions non propres
Si l’action n’est pas propre, on peut trouver deux suites
convergentes (xi ), (yi ) de M et une suite (gi ) de G qui sort de
tout compact telles que gi (xi ) = yi .
Benoı̂t Kloeckner
Le théorème de Schoen–Webster
Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Actions non propres
Si l’action n’est pas propre, on peut trouver deux suites
convergentes (xi ), (yi ) de M et une suite (gi ) de G qui sort de
tout compact telles que gi (xi ) = yi .
Benoı̂t Kloeckner
Le théorème de Schoen–Webster
Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Contre-exemples
La géométrie symplectique, la géométrie de contact ne sont
pas rigides :
toute variété symplectique ou de contact admet un groupe
d’automorphismes de dimension infinie.
Benoı̂t Kloeckner
Le théorème de Schoen–Webster
Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Exemples
Géométrie riemannienne :
Si M est une variété riemannienne, alors G agit proprement.
Géométrie conforme :
Théorème (Ferrand–Obata)
Une variété riemannienne dont le groupe conforme n’agit pas
proprement est conformément équivalente à la sphère ou à
l’espace euclidien.
Géométrie CR strictement pseudoconvexe : le théorème de
Schoen–Webster.
Benoı̂t Kloeckner
Le théorème de Schoen–Webster
Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Sommaire
2
Introduction à la géométrie CR
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Le théorème de Schoen–Webster
Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Motivation
Théorème de représentation de Riemann
Tous les domaines simplement connexes de C, sauf C lui
même, sont biholomorphes entre eux.
Poincaré : pas de généralisation en dimension supérieure.
Benoı̂t Kloeckner
Le théorème de Schoen–Webster
Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Motivation
Théorème
Deux courbes analytiques réelles de C sont toujours
localement biholomorphes.
Qu’en est-il pour les hypersurfaces réelles en dimension
supérieure ?
Benoı̂t Kloeckner
Le théorème de Schoen–Webster
Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Structure complexe
La structure complexe de Cn est décrite par l’opérateur J :
T Cn −→ T Cn
(x, v ) 7−→ (x, iv )
En chaque point, Jx2 = −Id, et J vérifie une condition
d’intégrabilité.
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Le théorème de Schoen–Webster
Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Hypersurfaces
Une hypersurface réelle H ⊂ Cn hérite d’une structure
géométrique :
un champs d’hyperplans ξ = TH ∩ J(TH) ;
un opérateur complexe J : ξ → ξ (qui vérifie une condition
d’intégrabilité).
Benoı̂t Kloeckner
Le théorème de Schoen–Webster
Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Variétés CR abstraites
Définition
Une structure CR sur une variété M de dimension 2n − 1 est la
donnée :
d’un champs d’hyperplans ξ ;
d’un opérateur complexe J : ξ → ξ (vérifiant une condition
d’intégrabilité).
Benoı̂t Kloeckner
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Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
La forme de Levi
On appelle calibration le choix d’une 1-forme θ qui définit ξ.
Étant donnée une calibration, on peut définir une forme
quadratique sur ξ :
Forme de Levi associée à θ
Lθ (v ) = dθ(v , Jv )
∀v ∈ ξ
= −θ([V , JV ])
∀V tangent à ξ prolongeant v .
La forme de Levi est homogène : Lf θ = fLθ .
Benoı̂t Kloeckner
Le théorème de Schoen–Webster
Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Description de la forme de Levi
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Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Les différentes géométries CR
Signature de L
la variété est dite
ξ induit
zéro
Levi-plate
un feuilletage
par variétés
complexes
définie
strictement
pseudo-convexe
une structure
de contact
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Le théorème de Schoen–Webster
Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
La métrique de Webster
Soit (M, ξ, J) une variété CR strictement pseudo-convexe et θ
une calibration. On a :
Ker(dθ) est une direction transverse à ξ ;
la formule suivante définit une métrique riemannienne sur
M : Wθ (v ) = Lθ (πv ) + θ(v )2 .
Ker dθ
(θ = 1)
π
ξ (θ = 0)
Benoı̂t Kloeckner
Le théorème de Schoen–Webster
Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Les modèles plats
Sphère standard
P
La sphère S 2n−1 = { |zi |2 = 1} ⊂ Cn , munie de la structure
CR induite par Cn , est strictement pseudo-convexe.
Groupe de Heisenberg
Le groupe de Heisenberg H2n−1 = S \ {∗} en est l’analogue
non compact.
Leurs groupes d’automorphismes agissent non proprement.
Une variété CR localement isomorphe à S est dites plate.
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Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Sommaire
3
Le théorème
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Le théorème
Une démonstration
Deux versions
Théorème (version compacte)
La seule variété CR strictement pseudo-convexe compacte,
dont le groupe d’automorphismes n’est pas compact, est S.
Théorème (version générale)
Une variété CR strictement pseudo-convexe dont le groupe
d’automorphisme agit non proprement est isomorphe à S ou H.
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Introduction à la géométrie CR
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Une démonstration
Deux étapes
L’énoncé local
Une variété CR strictement pseudo-convexe dont le groupe
d’automorphisme agit non proprement est plate.
Le passage du local au global
Une variété CR strictement pseudo-convexe plate dont le
groupe d’automorphisme agit non proprement est isomorphe à
S ou H.
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Le théorème de Schoen–Webster
Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Historique des résultats
1977 : S. W EBSTER, version compacte faible de l’énoncé local,
1993 : Y. K AMISHIMA, version compacte faible du passage du
local au global,
1995 : R. S CHOEN, le théorème dans toute sa généralité (utilise
le problème de Yamabe ; démontre le théorème de
Ferrand–Obata avec les mêmes méthodes),
1996 : J. L EE, version compacte faible (s’appuie sur un résultat
partiel de Webster),
2007 : C. F RANCES, le théorème dans un cadre plus général
(inclut le théorème de Ferrand–Obata).
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Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Travaux proches
Beaucoup de résultats ont été obtenu dans le cadre des
domaines de Cn à bord lisse strictement pseudo-convexe, entre
autres par :
W ONG, R OSAY, B URNS and S CHNIDER, P INCHUK, K LEMBECK,
...
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Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Énoncé local
Du local au global
Sommaire
4
Une démonstration
Énoncé local
Du local au global
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Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Énoncé local
Du local au global
Sommaire
4
Une démonstration
Énoncé local
Du local au global
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Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Énoncé local
Du local au global
Invariants relatifs
Soit (M, ξ, J) une variété CR strictement pseudo-convexe.
Définition
Un invariant relatif est une famille de fonctions Fθ : M → R,
indicée par l’ensemble des calibrations, qui vérifie :
(positivité) Fθ est positive ;
(caractérisation de la platitude) Fθ s’annule sur un
ensemble ouvert si et seulement si celui-ci est plat ;
(régularité) Fθ est continue, lisse là où elle ne s’annule
pas ;
(homogénéité) il existe −k < 0 tel que Ff θ = |f |−k Fθ ,
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Énoncé local
Du local au global
Existence
En dimension 2n − 1 = 3, il existe un invariant relatif de
degré −2 (Cartan).
En dimension 2n − 1 > 3, il existe un invariant relatif de
degré −1 :
Chern et Moser définissent un tenseur de courbure S mesurant
le défaut de platitude de M ;
la forme de Levi Lθ permet de définir une norme tensorielle
kSkθ qui est l’invariant relatif cherché.
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Le théorème
Une démonstration
Énoncé local
Du local au global
Calibration canonique
Soit (Fθ )θ un invariant relatif de degré −1.
Soit θ une calibration quelconque.
la calibration canonique définie par
θ∗ = Fθ θ,
est un invariant CR,
s’annule exactement là où M est plate,
est continue, lisse là où elle ne s’annule pas,
sa métrique de Webster est singulière mais invariante.
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Une démonstration
Énoncé local
Du local au global
Semi-distance canonique
Supposons M compacte, pas plate.
On définit une semi-distance par
d(x, y ) = inf
γ
`Wθ∗ (γ)
Soit U l’ouvert où θ∗ ne s’annule pas ; d est une vraie distance
sur U.
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Le théorème
Une démonstration
Énoncé local
Du local au global
Compacité
L’ensemble Uε = {x ∈ U; d(x, M \ U) > ε} est compact
d’intérieur non vide.
L’action des automorphismes CR préserve Uε et Wθ∗ , donc
Aut(M) est compact.
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Énoncé local
Du local au global
Sommaire
4
Une démonstration
Énoncé local
Du local au global
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Énoncé local
Du local au global
Dynamique nord-sud
Proposition
Soit (φk )k une suite non bornée de Aut(S). Quitte à en extraire
une sous-suite, il existe deux points éventuellement confondus
p+ et p− tels que :
lim φk (p) = p+
lim φ−1
k (p)
= p−
Benoı̂t Kloeckner
∀p 6= p−
∀p 6= p+
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Énoncé local
Du local au global
Dynamique nord-sud
S
p−
γ
a
a
p+
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Rigidité des structures géométriques
Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Énoncé local
Du local au global
L’application développante
soit M une variété CR plate. Il existe une application
développante :
e −→ S
D:M
telle que
D est un difféomorphisme local ;
e est semi-conjuguée à une
toute application CR f̃ ∈ Aut(M)
application dans le modèle φ ∈ Aut(S) :
D f̃ = φD.
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Introduction à la géométrie CR
Le théorème
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Énoncé local
Du local au global
Semi-conjugaison des dynamiques
e également.
Si Aut(M) agit non proprement, alors Aut(M)
On considère une suite non bornée f̃i envoyant une suite
convergente xi → x∞ sur une autre yi → y∞ .
La suite des semi-conjuguées φi a une dynamique
nord-sud, de pôles p+ and p− .
On peut supposer que D(y∞ ) = p+ .
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Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Énoncé local
Du local au global
Extension de l’injectivité
L’image d’un domaine d’injectivité contient le bassin d’attraction
de p+ .
e avec S
L’application développante conjugue un ouvert U de M
ou H.
Benoı̂t Kloeckner
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Énoncé local
Du local au global
Extension de l’injectivité
L’image d’un domaine d’injectivité contient le bassin d’attraction
de p+ .
e avec S
L’application développante conjugue un ouvert U de M
ou H.
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Le théorème
Une démonstration
Énoncé local
Du local au global
Extension de l’injectivité
L’image d’un domaine d’injectivité contient le bassin d’attraction
de p+ .
e avec S
L’application développante conjugue un ouvert U de M
ou H.
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Introduction à la géométrie CR
Le théorème
Une démonstration
Énoncé local
Du local au global
Conclusion
e \ U contient au plus un point,
On montre facilement que M
e
et M est isomorphe à S ou H.
e = M en utilisant la dynamique : y∞ a au
On montre que M
plus un antécédent dans le revêtement universel.
Benoı̂t Kloeckner
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