Hall-via

Théorème 1 [Menger] Soit G = (V, E) un graphe simple et soit S, T ⊆ V .
La cardinalité minimum d’un ensemble X qui sépare S de T (i.e. toute chaı̂ne
entre un somet de S et un sommet de T passe par un sommet de X) est égale
au nombre maximum de chaı̂nes deux-à-deux disointes (sommets) entre S et
T.
Théorème 2 [Hall] Soit A0 , . . . , An−1 des ensemble, par forcément distincts.
Un ensemble R = {a0 , . . . , an−1 } ⊆ ∪i∈[n] Ai tel que ai ∈ Ai et ai 6= aj si i 6= j
existe si, et seulement si, on a que | ∪i∈I Ai | ≥ |I| quel que soit I ⊆ [n].
On appelle R un système de représentants distincts, SRD - ai représente Ai .
La condition | ∪i∈I Ai | ≥ |I| quel que soit I ⊆ [n] s’appelle la condition de
Hall.
On vu plusieurs preuves du théorème 1. Prouvons le théorème de Hall en
utilisant celui de Menger.
Démonstration. La condition | ∪i∈I Ai | ≥ |I| quel que soit I ⊆ [n] est
évidemment nécessaire car on ne peut pas représenter k ensembles par moins
de k éléments. Regardons donc la direction inverse.
Soit X = {xi : i = 0, . . . , n − 1} et soit Y ∪i∈[n] Ai . Soit G = (X t Y, E) le
graphe biparti défini par E = {xi a : a ∈ Ai }. La condition | ∪i∈I Ai | ≥ |I|
quel que soit I ⊆ [n] se traduit dans G par |N (S)| ≥ |S| pour S ⊆ X. On
a de suite que |X| ≤ |Y | est donc κXY (G) ≤ |X| (κXY (G) est la cardinalité
minimum d’un séparateur de X et Y ). Supposons que S est un ’eparatuer de
X et Y tel que |S| = κXY (G). Puisque |N (xi )| ≥ 1 pour chaque i ∈ [n] par la
condition de Hall, S 6⊂ X car sinon x ∈ X \ S a un voisin dans Y . De même,
S 6⊂ Y , car tout a ∈ Y a un voisin dans X, par définition. Soit SX = S ∩ X
et SY = S ∩ Y . Si |X \ SX | < |SY |, |S| > |X|, ce qui n’est pas possible. Donc
|SY | ≥ |X \ SX |. Puisque S sépare X et Y , il n’y a aucune arête entre X \ SX
et Y \ SY , i.e. N (X \ SX ) = SY . On a donc |X \ SX | ≤ |X \ SX | = |Sy |.
On conclue que |X \ SX | = |SY | et donc κXY (G) = |X|. Par le théorème
de Menger, il existe |X| chaı̂nes disjointes entre X et Y et ces chaı̂nes sont
simplement des arêtes de G, disons xi ai , i ∈ [n]. On peut donc définir
R = {ai ∈ Y : xi a}.
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