Preuve informatique de propriétés en géométrie projective : étude

Preuve informatique de propriétés en géométrie projective :
étude du théorème de Belltrami.
Nicolas Magaud, Julien Narboux, Pascal Schreck
Sujet TER 2010/2011
L’objectif de ce T.E.R est de démontrer le théorème de Belltrami en géométrie projective en considérant
de manière exhaustive tous les cas de figures possibles. La géométrie projective fournit un cadre simple pour
cette étude. Sa caractéristique principale est que deux droites coplanaires se coupent toujours.
L’idée de départ est d’utiliser une représentation des connaissances sous forme d’hypothèses n’impliquant
que des points et explicitant la dimension de l’espace engendré par ces points. Cette notion est appelée
rang et a été utilisée pour prouver interactivement le théorème de Desargues dans [1]. Par exemple on peut
exprimer les fait que trois points sont alignés par la notation rg(A, B, C) = 2 et que quatre points ne sont
pas coplanaires par la notation rg(A, B, C, D) = 4. Nous souhaitons générer de manière exhaustive le rang
de tout ensemble de points mises en jeu dans ce théorème et respectant les contraintes suivantes :
Hypothèses:
• 3 droites blanches non coplanaires 2 à 2
• 3 droites noires non coplanaires 2 à 2
• chaque droite blanche coupe toutes les droites noires
• une droite d1 = (AB) coupant toutes les droites blanches
• une droite d2 = (CD) coupant toutes les droites noires
Conclusion:
Les droites d1 = (AB) et d2 = (CD) se coupent, i.e. que rg(A, B, C, D) = 3.
La première idée est de considérer que le rang rg(A, B, C, D) > 3 (i.e. =4 qui est le rang de l’espace tout
entier) et d’étudier si cela conduit à une contradiction avec l’ensemble des hypothèses. L’implémentation
pourra être réalisée dans un langage de haut niveau au choix de l’étudiant. Le langage Prolog est un bon
candidat.
References
[1] Nicolas Magaud, Julien Narboux, and Pascal Schreck. A case study in formalizing projective geometry in
Coq: Desargues theorem. CGTA: Computational Geometry: Theory and Applications, 2010. To appear.
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