V. Vecteurs de Fresnel VI. Dipôles linéaires élémentaires en régime

V. Vecteurs de Fresnel
1. Définition
A toute grandeur sinusoïdale g(t) = G m·sin(ω·t + φg), on peut associer un vecteur tournant dans le sens
trigonométrique à la vitesse angulaire ω, de norme G m et faisant un angle φg à t = 0 avec un axe de référence horizontal
orienté positivement vers la droite.
Un tel vecteur est appelé vecteur de Fresnel et sa projection orthogonale sur l'axe horizontal donne :
Gm·cos(ω·t + φg)
tandis que sa projection orthogonal sur un axe vertical orienté positivement vers le haut correspond à :
g(t) = Gm·sin(ω·t + φg)
2. Intérêt
L'intérêt principal des vecteurs de Fresnel est de simplifier grandement certains calculs : en effet le vecteur associé
à la somme de 2 grandeurs sinusoïdales est la somme des 2 vecteurs associés à ces dernières.
Exemple :
ug = uR + uL = URm·sin(ω·t + φR) + ULm·sin(ω·t + φL)
À uR et à uL on associe respectivement les vecteurs de Fresnel UR et UL , alors le vecteur de
Ug = UR + UL .
Fresnel Ug associé à ug est tel que :
Et alors il devient très simple de déterminer les
caractéristiques du vecteur Ug qui sont d'ailleurs
également celles de la valeur instantanée ug(t) :
UL (à t = 0 et φL = + 90°)
Ug (à t = 0)
L'amplitude de ug(t) est égal à   2⋅Ug
et dans le cas de figure ci-contre on a un triangle rectangle,
par conséquent on peut appliquer le théorème de pythagore :
Ug =  U2R U2L
φ
Quant à φ, et toujours parce qu'on a un triangle rectangle,
il est tel que :
UL
tan(φ) =
UR
UR (à t = 0 et φ = 0)
R
VI. Dipôles linéaires élémentaires en régime sinusoïdal
1. Impédance
L'impédance Z d'un dipôle quelconque en régime sinusoïdale est donnée par la relation :
ou encore
Z=
Z=
Um
et s'exprime en ohm (Ω).
Im
U
I
2. Valeur instantanée de l'intensité
Rappelons qu'en régime sinusoïdale :
i(t) = Im⋅sin ⋅ti 
Pour toute la suite on choisit, d'une part, l'intensité comme référence et d'autre part,  = 0
i(t) = Im⋅sin ⋅t
donc on écrira :
Vecteur de Fresnel associé :
àt=0
3. Cas d'un conducteur ohmique
Dans le cas d'un conducteur ohmique, on peut appliquer le loi d'Ohm :
uR(t) = R⋅i t 
⇔
uR(t) = R×I m⋅sin⋅t 
⇔
11
uR(t) = URm⋅sin⋅t 
I
Axe de référence
avec
URm = R⋅I m
⇔
UR
=R
I
⇔
UR = R⋅I
Par conséquent il n'y a aucun déphasage entre la tension u R aux bornes d'un conducteur ohmique et l'intensité i qui le
traverse :
R = 0
De plus on constate que l'impédance d'un conducteur ohmique (ZR =
UR
) est égale à la résistance R de ce dernier.
I
ZR =R
UR
àt=0
Vecteur de Fresnel associé :
Axe de référence
4. Cas d'une bobine parfaite (r = 0)
di
uL = L⋅
dt
La loi de Faraday conduit à la relation :
avec
⇒
di
= ×I m×cos ⋅t
dt
⇒
⇒

di
L⋅ = L××Im×sin⋅t 
2
dt
⇒
ULm = L⋅×Im
⇔
di ×I ×sin ⋅t   
=
m
2
dt

uL(t) = ULm⋅sin ⋅t 
2
UL
= L⋅
I
⇔
UL = L⋅×I
Par conséquent il y a un déphasage
i = Im⋅sin⋅t
or
L = +
l'intensité i qui la traverse.

rad
2
entre la tension uL aux bornes d'une bobine parfaite et
De plus on constate que l'impédance d'une bobine parfaite (ZL =
ZL = L⋅
UL
UL
) est :
I

rad
2
Vecteur de Fresnel associé :
àt=0
Axe de référence
5. Cas d'un condensateur
Expérimentalement on constate que la charge électrique q portée par une armature d'un condensateur est
proportionnelle à la tension uC aux bornes de celui-ci :
q = C⋅u C
On a donc
⇒
q=
uC =
q
C
or
i=
t
t
0
0
dq
dt
où C est une caractéristique du condensateur que l'on
appelle capacité et qui s'exprime en Farad (F).
t
⇒
q=
∫i d t
0
I
I
∫ I m⋅sin ⋅t  d t = Im×∫ sin⋅t d t = – m ×cos ⋅t = m ×sin⋅t − 2 
Im
×sin⋅t−  
C⋅
2
⇒
uC =
avec
UCm =
Im
C⋅
⇔
Par conséquent il y a un déphasage

uC(t) = UCm⋅sin ⋅t − 
2
⇒
UC =
I
C⋅
⇔
C = -

rad
2
UC
1
=
C⋅
I
entre la tension uC aux bornes d'un condensateur et
l'intensité i qui le « traverse ».
De plus on constate que l'impédance d'un condensateur (ZC =
ZL =
Vecteur de Fresnel associé :
1
C⋅
UC
) est :
I
àt=0
Axe de référence
UC
12
–  rad
2