= Imax

A.3.2.1 et A.3.2.2 Régimes sinusoïdaux
1°) Caractéristiques générales
1.1)Valeur instantanée d'une grandeur sinusoïdale
i(A)
i(t) = Imax sin ( ω t + ϕ i ) = Î sin ( ω t + ϕ i )
i(0)=Î sin (ϕι )
Î
Imax = Î : valeur maximale ou amplitude de l'intensité du
courant i(t)
2
ω : pulsation du courant ω = 2 π f en rad.s-1, ou ω =
Τ
ω t + ϕ i : phase de i(t) à l'instant t, s'exprime en radian (rad)
t(s)
T
ϕ i : phase de i(t) à l'origine des temps, s'exprime en radian
(rad)
1.2)Valeur moyenne
i(A)
A1
T
t(s)
A2
<i(t)>= I moy =it =
 Aire sous la courbe de i t  prise sur T   A1−A 2
=
=0 A
T
T
1.3)Valeur efficace
β
i(A)
i²(A²)
Uniquement pour une grandeur sinusoïdale
I eff = it 2=
β/2
La relation reste vraie pour une tension
sinusoïdale.
T
t(s)
Bernaud J

I 2max I max
=
2
2
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2°) Représentation algébrique et géométrique (vecteur de Fresnel) des grandeurs sinusoïdales
2.1)Représentation algébrique
i(t)
Soit un dipôle D
u(t)
i(t) = Î sin ( ω t + ϕi ) et u(t) = Û sin ( ω t + ϕu )
2.2)Déphasage et décalage horaire
On définit le déphasage de i(t) par rapport à u(t):
ϕi/u = ϕu - ϕi
Si ϕi/u = 0 rad, la tension u(t) est en phase avec le courant i(t),
si ϕi/u > 0 rad, la tension u(t) est en avance de phase sur le courant i(t),
si ϕi/u < 0 rad, la tension u(t) est en retard de phase sur le courant i(t).
i(A)
u(V)
i(t)
ϕ
2π θ(rad)
T
t(s)
∆t
On définit le décalage horaire entre i(t) et u(t): ∆t =
τ=
ϕΤ
s'exprime en seconde ( s)
2π
2.3)Représentation de Fresnel
On associe à toute grandeur sinusoïdale, un vecteur tournant appelé vecteur de
Fresnel:
i(A)
+ω
I
ϕi
t(s)
Origine
des phases
i(t) = Î sin ( ω t + ϕi ) correspond au vecteur tournant I ( Î, ω t + ϕi )
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A.3.2.1 et A.3.2.2 Régimes sinusoïdaux
à l'amplitude Î, on associe la longueur du vecteur ( sa norme),
à la phase à l'instant t, ω t + ϕi, on associe un angle polaire ω t + ϕi ( qui définit sa
direction et son sens par rapport à l'axe origine des phases).
Par la suite, on représente le vecteur de Fresnel associé à l'instant origine ( t = 0 s)
i(t) = Ieff
2
sin ( ω t + ϕi ) correspond au vecteur ( Ieff, ϕi )
i(A)
I
ϕi
Origine
des phases
t(s)
2.4)Déphasage dans le plan de Fresnel
déphasage de i(t) par rapport à u(t): ϕi/u
U
ϕi/u
Origine
des phases
I
3°) Représentation au moyen des nombres complexes
A toute grandeur sinusoïdale ( tension ou courant), on peut associer un nombre
complexe:
par exemple à i(t) = Ieff
2
sin ( ω t + ϕi ) correspond I = [ Ieff , ϕi ]
Ce nombre complexe étant sous forme [ module, argument]
Son module correspond à la valeur efficace de la grandeur considérée,
son argument correspond à la phase à l'origine de cette même grandeur.
Plan de Fresnel
Plan complexe
I
Im
ϕi
I
ϕi
Origine
des phases
Re
Le vecteur de Fresnel représenté à l'instant t = 0s est équivalent au nombre complexe I.
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A.3.2.1 et A.3.2.2 Régimes sinusoïdaux
Rappel: Z = a + j b = [ ρ , θ ]
Im
avec ρ =
 a b
2
2
et θ = tan-1( b/a)
ou avec a = ρ cos θ et b = ρ sin θ
b = ρ sin θ ρ
Z
θ
Re
a = ρ cos θ
Bernaud J
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