EQUATION DE LA TANGENTE
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EQUATION DE LA TANGENTE
1 Equation de la tangente à la courbe représentative d’une fonction f (x) f (x 0 ) O x0 x L’équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse x 0 est donnée par : y − f ( x 0 ) = f ' ( x 0 )( x − x 0 ) On peut écrire cette équation d’une manière plus traditionnelle : y − f (x 0 ) = f ' (x 0 )x + f (x 0 ) − f ' (x 0 )x 0 C'est-à-dire : y = Ax + B avec : A = f ' ( x 0 ) et B = f ( x 0 ) − f ' ( x 0 ) x 0 Remarque Le coefficient directeur de cette tangente est f ' ( x 0 ) . Voir les exercices à la page suivante 2 Micro exercices 1) Donner l’équation de la tangente au point d’abscisse 1 à la courbe représentative de la fonction f ( x ) = x 2 . 2) Donner l’équation de la tangente au point d’abscisse e à la courbe représentative de la fonction g( x ) = ln x . 3) Donner l’équation de la tangente au point d’abscisse 1 à la courbe représentative de la fonction h ( x ) = x ln x . 4) Donner l’équation de la tangente au point d’abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction k ( x ) = e x . 5) Donner l’équation de la tangente au point d’abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction l( x ) = e 2 x . 4) Donner l’équation de la tangente au point d’abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction m( x ) = e − x . Réponses 1) f ( x ) = x 2 ; f ' ( x ) = 2 x; f (1) = 1; f ' (1) = 2; y − 1 = 2( x − 1); y = 2 x − 1. 1 1 1 1 2) g ( x ) = ln x ; g ' ( x ) = ; g (e) = 1; g ' (e) = ; y − 1 = ( x − e); y = x x e e e Remarquez que la tangente en e à la courbe représentant la fonction ln passe par l’origine du repère. 3) h ( x ) = x ln x ; h ' ( x ) = ln x + 1; h (1) = 0; h ' (1) = 1; y = x − 1. 4) k ( x ) = e x ; k ' ( x ) = e x ; k (0) = 1; k ' (0) = 1; y − 1 = x; y = x + 1. 5) l( x ) = e 2 x ; l' ( x ) = 2e 2 x ; l(0) = 1; l' (0) = 2; y − 1 = 2 x; y = 2 x + 1. 6) m( x ) = e − x ; m' ( x ) = −e − x ; m(0) = 1; m' (0) = −1; y − 1 = − x; y = − x + 1. Amusement Quel est dans tous les cas l’équation de la tangente en x 0 à la courbe représentative de la fonction d ( x ) = Ax + B ? Réponse y = Ax + B .