Diagramme de Bode - Fonction de transfert

Diagramme de Bode - Fonction de transfert
MPSI
17 mai 2008
Table des matières
1 Diagramme de Bode
1.1 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Gain et relation de phase . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Ordre de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . .
1.4 Diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Gain de décibel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Tracer un diagramme de bode pour le gain . . .
1.4.3 Tracer un diagramme de bode pour l’argument .
1.4.4 Pulsation de coupure à 3 dB . . . . . . . . . . .
1.4.5 Fonction du 2nd ordre - Résonnance de charge .
1.4.6 Fonction du 2nd ordre - Résonnance de tension .
1.5 Détermination de la nature du filtre . . . . . . . . . . .
1.5.1 Comportement d’un solénoı̈de . . . . . . . . . .
1.5.2 Comportement d’un condensateur . . . . . . . .
1
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2
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3
3
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3
3
3
4
4
4
4
4
Chapitre
1
Diagramme de Bode
Considérons un circuit électrique en régime sinusoı̈dale forcé. Ce circuit
peut se ramené à un quadripole caractérisé par :
→ Ue (t) : tension d’entrée
→ Us (t) : tension de sortie
1.1
Fonction de transfert
Définition 1 On défini la fonction de transfert, notée H(jω), par le rapport
de Us (t) sur Ue (t) :
UMs (t)
Us (t)
H(jω) =
=
Ue (t)
UMe (t)
1.2
Gain et relation de phase
On défini le gain de la fonction de transfert par :
p
H(ω) = H(jω).H ∗ (jω)
On défini l’argument de la fonction de transfert par :
H(jω) = H(ω)ejϕ(ω)
avec ϕ(ω) l’argument.
Pour détermine l’argument, on isole au numérateur ou au dénominateur la
partie imaginaire, puis on utilise le faite que :
tan(±ϕ(ω)) =
2
Imaginaire
Réel
avec ± selon si la partie imaginaire est au numérateur (+) ou au dénominateur (-)
1.3
Ordre de la fonction de transfert
Définition 2 On défini l’ordre de la fonction de transfert comme le degres
le plus élevé du polynome associé, avec ω la variable.
1.4
1.4.1
Diagramme de Bode
Gain de décibel
Définition 3 On appele gain en décibel, notée HdB (ω), la fonction défini
par :
HdB (ω) = 20log(H(ω))
On utilise, pour le diagramme de bode, une échelle logarithmique
1.4.2
Tracer un diagramme de bode pour le gain
On utilise la méthode suivante pour tracer le diagramme de bode du gain :
→ On pose HdB en ordonnée, log(ω) en abscisse
→ On calcule les asymptotes : x → 0, x → ∞
→ On prend des valeurs particulière
1.4.3
Tracer un diagramme de bode pour l’argument
On utilise la méthode suivante pour tracer le diagramme de bode de
l’argument :
→ On calcule les asymptotes de tan(ϕ) : x → 0, x → ∞. On en déduit
les asymptotes de ϕ.
→ On prend des valeurs particulière
1.4.4
Pulsation de coupure à 3 dB
Définition 4 La pulsation de coupure à 3dB, notée ωc , est la pulsation pour
laquelle :
HdB (x) = HdBM ax − 3
3
Ce qui est équivalent à :
H(x) =
1.4.5
HM ax (x)
√
2
Fonction du 2nd ordre - Résonnance de charge
On observe que sur un montage R.L.C. avec sortie au borne de C, il y
à résonnance de charge pour Q > 0,7. À la résonnance, les caractéristiques
sont les suivantes :
r
1
→ x0 = 1 −
2Q2
Q
→ HM ax = r
1
1−
4Q2
→ Us (t) est en quadrature retard par rapport à Ue (t)
1.4.6
Fonction du 2nd ordre - Résonnance de tension
On observe que sur un montage R.L.C. avec sortie au borne de R, il y
à résonnance de tension ∀ Q. À la résonnance, les caractéristiques sont les
suivantes :
→ x0 = 1
→ HM ax = 1
→ Us (t) et Ue (t) sont en phase.
1.5
Détermination de la nature du filtre
On peut déterminer de façon qualitative le type de filtre crée par le circuit
étudié
1.5.1
Comportement d’un solénoı̈de
→ En Basse-Fréquence : Interrupteur fermé
→ En Haute-Fréquence : Interrupteur ouvert
1.5.2
Comportement d’un condensateur
→ En Basse-Fréquence : Interrupteur ouvert
4
→ En Haute-Fréquence : Interrupteur fermé
5