Correction du Devoir de mathématiques Exercice I

Correction du Devoir de mathématiques
Exercice I (/5)
Déterminer les sens de variations des fonctions suivantes en indiquant la ou les propriétés utilisées :
a) f (x) = -2x + 3 - x 2 sur [ 0 ; +• [
on a f (x) = f1(x) + f 2 (x) avec f1 (x) = -2x + 3 décroissante sur [ 0 ; +• [ et f 2 (x) = -x 2 décroissante sur [ 0 ; +• [ . Donc f est une
fonction décroissante sur [ 0 ; +• [ comme somme de deux fonctions décroissantes.
b) g(x) = x 3 sur†[ 0 ; +• [
†
†
† est croissante sur IR+ comme
† on a g(x) = g1 (g2 (x)) †
avec g1(x) = x croissante sur IR+et
g2 (x) = x†3 croissante sur IR+, donc g
†
composée de fonctions
croissantes.
c) h(x) = †fog(x) sur [ 0 ; +• [ après avoir écrit h(x)
†
3
3 2
† on a h(x) = -2 x† + 3 - ( x ) avec f décroissante
† sur IR+ et g croissante sur IR+ donc h est décroissante sur IR+ comme composée
de deux fonctions de sens de variations contraires.
1
d) k(x) = †
†
(2 - x)
†
Donc de *) et **) C(3 ; 2) est centre de symétrie de Cf , la courbe de f.
b) Déterminer l’axe de symétrie de Cg avec g la fonction définie sur
IR-{ -50 ; 20} par g(x) =
*) Si Cg admet un axe de symétrie alors il est aumilieu des valeurs exclues de l’intervalle de définition. Le milieu de [-50 ; 20 ]
est
on a k(x) = k1 (k 2 (x)) avec k1 (x) =
a) avec f1 (x) = -2x + 3 décroissante sur ] - • ; 3[ et f 2 (x) =
†
deux fonctions fonctions décroissantes.
†
b) avec f1 (x) = -2x + 3 décroissante
sur ]3 ; +•[ et f 2 (x) =
†
†
†
†
†
†
†
a) Soit f la fonction définie
† sur IR-{ 3 } par
†
†
2x -1
f (x) =
x-3
Montrer que Cf admet C(3 ; 2) pour centre de symétrie
*) Df= IR-{ 3 } est centré en 3 ( pout tout h de IR, 3 + h Œ Df ,et 3 - h Œ Df )
**) Il faut vérifier que pour tout h de †IR-{ 3 }, f (3 + h) + f (3 - h) = 2 ¥ 2 :
on a
f (3 + h) +
f (3 + h) +
f (3 + h) +
f (3 + h) +
f (3 + h) +
f (3 + h) +
2(3 + h) -1 2(3 - h) -1 †
f (3 - h) =
+
3+ h - 3
3 - h - 3†
6 + 2h -1 6 - 2h -1
f (3 - h) =
+
h
-h
2h + 5 -2h + 5
f (3 - h) =
h
h
2h + 5 + 2h - 5
f (3 - h) =
h
4h
f (3 - h) =
h
f (3 - h) = 4
et 4 est deux fois l'ordonnée de C
†
b) Expliquer comment Cf , la courbe de f, s’obtient par translation de la courbe de la fonction carrée et donner le vecteur de la
translation.
†
5
peut s’écrire f (x) = f1(x) + k
4
r
r
*) avec f1 (x) = (x - 2) 2 fonction associée de la fonction carrée, dont la courbe est obtenue par translation de vecteur u = 2i de la
f (x) = (x - 2) 2 -
courbe de la fonction carrée.
†
r
5
5r
donc Cf est obtenue par translation de Cf1 par translation de vecteur v = - j et puisque Cf1 est obtenue par
4
4
†
r
r 5r
r
r r
translation de vecteur u = 2i de la courbe de la fonction carrée alors Cf est obtenue par translation de vecteur u + v = 2 i - j
4
**) f (x) = f1(x) -
†
†
c) Résoudre f(x)=0 après avoir factorisé f(x).
†
5
=0
4
5
¤ (x - 2) 2 - ( ) 2 = 0
4
2
f (x) = 0 ¤ (x - 2)
†-
4
décroissante
]3 ; +•[ donc f est décroissante comme somme de
†
x-3
†
11
4
5
a) Montrer que f (x) = (x - 2) 4
5
5
(x - 2) 2 - = x 2 - 4 x + 4 †
4
4
5
11
on a (x -†2) 2 - = x 2 - 4 x +
4
4
5
(x - 2) 2 - = f (x)
4
2
-115
donc
7
115
115
£ f (x) £ -5 donc
et e†= -5 .
† d=7
7
Exercice III (/4)
†
†
†
† et donc 5 £ x £ 10 ¤ f (5) ≥ f (x) ≥ f (10) avec f (5) = -5 et f (10) =
sur [ 5; 10] , f est une fonction décroissante
-
Exercice V (/5)
Soit f la fonction définie sur IR par f (x) = x 2 - 4 x +
4
décroissante ] - • ; 3[ donc f est décroissante comme somme de
x†- 3
deux fonctions fonctions décroissantes.
3) Déterminer d et e tels que d £ f (x) £ e si x Œ [ 5; 10] (démontrer)
1
1
g(-15 - h) =
(-15 + h - 20)(-15 + h + 50)
(-15 - h - 20)(-15 - h + 50)
1
1
† - h) =
on a g(-15 + h) =
et g(-15
(h - 35)(h + 35)
(-h - 35)(-h + 35)
1
1
g(-15 + h) = 2
g(-15 - h) = 2
h -1225
h -1225
donc on a pour tout h de Dg g(-15 + h) = g(-15 - h)
g(-15 + h) =
Conclusion : de *) et **) , ∆: x=-15 est axe de symétrie de la courbe de g, Cg.
†
2) Déterminer les variationsde f , en l’étudiant sur ] - • ; 3[ puis sur ]3 ; +•[
†
on a †f (x) = f1(x) + f 2†(x)
†
-50 + 20
= -15 donc l’axe ∆: x=-15 est le seul axe pouvant être l’axe de symétrie :l’ensemble de définition est centré en -15.
2 †
**) Il faut vérifier que pour tout h de IR-{ -50 ; 20} on a g(-15 + h) = g(-15 - h) :
†
sur [ -• ; 2 [
1
décroissante sur IR*- et IR*+ et k2 (x) = (2 - x) = k 3 (k4 (x)) avec k3 (x) = x croissante sur IR+ et
x
†
k4 (x) = 2 - x décroissante de [ -• ; 2 [ vers IR*+.
†
Donc k2 est décroissante de [ -• ; 2 [ vers IR*+ comme composée de fonctions de sens de variations contraires et k1 étant
†
†
†
décroissante alors
† la fonction k est croissante sur [ -• ; 2 [ comme composée de deux fonctions décroissantes sur [ -• ; 2 [ .
†
Exercice II (/5) †
†
-2x 2 + 9x - 5
Soit f la fonction définie sur IR-{ 3 } définie par f (x) =
x-3
†
†
c
1) Déterminer a, b et c tels que f (x) = ax + b +
x-3
c
f (x) = ax + b +
†
x-3
(ax + b)(x - 3) + c
†
f (x) =
-2x 2 + 9x - 5
x-3
on a
donc pour que la forme précédente de f(x) soit égale à f (x) =
il faut que
3ax 2 + bx - 3ax - 3b + c
x-3
f (x) =
x-3
3ax 2 + (b - 3a)x - 3b + c
f (x) =
x-3
†
Ï a = -2
Ï a = -2
Ï a = -2
Ô
Ô
Ô
4
Ìb - 3a = 9
¤ Ìb = 9 + 3a ¤ Ìb = 3 donc f (x) = -2x + 3 +
x-3
Ô-3b + c = -5
Ôc = -5 + 3b
Ôc = 4
†
Ó
Ó
Ó
1
(x - 20)(x + 50)
"
"
"
"
¤ (x - 2 -
"
"
¤ (x - 2 -
†
5
)(x - 2 +
4
5
)=0
4
5
5
)(x - 2 +
)=0
2
2
5
5
et x = 2 2
2
5
5
SIR = {2 ; 2+
}
2
2
"
†
"
¤ x =2+
d) Faire le tableau de variations de la fonction f (expliquer les variations et comment déterminer le minimum)
†
†
r 5r
r r
5
est croissante comme somme de fonctions croissantes sur IR et la translation de vecteur u + v = 2 i - j nous
4
4
5
donne le minimum de f en - obtenu pour x=2. D’où le tableau de variations suivant :
4
f (x) = (x - 2) 2 -
X
-oo
+oo
2
†
+oo
+oo
variations
de
f
-5
4
†