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Ch II Cinématique du Solide I.Généralités et définitions Cinématique ≡ Etude du mouvement indépendamment des causes qui le produisent 1. Définition d’un solide indéformable P Un solide (S) est indéformable ou rigide si: ∀ A, B ∈ (S), ∀ t, REMARQUES : • ∀ A, B ∈ (S), ()= Cte (S) ∈ ∈ (S) • Un point P est rigidement lié à (S) : A ()= Cte ∀A∈ ∈(S), ∀t, B 2. Référentiel, Repère (R) x Balle lâchée dans un wagon en mouvement par rapport à la gare R(Oxyz, t) z = Référentiel orthonormé direct ≡ ensemble de points rigidement liés muni de : i k O j (S) Repère d’espace (Oxyz): • Homogène : indépendant de la position • Isotrope : y indépendant de la direction Repère de temps (horloge): • Temps absolu : indépendant de l’observateur O 2. Point d’un solide z M : point matériel quelconque d’un solide (S) • Vecteur position : • Vecteur vitesse (m/s) : • M () ⁄ = Vecteur accélération: (m/s ) : γ / 2 (S) = = y x / 3. Paramétrage de la position d’un solide Mouvement de (S)/() ≡ Translation + Rotation z Z (S ) On attache à (S) : OS k i Y X () ) Un référentiel qui lui est rigidement lié : % (% ; ', ), * j (S) Mouvement de (S) / () ≡ Mouvement de (% ) / (). ⇒ Repérage de la position et Orientation de (% )/() : y O x • Paramétrage de la position de l’origine % : Translation K φ K 3 coordonnées : cartésiennes(+, ,, -), cylindriques (ρ, θ, z) ou θ sphériques (r, θ, ϕ). ϕ). ) : Rotation • Paramétrage de l’orientation de la base (', ), * 3 angles : angles d’Euler ψ, θ et ϕ. ϕ ! i ψ j OS u Angles d’Euler : ψ . θ φ : angle de Précession / : angle de Nutation : angle de Rotation propre Le mouvement de rotation de (S) peut être décomposé en trois rotations planes successives autour de trois axes de rotation. , , !) La première rotation s’effectue autour de l’axe (% !) avec l’angle ψ tel que : (0, 1, !) → (3 ) s’appelle première base intermédiaire , , ! La base (3 • ψ k k ψ j k u ψ ψ i j ψ 7 (4 /) = 5! Ω i • avec l’angle θ: La deuxième rotation s’effectue autour de l’axe % 3 ) , , !) → (3 , 8 , 9 (3 ) s’appelle deuxième base intermédiaire , 8 , 9 La base (3 K = θ 7 9 v θ k θ Ω( /4 ) = :3 :3 w θ u v @K K k • La troisième rotation s’effectue autour de l’axe avec l’angle ϕ tel que : → , 8 , 9 % * 3 ) w ϕ ϕ u ) (>, ?, 9 I Ligne des nœuds J w ϕ I ϕ (% / ) = @9 Ω K u Conclusion : Solide libre non rectiligne ⇒ ⇒ 6 paramètres primitifs : (x, y, z , ψ, θ, ϕ) ϕ Exemples : 1. Point matériel libre : n=3: 3 degrés de translation = 3 coordonnées 2. Solide rectiligne non ponctuel (barre rigide) E = F z B θ 3 degrés de translation : 3 coordonnées y A 2 degrés de rotation : 2 angles d’Euler : ψ et θ x ψ 3. Système matériel : {E4 solides non rectilignes } ∪ {E solides rectilignes } ∪ {EG points matériels}} E = HE4 + FE + GEG II. Champ des vecteurs vitesse des points d’un solide Dérivation vectorielle. Formule de Varignon. K Soient et ′ deux référentiels : K = L (′⁄)∧K + Ω Formule Fondamentale de la Cinématique du Solide (F.F.C.S). ∀ A et B ∈(S) : dAB dt = dAB dt M ( M ⁄ )∧ +Ω ∧AB est un vecteur constant dans (N ) lié au solide (S), donc : dAB dOB S dAB Q =P Q ⎯P Q = T(/) − T(⁄) P dt dt S (N ⁄) = Ω (N⁄) Comme (S) et (N ) sont rigidement liés: Ω dt M = O Alors : (N⁄)∧ (⁄) = ( ⁄) + Ω ∀ , ∈(N) III. Torseur cinématique est antisymétrique et par conséquent c’est un de vecteur associé Ω D’après la F.F.C.S., le champ des vecteurs vitesse torseur. On l’appelle torseur cinématique ou torseur distributeur des vitesses noté: (N⁄) Ω (N⁄), ( ⁄)] [W(N/)] = Y Z ou [Ω ( ) ⁄ (M⁄) : résultante du torseur cinématique = vecteur rotation instantané de (S) par rapport à () Ω ( ⁄) : moment en A du torseur cinématique = vecteur vitesse de A ∈S par rapport à () REMARQUES (M⁄) ≠ O , alors l’axe central (∆) 1. Si Ω ∆) du torseur cinématique existe et on l’appelle axe instantané de rotation et de glissement ou encore axe de viration 2. Le champ de vitesses est équiprojectif : . . (⁄) = ( ⁄) ∀ , ∈(N) IV. Mouvements de Translation et de rotation 1. Mouvement de translation - Couple () = ^_ ∀ , ∊ (N)∀ Le torseur cinématique est un couple : • • Le champ des vitesses est uniforme (N⁄) = O. le vecteur rotation instantané est nul : Ω Instant t v (A /) B’ v (B’ /) A B Preuve : 1. 2. v (A’ /) A’ , () = ab v (B /) Instant t’ > t S alors : S = O donc : ⇒ Torseur cinématique = couple: Instant t : (/) = ( /) () = Instant ’ = + : (′/) = ( ′/) (′) = (/) = ( /) = () (N/)∧ (/) = ( /) + Ω ∀ , ∊ (N) (N⁄) = O ( /) ⟹ Ω (/) = = ′′ (N⁄) = O ( ⁄).Ω ⇒ >[W] = O [W(N/)] = d e ( ⁄) ≠ O ∀t Remarque : ), lié au solide (S) gardent des directions fixes dans ( ). Les vecteurs de base du référentiel % ( % ; ' , ) , * S' S) S* P Q = P Q = P Q = O S S S k Mouvement de translation rectiligne Le mouvement de translation de (S) par rapport à () est dit rectiligne si la trajectoire d’un point quelconque de (S) dans () est une droite. i O j Trajectoire Mouvement de translation circulaire Le mouvement de translation de (S) par rapport à () est dit circulaire si la trajectoire d’un point quelconque de (S) dans () est un cercle. k i O j K I K OS OS J I J K OS I N ⁄ J v OS ⁄ℛ 2. Solide en mouvement de rotation autour d’un axe fixe. Soit (S) un solide en rotation autour d’un axe (∆ ∆) fixe dans un référentiel (). Soit O ∊ (∆ ∆) : (⁄) = O i z La distance du point O à tout point du solide (S) est constante au cours du temps. y (N⁄)∧ (N⁄)∧ = Ω (⁄) = (⁄) + Ω ∈(N) (N⁄) = O (⁄).Ω Donc: >[W] = O Torseur cinématique = Glisseur Axe central = (∆ ∆). Si tous les points du solide (S) sont en mouvement sur des trajectoires circulaires centrées sur l’axe (∆ ∆) de vecteur unitaire j, à la même vitesse angulaire,k, alors : (M/) = kj Ω V. Champ des vecteurs accélération des points d’un solide Soit (S) un solide en mouvement par rapport à un repère (). La formule de transport : ∀ A et B ∈ (S) (N⁄)∧ (⁄) = ( ⁄) + Ω En dérivant par rapport au temps, dans (), on obtient : S S (M⁄)o ∧ (M/) ∧ q (⁄) = l (⁄) + m n l + n r S S ϕ x Sachant que : On arrive à : S (M⁄) ∧ q r = T(⁄)− −T(⁄) = n S (N⁄) t (N/) ∧ ut (N/) ∧ + t v (⁄) = s ( ⁄) + q s r ∧ (M/) ∧ un (M/) ∧ Le dernier terme n vest en général non nul. Par suite, le champ des vecteurs accélération des points d’un solide n’est pas représentable par un torseur. VI. Composition de mouvements z () (S) Soit (S) un solide en mouvement par rapport à deux référentiels () et (´). (O; w, x, j) : référentiel absolu , x′ , j′ ): référentiel relatif ´(´; w′ Soit A un point du solide (S). ′ + Relation de Chasles : = ′ 1. Composition des vecteurs rotation ( N⁄ ) =Ω ( N⁄' ) +Ω (′/) Ω ('⁄M) Ω(N⁄') = −Ω Ω A k i x O j k′ ' O’ j' i′ y Généralisation : }{4 (4 /{ ) = | Ω (} /}~4 ) Ω }4 K Exemple : Rotation autour d’un point fixe • (O; i, j, k) : Repère fixe ! φ K ) : Repère lié à un solide (S) • S(OS ≡ O; ', J, * • (S) en rotation autour du point fixe OS ≡ O (mouvement de rotation d’une toupie par exemple). (% ; i , j , k) ) , * (% ; 7, = ,ψ (j , RRRRR ,@ (* RRRRR θ ,: (7 , T, j) RRRRR 4 (% ; 7 % (% ; ', ), * Vecteur rotation instantané de (S) par rapport à () : N/ = Ω (N / = Ω (N / + (4 / Ω Ω( /4 + Ω (N/ = 5 + @9 ! + :3 Ω j OS ψ i u 2. Composition des vecteurs vitesse La vitesse absolue = vitesse relative + vitesse d’entrainement : ( = ( + ( _ ( = ( ⁄ = • Vecteur vitesse absolue : ( = ( ⁄′ = • Vecteur vitesse relative : • Vecteur vitesse d’entraînement : L L ⁄ ( (′ = + Ω (′/∧ ∧ ′ _ ( ( ′ = O) et qui coïncide, à l’instant t, avec le = Vitesse absolue d’un point ′ fixe dans le repère relatif (′) ( _ point A dans son mouvement par rapport à (). Les points A et ′ occupent la même position à l’instant t. Notation du point coïncidant ′: La vitesse d’entrainement s’écrit : Finalement : ′ ≡ ∈ ′ ( ′ = T(′⁄ ′ = T( ∈ ′⁄ ′ = O ( ( ∈′⁄ = ( ∈′ = _ L ( ⁄ = ⁄ + ( ∈′⁄ Remarque : ( ∈′⁄ = − ( ∈⁄′ E4 ( ∈4 /E = | ( ∈ /~4 4 On obtient également l’égalité des torseurs : (N/ Ω (N/’ Ω (’/ Ω Y Z= Y Z+ Y Z ( ⁄ ( ⁄ ′ ( ∈′⁄ D’où la relation de composition des torseurs cinématiques : [W(M/] = [W(M/’] + [W(’/] 3. Composition des vecteurs accélération accélération absolue= accélération relative+ accélération d’entrainement + accélération de Coriolis : ( = s ( + s ^ ( + s _ ( s • Accélération absolue : • Accélération relative : • Accélération de Coriolis : ( = s ( / = s ( = s ( /′ = s ( ( = (′⁄ ∧ ^ ( = t ( s = d2 O'A 2 dt ' • Accélération d’entraînement : ∧ n ∧ ′ lb ( = l(′⁄ + ∧ L + n Sn S C’est l’accélération absolue du point coïncidant ∈ ′fixe dans le repère relatif (′): Finalement : Remarque : b ( = l( ∈ ′⁄ l (′⁄ ∧ ( ⁄ = s ( ⁄L + s ( ∈ L ⁄ + t ( ⁄′ s ( ⁄ ′ ∈ ( ∈ L ⁄ ≠ P b ( = s l Q = _ ( VII. Cinématique de contact entre deux solides 1. Définitions On dit que deux solides (S1) et (S2) sont en contact, à un instant t, s’ils ont un ensemble commun de points matériels qui coïncident. Le contact est soit : Ponctuel : un seul point de contact Multi-ponctuel : linéique ou surfacique Liaison • Liaison : contrainte qui limite le mouvement relatif d’un solide par rapport à un autre. = Equation algébrique entre les paramètres primitifs, (≡ +, ,, -, 5, :, @ des solides en contact et/ou de leurs dérivées par rapport au temps (≡ + ,, , - , 5 , :,@) : • Liaison holonome : , = Rigidité d’un solide indéformable (S): O : , , = O ne dépend pas des ( = ( − + ( − + ( − = %b ∀ , ∈(N,∀ • Liaison non-holonome : • Liaison bilatérale : • Liaison unilatérale : (, , = O exclut la rupture du contact entre les deux solides ( = O. possibilité de rupture du contact ( ≥ O3 ≤ O Degrés de liberté Solide (S) libre : Le paramétrage est donné par n paramètres primitifs. Solide (S) soumis à liaisons : Liaison ≡ contrainte qui limite le mouvement Les n paramètres primitifs ≡ variables dépendantes. ⇒ La position de (S) est donnée par N paramètres indépendants N ≡ nombre de degrés de liberté Système libre : = O ≡ N < n nombre de variables indépendantes. = E j O Exemple : Disque de rayon R sur l’axe (Ox) • Coordonnées généralisées : n=6 : (+ , , , - ,: , 5 @ • Liaisons holonomes : , = , - = O,: = _ , 5 = @ ⇒ = • Nombre de degrés de liberté : = E − = H − = : (+ , @ j 0 O0 i0 j G i 2. Contact ponctuel (S1) et (S2) : Solides en mouvement dans ℛ (O; i, j, k). On distingue 3 points : • I1 : point matériel lié à S1 (I1 I ∈ S1) ≡ • I2 : point matériel lié à S2 (I2 I ∈ S2) • I : point géométrique de contact (S1) ≡ (ℛ) I1 I 2.1. Vitesse de glissement (>; N4 ⁄N , du solide On appelle vecteur vitesse de glissement au point I, (S1) par rapport au solide (S2), la vitesse d’entraînement du point I du solide (S1) par rapport au solide (S2) : (>;N4 ⁄N = (> ∈ N4 ⁄N = _ (> Composition des vitesses: (> ∈ N4 ⁄N = (>⁄N − (>⁄N4 O I2 (S2) (>; N4 ⁄N = (> ∊ N4 ⁄ − (> ∊ N ⁄∀( Ce qui donne: (>; N4 ⁄N = − (>; N ⁄N4 Remarque : Pivotement Proposition : Le vecteur vitesse de glissement est parallèle au plan tangent commun à (S1) et à (S2) en I. Définition Le solide (S1) roule sans glisser sur le solide (S2) (>; N4 ⁄N = O si : 2.2. Roulement et pivotement au point π tt tn Ω n (S1) (N4 ⁄N I de contact. Roulement (N4 ⁄N = Ω E + Ω Ω E = uΩ (N4 ⁄N . E : Vecteur rotation de pivotement vE •Ω Ω = E (N4 ⁄N ∧ Ev: Vecteur rotation de roulement. ∧ uΩ •Ω Ω (/N = ∊ (N4 ___ _ _E (S2) E¢£¢ ¢£¢ + ¡¢ + Ω ∧> ∧> Ω ¡¢ ¢¤ ¢¤ ___ ¥_ _E ___ 3_ _E k 3. Contact multi-ponctuel. Quelques types de liaisons Ω S2 (Cylindre) 3.1. Liaison rotoïde (pivot) ). 1 seul degré de liberté : rotation (d’angle ϕ) autour de l’axe (A,j Torseur cinématique = Glisseur O [W(N4 /N ] = § O k O O¨ O , ,x,j (w S1 (piston) kj = Y Z O A ∧ ( ∊ N4 /N = kj 3.2. Liaison glissière ). 1 seul degré de liberté : translation (de paramètre λ) selon l’axe (A,j Torseur cinématique = Couple: O [W(N4 /N ] = §O O ( ∊ N4 /N = ©j O O e = d O¨ © (w,x,j ©j S1 k S2 A k 3.3. Liaison verrou (ou pivot-glissant) ) et une 2 degrés de liberté : une rotation (d’angle ϕ) autour de l’axe (A,j ). translation (de paramètre λ) selon l’axe (A,j O [W(N4 /N ] = § O k O j k O¨ = Y Z © (w,x,j ©j Ω S2 (Cylindre) S1 (piston) A + @! ∧ ( ∊ N4 /N = ©j 3.4. Liaison sphérique (ou rotule) 3.5. 3 degrés de liberté : les trois rotations correspondant aux angles d’Euler: ψ, θ, ϕ. Torseur cinématique = Glisseur: + ª3 + 5! @9 [W(N4 /N ] = Y Z O + :3 ( ∊ N4 /N = (@9 + 5! ∧ S1 A S2 j O IV. Mouvement plan sur plan 1. Définition et propriétés On considère un disque (S) qui roule sur une table (S0). 0(O0, w0, x0, j0) : Référentiel lié à (S0) : Plan de référence perpendiculaire à j0 . Π0(O0, wO , xO ) ≡j 0) : Référentiel lié à (S). (O,w,x,j j 0 O0 i0 j i O Si chaque point de (S) se déplace dans un plan (Π) Π) de () parallèle au plan de référence (Π Π0), alors on dit que le mouvement de (S) par rapport à (S0) est un mouvement plan sur plan. Exemple : mouvement du fer à repasser Ω • Les vecteurs vitesse de tous les points de (S) restent dans des plans (Π) Π) parallèles à (Π Π 0). (∆ ∆) A Soit A ∊(S) et évoluant dans (Π Π). Le mouvement est plan sur plan alors : = 0 car (A/ 0) ∊ (Π (A/ 0) .j Π) I T(A/ 0) ∏ ∏0 • Le vecteur rotation instantané du solide (S) ! par rapport à (0) est perpendiculaire au plan (M⁄O ∧ du mouvement Π: Ω j = O (M⁄O = «! Ω Pour A et B ∈(S) et évoluant dans (Π Π) on a : (S/ 0) ∧ (S/ 0) ∧ (S/ 0) ⊥ Π [T(/O − T(/O ] = Ω ⟹ Ω ∊ Π ⟹ Ω ¡¢¢¢¢¢¢¢£¢¢¢¢¢¢¢¤ ∈∏ 2. Centre Instantané de Rotation (CIR) Mouvement plan sur plan : ∈∏ (N⁄O = O ( /O . Ω >[¯] = (M⁄O ≠ O, Ω de vecteur directeur ! et passant par le point central I Axe central = droite ∆>, ! Moment central nul : Le point I est unique T'∈ ∈/O = O. Torseur cinématique = Glisseur Définition On appelle centre instantané de rotation (CIR), à l’instant t, du mouvement plan sur plan de (S) par rapport à ( 0), le point I, intersection entre le plan (Π Π) et l’axe instantané de rotation (∆) tel que:: (>∈⁄O = O > ∈ ± ∩ ∆ Au cours du mouvement, le point I change de position dans (Π) et (Π0). 3. Base et roulante Base : Trajectoire du CIR dans le plan (Π Π0 ) Roulante : Trajectoire du CIR dans le plan (Π Π) La base et la roulante roulent sans glisser l’une sur l’autre. Les deux courbes sont tangentes au point I (CIR) 4. Recherche géométrique du CIR I ≡ Centre instantané de rotation. Soit M un point quelconque lié au plan (Π Π) du solide (S). T (A/ 0) T (C/ 0) T (B/ 0) B C (N/O ∧ (N/O ∧ (/O = (>/O + Ω > = Ω > Donc (/O ⊥ > Le CIR se trouve à l’intersection des perpendiculaires aux vecteurs vitesse du solide. A I 5. Champ des vecteurs. Méthode des triangles : (′⁄ℛO Connaissant la position du CIR et un vecteur vitesse, on peut déterminer géométriquement tous les vecteurs vitesse d'un solide. car Ω (N/O ⊥ > ‖ (/O ‖=>Ω ∀ ∊(Π Π) lié à (S) on a : ‖ (/O ‖ = ^_ > ( ⁄ℛO A B C C’ I Pour les points quelconques A, B, C, on a : ‖ (⁄O ‖ ‖ (⁄O ‖ ( ⁄O ‖ ‖ = = > > > - Les vecteurs situés sur une même trajectoire circulaire ont donc même module. C et C’appartiennent à une même (⁄O ‖ = ‖ (′⁄O ‖ trajectoire circulaire de centre I: IC’ = IC. Donc : ‖ Exercice 1 y Soit une barre (AB) rigide et homogène de longueur L, en mouvement ). L’extrémité A glisse B dans le plan vertical xOy du référentiel (O,w,x,j ) sur l’axe Ox, alors que l’extrémité B glisse sur l’axe Oy. Soit 1(A, ',),j le référentiel lié à la barre (AB). La barre (AB) est repérée dans ( par l’angle α. Tous les résultats vectoriels doivent être exprimés dans la base ) de ( (i,j,j 1. Paramétrage de (S) I J j 2. Déterminer le torseur cinématique au point A [W (AB / )]A. α x Préciser sa nature. i 3. Déterminer le moment central et l’axe central du torseur A O cinématique (⁄ et ´ ( ∈ /. 4. Calculer de deux manières différentes les vecteurs vitesses : ´ (⁄ et l ( ∈ / 5. Calculer de deux manières différentes les vecteurs accélérations : l 6. Trouver géométriquement et par calcul, la position du centre instantané de rotation I du mouvement plan sur plan de la barre (AB) dans ( 7. Déterminer la base (b) et la roulante (r) du mouvement plan sur plan de la barre (AB) par rapport à (). Tracer la base et la roulante. ('/¶. Conclure ('/µ et ´ 8. Calculer les vecteurs vitesses du centre instantané de rotation: ´ 1. Paramétrage de (S) Nombre de paramètres primitifs : n= n=5 car la barre est un solide rectiligne Nombre de liaisons : Dans le repère (R), A(xxA,yA,zA) et B(xxB,yB ,zB ) A glisse sur l’axe (O, i), donc yA =0 et zA =0 J B glisse sur l’axe (O,1, α j k α I i donc xB =0 et zB =0 Donc = 4 . Nombre de degrés de liberté : = E − = F − = 4 seul degré de liberté On choisit l’angle de rotation α pour définir sa position par rapport à (R). > = (1, ?. Posons ¾ = 0, > = ^ ¾0 + E ¾1 2. Torseur cinématique au point A (N⁄ Ω ( ⁄ = Donc: 3. Moment central et Axe central ∆ N⁄ = 0 (A/R) . Ω I[VV ] = A α i ? = −E¾0 + ^ ¾1 et = Á¾ ^ ¾0 N⁄ ≠ O Ω O ¾ ! [W(N/] = Y Z= § O Á¾ ^ ¾0 ¾ Donc c’est un glisseur. (I ∈ S/R) = 0 Par conséquent, son moment central est nul : ∀ I ∈ (∆) v Axe central ∆: O I (S/R) =¾ ! Ω Z [¯(N/] = Y ( ⁄ =L sin α i OA J j B Á¾ ^ ¾ ¨ O O (0,1,! (N/ ≠ O donc l’axe central existe. Ω passant par le point I et de vecteur directeur Ω tel que : L’axe central est la droite ∆(Ι, Ω > = (⁄ 4. Directement: =Á ^ ¾1 F.F.C.S. : Donc: (N⁄∧ ( ⁄ Ω (N⁄ Ω Donc : v ( ⁄ = v( ⁄ ) = ∧Á¾ ^ ¾0 ¾ ! ¾ ! (⁄ = P Q = −Á¾ E ¾1 ( S⁄R) ∧ + Ω ∧ L? = Á¾ ^ ¾0 − Á¾ > = Á¾ ^ ¾0 + ¾ ! (⁄ = −Á¾ E ¾1 ( ∊ N⁄ : F.F.C.S. = Á ^ ¾1 = ∊ N : ( ∊ N⁄) = v ( A⁄R ) + Ω ( S⁄R) ∧ ∧ = Á¾ ^ ¾0 + ¾ ! ∧(−Á E ¾0 = Á¾ (^ ¾0 − E ¾1 ( ∊ N⁄) = ( ∊ 4⁄) = ( ⁄) - ( ⁄4) Composition (⁄ = O ( ⁄4 = 4 i = 4 = − L sin αi 4 = −Á¾ i ^ ¾0 − L sin α 4 ∧ = −¾ à + Ω ( ⁄4 ) ∧ 0 = −¾ ! i ( ⁄4 = −Á¾ ^ ¾0 + L ¾ sin α 1 ( ∊ N⁄) = Á¾ (^ ¾ − E ¾Ã (B⁄R: 5. γ Directement : (⁄ s(⁄ = P Q = −Á(¾Å E ¾ + ¾ ^ ¾1 (N⁄Ç ∧ (N/ ∧ ut (N/ ∧ (⁄ = s ( ⁄ + Æ t s + t v Champ : ( ⁄ ( ⁄ = P s Q = Á(¾Å ^ ¾ − ¾ E ¾0 ∧ L? = −Á¾Å > = −Á¾Å (cos α i+ sin α j (N⁄Ç ∧ Æ t = ¾Å ! ∧ ∧ L? = −Á¾ ? = −Á¾ (−E¾0 + ^ ¾1 t (N⁄ ∧ ut (N⁄ ∧ ∧ (¾ ! v = ¾ ! (⁄ = −Á(¾Å E ¾ + ¾ ^ ¾1 s (O∊S⁄R): γ A ∊ S : ⁄) + ∊ N⁄) = s s N⁄) t N/) ∧ ut N/) ∧ ∧ + t v = −ÁE ¾0 ⁄) = Á¾Å ^ ¾ − ¾ E ¾) s ∧ ÁE ¾0 − ¾ ! ∧(¾ ! ∧ ∊ N⁄) = Á¾Å ^ ¾ − ¾ E ¾)0 − ¾Å ! s ∧ ÁE ¾0)=Á¾Å ^ ¾ 0 − E ¾1) N/) ∧ ∊ N⁄) = s ⁄) − s ⁄4 ) − t s ( ⁄4 ) Composition : ⁄) = O s ( ⁄4 ) = −Á¾ ^ ¾0 + L ¾ sin α 1 (⁄4 (⁄4 = P s Q 4 i = −Á(¾Å ^ ¾ − ¾ E ¾ + L (¾Å sin α + ¾ ^ ¾Ã − Á¾ ^ ¾ P Q 4 j + L ¾ sin α P + L ¾ sin α } = −Á¾Å ^ ¾ − ¾ E ¾) + L ¾Å sin α + ¾ ^ ¾Ã + Á¾ ^ ¾ j = −Á(¾Å ^ ¾ − ¾ E ¾ + L (¾Å sin α + ¾ ^ ¾Ã j j ∧ à = ¾ } Car: = + Ω ( ⁄4 ) ∧ 1 = −¾ ! 4 Q 4 N/) ∧ t ( ⁄4 )O = ¾ ! ∧ −Á¾ ^ ¾0 + L ¾ sin α 1 = −Á¾ ^ ¾1 − L ¾ sin α w Finalement : ( ∊ N⁄) = Á¾Å ^ ¾ 0 − E ¾1) s REMARQUE : ∊N⁄) j 6. Détermination du CIR Par calcul : > = Á ^ ¾1 = Le point I est le 4ème sommet du rectangle BOAI J I I B Géométriquement: L’axe central (∆ ∆) du glisseur ⁄⁄ k. (Π Π0) le plan (O, i, j) . (Π) Π) le plan (A, I, J). I (∆ ∆ ) ℜ Π0 v(I ∊ S/R) = 0 (S/ R ) ∧ IA = Ω (S/ R ) ∧ IA / = vI/R + Ω Donc: vA/R ⊥IA (S/ R ) ∧ (S/ ) ∧ vB/R = vI/R + Ω > = Ω IB Donc : vB/R ⊥IB G v (B/R) α O A v (A/R) i On trace les perpendiculaires aux vecteurs vitesse en A et en B. L’intersection des deux normales donne la position du CIR=I. j 7. Base et roulante Base: Lieu des points I( x, y) dans R(O; i, j, k) : + > = > = Á E ¾0 + Á ^ ¾1 OI OI= =L +2 + y2 = L2 =L La base (b) est un quart de cercle de centre O et de rayon L dans (R) Roulante : Lieu des points I (X, Y) dans R1(A, I, J, K) > = Á ^ ¾1 = Á^¾E ¾> + ^¾? = È> + É? È = Á^¾ E ¾ = ÁE¾ ; Á(4 + ^¾) É = Á(^¾) = J Roulante Base B v (B/R) I I G O Á Á È + É − = La roulante (r) est un demi cercle de centre (O, Á/, O) et de rayonÁ/ dans (R1). 8. > = Á E ¾0 + Á ^ ¾1 > (>⁄Ê) = / Ë = Á¾ (^ ¾0 − E ¾ 1) A α v (A/R) i > = Á ^ ¾1: > (>⁄ = / Ë = Á¾ (^ ¾0 − E ¾ 1 4 Conclusion: (>⁄Ê = (>⁄ Par conséquent: (>∈⁄Ê = 0: La base et la roulante roulent sans glisser l’une sur l’autre. Exercice 2 : Variateur à plateau (O; w, x, j) un repère fixe. Un disque (S1) de centre C1 et de rayon R1, tourne autour de l’axe (O w) . Le centre C1 est sur (O w) et le plan de (S1) est perpendiculaire à (O 0 ). Un plateau circulaire (S2) de centre C2 tourne autour de l’axe (O j). Le centre C2 est sur (O j) et le plan de (S2) est perpendiculaire à (O j). Le plateau circulaire roule sans glisser sur le disque (S1) en un point I tel que : > = 0. ( > O (M4 / = Í4 w Ω (M / = Í j Ω S2 I C2 O C1 S1 1. Déterminer la relation entre la vitesse angulaire Í du plateau (S2) et la vitesse angulaire Í4 du disque (S1). 2. Déterminer le vecteur rotation de roulement et le vecteur rotation de pivotement du mouvement de (S2) par rapport à (S1) en fonction de Í4 , R1 et R2. 1. Déterminer la relation entre Í et Í4 (S2) roule sans glisser sur (S1), donc : (>; N ⁄N4 = (> ∈ N ⁄N4 = O Or : (> ∈ N4 ⁄ (> ∈ N ⁄N4 = (> ∈ N ⁄ − (N ⁄∧ (> ∈ N ⁄ = ( ⁄ + Ω > ; ( ⁄ = O (> ∈ N ⁄ = Í !∧ 0 = Í 1 (N4 ⁄∧ (> ∈ N4 ⁄ = (4 ⁄ + Ω (4 ⁄ = O 4 >; = −4 Í4 1 (> ∈ N4 ⁄ = Í4 0∧4 ! Donc la vitesse de glissement s’écrit: Pas de glissement : (> ∈ N ⁄N4 = ( Í + Í4 4 1 Í + Í4 4 = O 2. Déterminer le vecteur rotation de roulement et le vecteur rotation de pivotement du mouvement de (S2) par rapport à (S1) en fonction de α1 , r1 et r2. (N ⁄N4 = Ω (N / - Ω (N4 / = Í ! − Í4 0 Ω k). Le plan tangent en I entre (S1) et (S2) est le plan (I, i, j) et la normale à ce plan est (I, • Le vecteur rotation de pivotement est suivant la normale (I, k) au plan : Ω E (N ⁄N4 = Í ! = − 4 Í4 k • Le vecteur rotation de roulement est parallèle au plan donc : (N ⁄N4 = −Í4 0 Ω