Fonction inverse. Fonctions homographiques Année scolaire

Fonction inverse. Fonctions homographiques
Seconde
Année scolaire
2012/2013
I) La fonction inverse :
1) Définition :
1
est définie sur ℝ* = ]-∞ ; 0[∪]0 ; +∞[.
x
f est appelée la fonction inverse.
La fonction f qui à x associe
2) Variations :
Propriété :
La fonction inverse est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0[ puis
également sur ]0 ; +∞[.
Tableau de variations :
x
–∞
0
+∞
Variations de
la fonction f
Démonstration sur ]-∞ ; 0[ :
Soient x et y dans ]-∞ ; 0[ tels que x < y
1
1
alors :
>
Donc f est bien décroissante sur ]-∞ ; 0[
x
y
On raisonne de même sur ]0 ; +∞[.
REMARQUE : (Attention !)
Il ne faut pas dire « f est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0[∪]0 ; +∞[»
En effet : si on prend x = - 2 et y = 1
1
1
1
1
1
On a : x < y et comme
=
et
= 1 d'où :
<
x
–2
y
x
y
Le travail sur les variations se décompose en deux parties : sur]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[
3) Représentation graphique :
La fonction inverse se représente graphiquement sous la forme d'une hyperbole.
Cette courbe est constituée de deux « parties » : on dit deux arcs d'hyperbole.
Tableau de valeurs :
x
1
x
-6
-5
-4
-3
-2
-0,17 -0,2 -0,25 -0,33 -0,5
-1
1
2
-1
1
0,5
3
4
5
6
0,33 0,25 0,2 0,17
Cette hyperbole présente un centre de symétrie : le point O, origine du repère.
4) Application à la comparaison d'inverses :
Il est possible de démontrer certaines inégalités en utilisant la décroissance de la
fonction inverse.
Exemple :
Soit A = 3 - √ 10
et B = 3 - √ 11
Ranger par ordre croissant et sans calcul, les inverses des nombres A et B.
Solution : Comme √ 9 = 3, 3 - √ 10 < 0 et 3 - √ 11 < 0
De manière évidente, 3 - √ 10 > 3 - √ 11
Or, la fonction inverse est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0[, d'où :
1
1
<
A
B
II) Fonctions homographiques :
1) Définition :
Soient a,b,c et d , quatre nombres réels tels que c≠ 0.
ax +b
d
On considère la fonction f définie par f(x) =
pour x ≠ cx +d
c
On dit que f est une fonction homographique.
Exemple :
4x – 1
Soit f définie par f(x) =
.
f est une fonction homographique.
7 x +2
Remarque :
On prend c≠ 0, sinon f(x) =
ax +b
a
b
=
x+
et alors f est une fonction affine.
d
d
d
2) Ensemble de définition :
Une fonction homographique est définie sur ℝ sauf en la valeur de x qui annule le
dénominateur.
De manière pratique, pour déterminer le domaine de définition d'une fonction
homographique, il suffit de regarder pour quelle valeur de x son dénominateur
s'annule.
Exemple :
4x – 1
Soit f définie par f(x) =
7 x +2
f est définie si et seulement si 7x + 2 ≠ 0
–2
Or, 7x + 2 = 0 ⇔ 7x = - 2 ⇔ x =
7
–2
Donc : Df = ℝ \ {
}
7
3) Représentation graphique :
Cliquer sur le lien suivant pour observer la représentation graphique d'une fonction
homographique :
http://mangeard.maths.free.fr/Ecole/JeanXXIII/Seconde/fcts_homographiq
ues.html
Toute fonction homographique se représente graphiquement sous la forme d'une
hyperbole.
Exemples:
3
a) On considère f définie par f(x) = 2 +
sur [-5;5] \ {1}
x–1
On montre que f est homographique :
2( x – 1)
3
2 x – 2+3
2 x +1
f(x) =
+
=
=
(a = 2, b = 1, c = 1 et d = - 1)
x–1
x–1
x–1
x–1
f est strictement décroissante sur [-5;1[ et également sur ]1;5]
3
b) On considère g définie par g(x) = 2 sur [-5;5] \ {1}
x–1
On montre que g est homographique :
2( x – 1)
3
2 x – 2−3
2 x −5
g(x) =
=
=
(a = 2, b = -5 , c = 1 et d = - 1)
x–1
x–1
x–1
x–1
g est strictement croissante sur [-5;1[ et également sur ]1;5]
Remarque :
- Pour la fonction f,
ad – bc = 2x(-1)-1x1 = - 3 < 0 et f strictement décroissante
- Pour la fonction g, ad – bc = 2x(-1) - (-5)x1 = -2 + 5 = 3 > 0 et g strictement
croissante.
4) Utilisation de la calculatrice : lectures graphiques et représentations
III)
Equations-quotients :
A
1) Rappel :
=0
B
Soit B≠0,
A
=0 ⇔A=0
B
2) Exemples de résolution :
Remarque importante : Avant de se lancer dans la technique de résolution d'une
équation-quotient, on commence toujours par déterminer les éventuelles valeurs
interdites. (ces valeurs sont celles qui annulent le dénominateur de l'écriture
fractionnaire concernée)
3 x +2
=0
x –4
Il y a une seule valeur interdite : la solution de x – 4 = 0
D'où la valeur interdite est 4
3 x +2
2
2
= 0 ⇔ 3x + 2 = 0 ⇔ x = Donc S = {}
x –4
3
3
a) Résoudre l'équation suivante :
Remarque :
3 x +2
, alors f est une fonction homographique.
x –4
L'équation précédente est équivalente à f(x) = 0
C'est-à-dire : la solution est l'antécédent de 0 . Autrement dit, l'abscisse du point de
la courbe de f d'ordonnée nulle.
Si on pose f(x) =
b) Résoudre l'équation suivante :
5x – 1
=1
2 x +7
Valeur interdite :
7
2
On se ramène au cas d'équation étudié dans le a) :
5x – 1
5x – 1
5x – 1
2 x +7
=1⇔
-1=0⇔
=0
2 x +7
2 x +7
2 x +7
2 x +7
5x – 1 – 2x – 7
⇔
=0
2 x +7
3x – 8
⇔
=0
2 x +7
⇔ 3x – 8 = 0
8
⇔x=
3
2x + 7 =0 ⇔ x = -
Donc : S = {
8
}
3
Remarques : - Pour la résolution de cette équation, on aurait pu utiliser le produit en
croix.
En effet :
5x – 1
= 1 ⇔ (5x – 1)x1 = (2x + 7)x1
2 x +7
⇔ 5x – 1 = 2x + 7
⇔ 3x = 8
8
⇔x=
3
- Graphiquement, on peut interpréter la résolution de cette équation
comme la recherche de l'abscisse du point d'intersection de la courbe de f si f est
5x – 1
définie par f(x) =
avec la droite horizontale à l'ordonnée 1.
2 x +7
2 x +5
4 x +7
c) Résoudre l'équation suivante :
=
3x – 9
6x – 1
Valeurs interdites :
3x – 9 = 0 et 6x – 1 = 0
1
x=3
et
x=
6
2 x +5
4 x +7
=
⇔ (2x + 5)(6x – 1) = (3x – 9)(4x + 7) (produit en croix)
3x – 9
6x – 1
⇔ 12x2 – 2x + 30x – 5 = 12x2 + 21x – 36x – 63
⇔ 28x – 5 = - 15x – 63
58
⇔ 43x = - 58 ⇔ x = 43
Donc : S = {-
58
}
43
Graphiquement, on a déterminé l'abscisse du point d'intersection de deux
hyperboles : celle représentant une fonction homographique f définie par
2 x +5
f(x) =
et celle représentant une autre fonction homographique g définie par
3x – 9
4 x +7
g(x) =
6x – 1
IV)
Inéquations-quotients :
Comme pour la résolution des équations, on commence toujours par déterminer les
éventuelles valeurs interdites.
On va procéder comme pour la résolution des inéquations-produits.
La seule différence est qu'aux éventuelles valeurs interdites dans le tableau de
signes, à la dernière ligne, on trouvera des double-barres.
Exemples :
a) Résoudre à l'aide d'un tableau de signes l'inéquation suivante :
3 x +5
>0
2x – 3
Valeur interdite :
2x – 3 = 0 ⇔ x =
3x + 5 > 0
5
x>3
3
2
2x – 3 > 0
3
x>
2
x
-∞
-
5
3
+∞
3
2
Signe de 3x + 5
-
+
+
Signe de 2x - 3
-
-
+
Signe du quotient
+
-
+
Donc S = ]-∞ ;-
5
3
[ ∪ ] ;+∞[
3
2