Rappel des résultats à connaître sur les fonctions polynômes de

Fonctions polynômes de degré 2 et fonctions homographiques - corrigé
Rappel des résultats à connaître sur les fonctions polynômes de degré 2.
Rappel des résultats à connaître sur les fonctions homographiques.
On appelle fonction homographique toute fonction h non affine qui peut s'écrire comme quotient de deux
fonctions affines. Soit a, b, c et d quatre réels tels que ad −bc ≠0 et c≠0 .
d
ax +b
Pour tout x ≠− , f (x )=
c
cx +d
A
Toute fonction homographique a une écriture (canonique !) de la forme f ( x )=β+
.
x −α
Elle est représentée par une hyperbole centrée autour du point Ω(α ;β) .
Exercice 1 : Déterminer les fonctions polynômes du second degré f et g qui vérifient :
1. cf passe par A(0 ; 2) et a pour sommet S (−1;−4) .
f a une expression de la forme f (x )=a (x +1)2−4 (forme canonique)
A ∈ cf donc f (0)=2
a (0+1)2−4=2
a=6
Finalement, pour tout x ∈ ℝ, f (x )=6( x+ 1)2 −4
f ( x )=6 x 2 +12 x + 2
2. cg passe par B( 2 ;0) , C (−4 ;0) et D(0 ;−16) .
Les points B et C sont les points d'intersection de la parabole cf avec l'axe des abscisses : les racines du
polynômes sont donc 2 et −4 .
Donc, g a une expression de la forme g ( x)=a( x−2)(x +4) (forme factorisée)
D ∈ cg donc f (0)=−16
a (0−2)(0+ 4)=−16
a=2
Finalement, pour tout x ∈ ℝ, g ( x)=2( x −2)(x +4)
2
g ( x)=2 x +4 x−16
Exercice 2 : Sur la figure ci-contre, CUAD est un carré de côté 10 cm. M est un
point de [CD]. On désigne par x la distance DM exprimée en centimètres. f (x )
désigne l'aire de la surface colorée, c'est à dire l'aire de la figure formée par le
carré MOND et le triangle COU.
1. Déterminer l'expression de f ( x ) en fonction de x et préciser l'ensemble de
définition de f.
M étant un point mobile sur le segment [DC], DD⩽DM⩽DC .
0⩽x⩽10
df = [0 ;10 ]
2 UC×CM
Pour tout x ∈ [0 ;10 ] , f ( x )=DM +
2
2
f (x )=x +5(10−x )
2
f (x )=x −5 x+50
2. Déterminer par le calcul les valeurs de x pour lesquelles f (x )=50 .
x 2−5 x +50=50
⇔
f ( x )=50
0⩽x⩽10
⇔
⇔
⇔
{
x=0
{x0⩽−5x⩽10
( x−5)=0
{x0⩽x
⩽10
2
x=0
ou
x=5
3. Déterminer le tableau de variations de f. Justifier avec soin.
f est un polynôme de degré 2. Le coefficient de x 2 est 1, donc positif. La représentation graphique de f est
−5 5
= .
donc une parabole orientée vers le haut. L'abscisse de son sommet S est x S =−
2×1 2
5 175
5 2
5
175
. S ;
.
y S= f ( x S )=
−5× + 50=
2 4
2
2
4
On peut maintenant dresser le tableau de variations de f.
()
(
)
x
5
2
0
f (x )
50
10
100
175
4
4. a) Déterminer la ou les valeur(s) de x pour lesquelles l'aire de la surface colorée est maximale.
L'aire de la surface colorée est évidemment maximum lorsque M est en C, car cette surface recouvre alors
entièrement le carré CUAD, résultat qui est cohérent avec le tableau de variations de la fonction f (fort
heureusement...).
5. Déterminer la ou les valeur(s) de x pour lesquelles l'aire grisée est minimale.
D'après le tableau de variations de la fonction f, le minimum de cette fonction est atteint en
5
. L'aire de la
2
surface colorée est donc minimum lorsque x=2,5 cm et cette aire vaut alors 43,75 cm².
6x
. On appelle cf sa représentation
4–3x
graphique dans le repère orthonormé O ; i , j fourni en annexe I.
Exercice 3 : On considère la fonction f définie par f ( x )=
Partie A
]
1. df = −∞;
[]
[
4
4
∪ ;+∞ .
3
3
6x
+2
4−3 x
6 x +2(4−3 x)
=
4−3 x
6 x +8−6 x
=
4−3 x
8
=
4−3 x
≠0
2. Pour tout x ∈ df , f ( x )+ 2=
3. f est une fonction homographique donc cf est une hyperbole.
Le centre de symétrie de cf est le point d'intersection des deux droites n'ayant aucun point commun
4
avec l'hyperbole : il s'agit des droites d'équations respectives x= et y=−2 , d'après les deux
3
4
questions précédentes (
n'ayant pas d'image par f et −2 n'ayant pas d'antécédent par f ).
3
4
Le centre de symétrie de cf est donc le point Ω ;−2 .
3
(
4. D'après la question 2., pour tout x ∈ df , f ( x )=−2+
Soit a et b deux réels de l'intervalle
]
)
8
.
4−3 x
[
4
;+∞ tels que a< b .
3
4
<a< b
3
0>4−3 a> 4−3 b (car la fonction affine [x  −3 x + 4 ] est strictement décroissante sur ℝ)
1
1
<
(car la fonction inverse est strictement décroissante sur ℝ-∗)
4−3 a 4−3 b
8
8
<−2+
(car la fonction affine [x  8 x−2 ] est strictement croissante sur ℝ)
4−3 a
4−3 b
f (a)< f (b)
4
On a montré que : <a< b ⇒ f (a)< f (b)
3
4
;+∞ .
Ce qui signifie que la fonction f est croissante sur
3
−2+
]
[
5. En utilisant les résultats des questions précédentes et la symétrie autour de , on peut dresser le tableau
de variations de f suivant :
4
x
–∞
+∞
3
f (x )
+∞
–2
–2
–∞
Partie B
2
Soit g la fonction définie sur ℝ par g ( x)=−x +5 x−4 .
1. g est un polynôme du second degré donc cg est une parabole.
Le coefficient de x est négatif, donc la parabole est tournée vers le bas.
5
5
= .
Son sommet S a pour abscisse x S =−
2×(−1) 2
y S= g (x S )
5 2
5
9
y S=−
+5× −4=
2
2
4
5 9
Donc S ;
2 4
g ( 0)=−4 donc le point d'intersection de cg avec l'axe des ordonnées a pour coordonnées (0 ;−4) .
()
( )
2. Connaissant les coordonnées du sommet de la parabole représentative de g, on déduit aisément la forme
canonique du polynôme :
2
5
9
+
Pour tout x ∈ ℝ, g ( x)=− x−
2
4
2
5
9
=− x− −
2
4
( )
[( ) ]
=− ( x− ) −( )
[ 52 32 ]
5 3
5 3
=− ( x− )+
x − )−
(
[ 2 2 ][ 2 2 ]
2
2
=−( x−1)(x−4)
3. D'après la forme factorisée de g, cette fonction s'annule en 1 et 4 : la parabole coupe l'axe des abscisses
en (1; 0) et (4 ; 0) .
On sait de plus qu'elle est tournée vers le bas.
On peut déduire de ces deux informations que la parabole est en dessous de l'axe (O x) sur ]−∞;1 [ et
sur ]4 ;+ ∞[ et au-dessus de l'axe (O x) sur ]1; 4[ .
D'où le tableau de signes de g :
x
–∞
1
4
+∞
g ( x)
–
0
+
0
–
Partie C
1. A (1; y A ) ∈ cf donc y A = f (1)=6
A (1; 6)
2. f (x )=−3
⇔
−2+
8
=−3
4−3 x
8
=−1
4−3 x
3 x−4=8
4
⇔
x≠
3
3 x=12
4
⇔
x≠
3
x=4
⇔
−3 admet 4 pour unique antécédent par f.
B( 4 ;−3)
⇔
{
{
3.
y B− y A −3−6
=
=−3
x B− x A
4−1
Donc la droite (AB) a une équation réduite de la forme y=−3 x+ p
A (1; 6) ∈ (AB) donc 6=−3×1+ p , ce qui donne p=9 .
Finalement, (AB) a pour équation réduite y=−3 x+ 9 .
4. Résoudre graphiquement l'inéquation f ( x )≤ −3 x+ 9 revient à chercher les abscisses des points de cf
qui sont en dessous ou sur la droite (AB), s'il en existe.
4
D'après le graphique, l'ensemble des solutions de (I) est ]−∞;1 ]∪ ; 4 .
3
] ]
5. a. (I)
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
f ( x )⩽−3 x+ 9
6x
−(−3 x+ 9)⩽0
4−3 x
6 x+(4−3 x )(3 x−9)
⩽0
4−3 x
2
6 x+12 x−36−9 x + 27 x
⩽0
4−3 x
−9 x 2 + 45 x−36
⩽0
4−3 x
2
9(−x +5 x−4)
⩽0
4−3 x
9g (x)
⩽0
4−3 x
b.
x
–∞
4
3
1
4
+∞
9
+
⋮
+
+
⋮
+
g ( x)
–
0
+
+
0
–
4−3 x
+
⋮
+
–
⋮
–
9g (x)
– 0
+
–
0
+
4−3 x
On retrouve bien à l'aide de ce tableau l'ensemble des solutions de l'inéquation (I).