Chapitre II : Fonctions polynômes du second degré Extrait du

Chapitre II : Fonctions polynômes du second degré
Extrait du programme :
I.
Forme canonique d’un polynôme du second degré
Définition : Dire qu’une fonction 𝑓 définie sur  est une fonction polynôme de degré 2 signifie qu’il
existe trois nombres réels 𝑎 (a0), b et c tels que pour tout x :
f ( x ) = ax² + bx + c
L’écriture ax² + bx + c est la forme développée de f ( x ).
Exemple : si g ( x ) = 3x² − 4x + 1 alors g fonction polynôme de degré 2 avec a = 3 ; b = − 4 et c = 1
Si h ( x ) = − x² + 7 alors h fonction polynôme de degré 2 avec a = − 1, b = 0 et c = 7
Représentation graphique :
Dans un repère orthogonal, la représentation graphique cf d’une fonction
polynôme de degré 2 est une parabole qui admet un axe de symétrie parallèle à
l’axe des ordonnées.
Le sommet S de la parabole est le point d’intersection de la parabole avec son axe
de symétrie. Si le sommet S a pour coordonnées (;alors :
  = f (  ) et la fonction f atteint son extremum  en .
 L’axe de symétrie de la parabole a pour équation x = 
Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par f ( x ) = ax² + bx + c.
Il existe deux nombres réels  et  tels que, pour tout réel x, f ( x ) = a ( x −  ) ² + 
L’écriture a ( x −  ) ² +  est appelée la forme canonique de f ( x ) .
( ;) sont alors les coordonnées du sommet S de la parabole cf.
b
 est l’extremum de f et on montre que  = −
2a
Propriété : Sens de variation
Si a > 0
–
x

Si a < 0
+
x
f (x)
–
f (x)

+


Point-méthode 5 : Utiliser la forme canonique
1
Considérons les fonctions f ( x ) = − x² + 4x − 3 et g ( x ) = x² + 5x − 3
2
1. Vérifier que la forme canonique de f est : −( x − 2 ) ² + 1
2. Déterminer la forme canonique de g
3. Construire alors le tableau de variation de f et de g et préciser les extremums des fonctions.
1. Pour montrer que f ( x ) = − ( x − 2 ) ² + 1 , il suffit de développer la forme donnée dans
l’énoncé et vérifier qu’elle est bien égale à la forme développée de départ.
Attention, il ne faut cependant pas commencer par écrire l’égalité ! Ne jamais mettre f ( x )=
au début !
− ( x − 2 ) ² + 1 = −( x² − 4x + 4 ) + 1
= − x² + 4x − 4 + 1
= − x² + 4x − 3
=f(x)
On a donc pour la fonction f : a = − 1
,  = 2 et  = 1
2. Si la forme canonique n’est pas donnée dans l’énoncé, on la retrouver en calculant les valeur
de  et de .
1
1
g ( x ) = x² + 5x − 3
donc a = , b = 5 et c = − 3
2
2
b
5
=− =−
=−5
2a
1
×2
2
1
− 31
 = g (  ) = g ( − 5 ) = × 25 − 25 − 3 =
2
2
3. Une fois que les trois valeurs de a,  et  sont identifiées, on peut connaitre le sens de
variation ainsi que la valeur de l’extremum (= ) et la valeur de x pour laquelle il est atteint
(= )
Pour f , a < 0 donc
x
–
f (x)
Pour g, a > 0 donc
+
2
1
x
–
g(x)
-5
+
− 31
2
Ainsi, l’extremum de f est un maximum qui vaut 1 pour x = 2
− 29
et l’extremum de g est un minimum qui vaut
pour x = − 5.
2
Point-méthode 6 : Faire le lien entre forme canonique et représentation graphique
Par lecture graphique, donner la forme canonique de la fonction du 2nd
degré f représentée ci-contre.
f étant une fonction du 2nd degré, il existe trois réels a,  et  tels que
pour tout réel x, f ( x ) a = ( x −  ) ² + 
On recherche la valeur de  et  en lisant les coordonnées du sommet de
la parabole.
Le sommet S de la parabole a pour coordonnées (-3 ;2)
Donc  = − 3 et = 2, ainsi on peut écrire
f ( x ) = a( x + 3 ) ² + 2
On trouve un autre point dont on peut lire distinctement les coordonnées (valeurs entières) pour
trouver la valeur de a.
A l’aide du graphique, on lit : f ( − 1 ) = 4
Or f ( − 1 ) = a ( − 1 + 3 ) ² + 2 = 4
4a + 2 = 4
4a = 2 et donc a =
1
(on retrouve a > 0, ce qui est cohérent avec le sens
2
de la parabole)
Par conséquent, f ( x ) =
1
( x + 3 ) ² + 2 pour tout réel x
2
II.
Equation du second degré
1. Définitions
On appelle équation du second degré, une équation de la forme ax² + bx + c = 0 où a, b et c sont des
réels et a0.
Lorsque l’équation ax² + bx + c = 0 admet des solutions, celles-ci sont appelées les racines du
polynôme ax² + bx + c.
On appelle discriminant du polynôme ax² + bx + c le réel noté  et défini par :  = b² − 4ac
Exemple : L’équation x²  x     est une équation du second degré dont les solutions sont 2 et 1
2
On dit alors que le trinôme x²  x   admet deux racines : 2 et 1.
2
Le discriminant du trinôme x²  x   est  = b²  ac  5² - 4  2  2 = 9
2. Résolution de l’équation ax² + bx + c = 0 et factorisation du trinôme
signe de 
solutions l’équation
a x² + b x + c = 0
factorisation de
a x² + b x + c
<0
pas de solution
f (x) ne se factorise pas
une solution double :
=0
f (x) = a (x – x0 )²
x0 = – b
2a
deux solutions :
>0
f (x) = a (x – x1 ) (x – x2 )
x1 = –b –  ; x2 = –b + 
2a
2a
Point-méthode 7 : Résoudre une équation du second degré
Résoudre chacune des équations suivantes :
a. 4x² + 8x − 5 = 0
b. –x + 2x² + 1 = 0
c. 4x² + 9 = 12x
1. On réécrit l’équation sous la forme ax² + bx + c = 0 et on identifie les coefficients
2. On calcule  et les solutions s’il y en a en utilisant les formules.
3. On conclut en écrivant l’ensemble solution.
a. 4x² + 8x − 5 = 0
a = 4, b = 8 et c = − 5
Donc  = 8² − 4 × 4 × ( − 5 ) = 144
 > 0 donc il y a deux solutions :
− b −  − 8 − 144
5
=
=−
2a
8
2
−5 1
Ainsi s=  2 ;2 


x1 =
et x2 =
− b +  − 8 + 144 1
=
=
2a
8
2
b. –x + 2x² + 1 = 0  2x² − x + 1 = 0
Donc  = ( − 1 ) ² − 4 × 2 × 1 = − 7
a = 2, b = − 1 et c = 1
 < 0 donc l’équation n’a pas de solution. s=
c. 4x² + 9 = 12x  4x² − 12x + 9 = 0
a = 4, b = − 12 et c = 9
Donc  = ( − 12 ) ² − 4 × 4 × 9 = 0
 = 0 donc l’équation a une solution double :
3
− b 12 3
x0 =
=
=
Donc s=  2 
 
2a 8 2
III.
Signe d’un trinôme
On note f une fonction polynôme de degré 2 définie par : f ( x ) = ax² + bx + c
On note (P) la parabole qui représente f dans le repère orthogonal (O ;I ;J)
Dessin
lecture
La parabole (P) est
entièrement située audessus de l’axe des
abscisses
<0
a>0
La parabole (P) est située
au-dessus de l’axe des
abscisses qu’elle touche
au point d’abscisse x0
=0
La parabole (P) coupe
l’axe des abscisses en
deux points distincts
>0
d’abscisses x1 et x2
La parabole (P) est
entièrement située audessous de l’axe des
abscisses
<0
a<0
La parabole (P) est située
au-dessous de l’axe des
abscisses qu’elle touche
au point d’abscisse x0
=0


La parabole P coupe
l’axe des abscisses en
deux points distincts
d’abscisses x et x
Signe
x
−
+
+
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
−
+
−
0
x1
f(x)
+
x2
−
+
−
−
−
+
x0
-
f(x)
x
+
+ 0 - 0 +
f(x)
x
+
x0
0
x1
-
x2
+
- 0 + 0 -
On peut alors résumer les tableaux de signes de ax² + bx + c en fonction du signe de a :
<0
x
f x
-
=0
x
+ -
signe
de a
signe de a
0
>0
signe
de a
+ -
x
x
+
signe
signe
signe
de a 0 de – a 0 de a
Point-méthode 8 : Résoudre une inéquation du second degré
Résoudre l’inéquation : x² − x6
1. On fait en sorte d’avoir 0 d’un côté de l’inéquation
x² − x  6  x² − x − 6  0
2. On commence par chercher les racines du polynôme x² − x − 6
= ( − 1 ) ² − 4 × 1 × ( − 6 ) = 25 >0 donc il y a deux racines :
1−5
1+5
x1 =
=−2
x2 =
=3
2
2
a = 1, b = − 1, c = − 6
3. On construit le tableau de signe en fonction du signe de a : ici a > 0 donc :
x
-
−2
3
-
f(x)
+
0
−
0
+
4. On n’oublie surtout pas de conclure ! Il faut bien identifier quel est le signe que nous
cherchons, puis écrire les solutions sous forme d’intervalle en faisant attention aux crochets.
x² − x − 6  0
: s= ]- ;-2]∪[3 ;+[ (ici les crochets sont fermés car l’inégalité est
large (supérieur OU EGAL))
Point-méthode 9 : Résoudre une inéquation avec l’inconnue au dénominateur
Résoudre l’inéquation :
1
 1
− x² + 2x + 3
1. On fait en sorte d’avoir 0 d’un côté de l’inéquation, et uniquement une fraction de l’autre :
1
1
 1
− 1 0
− x² + 2x + 3
− x² + 2x + 3
1 − 1 ( − x² + 2x + 3 )

0
− x² + 2x + 3
1 + x² − 2x − 3

 0 On fait attention au – devant la parenthèse
− x² + 2x + 3
x² − 2x − 2

0
− x² + 2x + 3
2. On s’occupe de trouver les racines de chacun des polynômes du numérateur puis du
dénominateur :
 x² − 2x − 2 : = ( − 2 ) ² − 4 × 1 × ( − 2 ) = 12
 >0 donc 2 racines distinctes :
2 − 12 2 − 2 3
2 + 12
x1 =
=
=1− 3
et
x2 =
=1+ 3
2
2
2

x1 =
− x² + 2x + 3 : = 2² − 4 × ( − 1 ) × 3=16
 > 0 donc 2 racines distinctes :
−2−4
=3
−2
x2 =
−2+4
=−1
−2
(3 et -1 seront donc les valeurs interdites)
3. On crée un tableau avec les 4 racines, en faisant attention à l’ordre. Une ligne pour chaque
polynôme, puis une ligne pour le quotient. On peut mettre dès le début les 0 et surtout les
valeurs interdites (là où le dénominateur s’annule).
x
x² − 2x − 2
− x² + 2x + 3
x² − 2x − 2
− x² + 2x + 3
-
-1
+
−
−
0
+
+
+
1− 3
0
0
−
+
−
1+ 3
0
0
3
+
+
+
0
+
+
−
Car a > 0
−
4. On n’oublie pas de conclure avec l’ensemble des solutions en ayant identifié le signe voulu, et
en faisant attention aux crochets, notamment les mettre toujours ouverts pour les valeurs
interdites :
x² − 2x − 2
0
s= ]− 1 ;1 − 3]∪[1 + 3 ;3[
− x² + 2x + 3