Bonne année x !

Bonne année x !
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Bonne année x !
√
√
x = ab, avec a = 2008 + a et b = 2008 − b.
En fait le problème est mal posé, car il ne précise pas ce qui concerne l’existence et
l’unicité du couple (a, b).
La façon la plus stricte de poser le problème serait :
√
√
Démontrer qu’il existe un couple (a, b) unique tel que a = 2008 + a et b = 2008 − b,
et calculer ab pour ce couple.
Une façon un peu moins stricte ne demanderait√ni l’existence ni l’unicité
:
√
Démontrer que si deux nombres vérifient a = 2008 + a et b = 2008 − b, alors leur
produit est 2008 (ce n’est qu’une condition nécessaire).
La plupart des solutions proposées ont supposé l’existence sans la démontrer.
(a + b)(a − b − 1) = 0, donc a + b = 0 ou a − b = 1.
Or on sait que a + b > 0 puisque a > 0 et b > 0.
donc : a − b = 1, c’est-à-dire a − 1 = b
d’ou : ab = a(a − 1) = a2 − a = 2008.
Bonne année 2008 !
II
Avec les connaissances de première, en calculant a et b par des équations du second
degré. Cette solution a l’avantage de contenir la preuve d’existence (le discriminant
Toutes les solutions utilisent la propriété suivante : si a et b existent, ils sont 8033 est positif ) et d’unicité (une équation du second degré n’a que deux racines, et
on en élimine une). Elle est simple mais n’est pas considérée comme la plus élégante
strictement positifs.
√ En effet, ce sont
√ des racines carrées et de plus ils ne peuvent pas possible car elle calcule a et b avec des formules un peu compliquées.
être nuls car 0 6= 2008 + 0 et 0 6= 2008 − 0.
Reformulation du problème
D’après la définition du symbole
√
, le problème équivaut à :
démontrer qu’il existe un unique couple (a, b) tel que
a2 = 2008 + a avec a > 0 et b2 = 2008 − b avec b > 0
et calculer alors le produit ab
I
Solution simple : en utilisant de manière optimale des connaissances qui ne dépassent
pas le niveau de la seconde, sans calcul de a ni b. Elle admet l’existence de (a, b) mais
n’a pas besoin de l’unicité.
√
a = 2008 + a donc a2 = 2008 + a, donc a2 − a = 2008
De même : b2 + b = 2008
donc : a2 − a = b2 + b
a2 − b2 − a − b = 0
(a − b)(a + b) − (a + b) = 0
1+
√
8033
a est la racine positive de l’équation a − a − 2008 = 0, donc a =
(l’autre
2
√
1 − 8033
racine
est négative).
2
√
−1 + 8033
2
(l’autre
b est la racine positive de l’équation b + b − 2008 = 0, donc b =
2
√
−1 − 8033
racine
est négative).
2
8033 − 1
Donc ab =
= 2008
4
Bonne année 2008 !
2
III
En écrivant une équation dont x est solution, mais sans utiliser les formules du second
degré. Cette solution a la particularité de s’intéresser tout de suite à x, qui est l’objet
du problème, au lieu de séparer a et b. Elle admet l’existence de (a, b).
x = ab =
√
2008 + a ×
√
2008 − b,
Bonne année x !
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donc x2 = (2008 + a)(2008 − b) = · · · = 20082 + 2008(a − b) − ab. Or ab = x, donc x est
C
une solution (positive) de x2 + x = 20082 + 2008(a − b)
Théorème : si
< 0, alors l’équation AX 2 + BX + C = 0 a deux solutions distinctes
2
2
(2008 + a) − (2008 − b)
a+b
a −b
A
=
=
= 1 (remarque : a + b 6= 0).
Or a − b =
C
a+b
a+b
a+b
de signes opposés dont le produit vaut .
2
2
A
Donc x est solution de x + x − 2008 − 2008 = 0.
2
2
On factorise : x −2008 +x−2008 = (x−2008)(x+2008)+x−2008 = (x−2008)(x+2009).
La seule racine positive est x = 2008.
a2 − a − 2008 = 0.
Bonne année 2008 !
Donc a est une solution strictement positive de l’équation X 2 − X − 2008 = 0.
Mais −b est une autre solution (négative celle-là).
En effet, (−b)2 − (−b) − 2008 = b2 + b − 2008 = 0 puisque b2 = 2008 − b.
IV
−2008
D’après le théorème, puisque
< 0, l’équation X 2 −X −2008 = 0 a deux solutions
1
Avec des approximations numériques données par la calculatrice. C’est une solution distinctes et de signes opposés. Ces solutions sont donc a et −b (a > 0 et −b < 0).
−2008
approchée, mais c’est une bonne méthode pour débloquer les choses quand on n’a pas
Donc d’après le théorème, leur produit est −ab =
,
d’idée pour démarrer.
1
donc x = ab = 2008.
Bonne année 2008 !
a(a − 1) = 2008.
2
Or par
√ rapport à 2008, 1 est petit, donc a − 1 ≈ a, donc a(a − 1) ≈ a ≈ 2008 et donc
a ≈ 2008 ≈ 45 (car de plus a > 0).
On procède ensuite par balayage à partir de 45 pour trouver une solution approchée de
a(a − 1) = 2008
a
45
45, 1
45, 2
45, 3
45, 4
a(a − 1) < 2008 < 2008 < 2008 < 2008 > 2008
Donc 45, 3 < a < 45, 4.
Et ainsi de suite : a ≈ 45, 31350243, ce qui est considéré comme une solution exacte
pour la calculatrice (avec cette valeur la calulatrice dit que a(a − 1) = 2008).
En commençant de la même façon pour b, solution positive de b(b+1) = 2008, on trouve
les premières décimales 44, 31.
Tentons un gros coup : et si c’était les mêmes décimales que celles de a ?
On essaye avec b = 44, 31350243 : coup de chance, on a bien b(b + 1) = 2008 d’après la
calulatrice !
On calcule ensuite ab = 45, 31350243 × 44, 31350243 = 2008 d’après la calculatrice.
Bonne année 2008 à 5 × 10−8 près !
Le fait que les décimales de a et de b sont les mêmes est expliqué par d’autres
solutions : a = b + 1. D’où l’intérêt de cette solution : elle met en évidence cette
propriété clé, ce qui permet ensuite de tenter d’autres approches.
V
Une solution courte et avec peu de calculs, mais qui utilise un théorème qui n’est plus
au programme du lycée. Elle démontre l’existence et l’unicité.
VI
Une solution courte et hypocrite que j’ai fabriquée de toutes pièces en exploitant les
idées précédentes sans dire d’où elles viennent. Mais elle admet à la fois l’existence et
l’unicité (évidemment, quand on admet plus de choses, c’est plus court !)
Posons c = a − 1.
c est positif puisque ac = a(a − 1) = a2 − a = 2008 > 0, avec a > 0.
2
2
2
c2 = (a − 1)
√ = a − 2a + 1 = a − a − a + 1 = 2008 − (a − 1) = 2008 − c.
Donc c = 2008 − c, et donc b = c (à cause de l’unicité supposée).
Donc b = c = a − 1 et alors ab = a(a − 1) = a2 − a = 2008.
Cette solution est cependant une preuve mathématique correcte et complète de la
propriété suivante :
√
S’il existe un nombre a tel que a√= 2008 + a, alors il existe un nombre b vérifiant les
deux propriétés suivantes : b = 2008 − b et ab = 2008
Mais elle n’est pas explicative de la démarche suivie en ce sens qu’elle ne dit pas d’où
on sort l’idée de poser c = a − 1.