Bonne année x : solution

Bonne année x !
page 1 de 2
Bonne année x !
√
√
x = ab, avec a = 2009 + a et b = 2009 − b.
En fait le problème est mal posé, car il ne précise pas ce qui concerne l’existence et
l’unicité du couple (a, b).
La façon la plus stricte de poser le problème serait :
√
√
Démontrer qu’il existe un couple (a, b) unique tel que a = 2009 + a et b = 2009 − b,
et calculer ab pour ce couple.
Une façon un peu moins stricte ne demanderait√ni l’existence ni l’unicité
:
√
Démontrer que si deux nombres vérifient a = 2009 + a et b = 2009 − b, alors leur
produit est 2009 (ce n’est qu’une condition nécessaire).
La plupart des solutions proposées ont supposé l’existence sans la démontrer.
(a + b)(a − b − 1) = 0, donc a + b = 0 ou a − b = 1.
Or on sait que a + b > 0 puisque a > 0 et b > 0.
donc : a − b = 1, c’est-à-dire b = a − 1
d’ou : ab = a(a − 1) = a2 − a = 2009.
Bonne année 2009 !
II)
Avec les connaissances de première, en calculant a et b par des équations du second
degré. Cette solution a l’avantage de contenir la preuve d’existence (le discriminant
Toutes les solutions utilisent la propriété suivante : si a et b existent, ils sont 8037 est positif ) et d’unicité (une équation du second degré n’a que deux racines, et
on en élimine une). Elle est simple mais n’est pas considérée comme la plus élégante
strictement positifs.
√ En effet, ce sont
√ des racines carrées et de plus ils ne peuvent pas possible car elle calcule a et b avec des formules un peu compliquées.
être nuls car 0 6= 2009 + 0 et 0 6= 2009 − 0.
Reformulation du problème
D’après la définition du symbole
√
, le problème équivaut à :
démontrer qu’il existe un unique couple (a, b) tel que
a2 = 2009 + a avec a > 0 et b2 = 2009 − b avec b > 0
et calculer alors le produit ab
I)
Solution simple : en utilisant de manière optimale des connaissances qui ne dépassent
pas le niveau de la seconde, sans calcul de a ni b. Elle admet l’existence de (a, b) mais
n’a pas besoin de l’unicité.
√
a = 2009 + a donc a2 = 2009 + a, donc a2 − a = 2009
De même : b2 + b = 2009
donc : a2 − a = b2 + b
a2 − b2 − a − b = 0
(a − b)(a + b) − (a + b) = 0
1+
√
8037
a est la racine positive de l’équation a − a − 2009 = 0, donc a =
(l’autre
2
√
1 − 8037
racine
est négative).
2
√
−1 + 8037
2
(l’autre
b est la racine positive de l’équation b + b − 2009 = 0, donc b =
2
√
−1 − 8037
racine
est négative).
2
8037 − 1
Donc ab =
= 2009
4
Bonne année 2009 !
2
III)
En écrivant une équation dont x est solution, mais sans utiliser les formules du second
degré. Cette solution a la particularité de s’intéresser tout de suite à x, qui est l’objet
du problème, au lieu de séparer a et b. Elle admet l’existence de (a, b).
x = ab =
√
2009 + a ×
√
2009 − b,
Bonne année x !
donc x2 = (2009 + a)(2009 − b) = · · · = 20092 + 2009(a − b) − ab. Or ab = x, donc x est
une solution (positive) de x2 + x = 20092 + 2009(a − b)
(2009 + a) − (2009 − b)
a+b
a2 − b2
=
=
= 1 (remarque : a + b 6= 0).
Or a − b =
a+b
a+b
a+b
Donc x est solution de x2 + x − 20092 − 2009 = 0.
On factorise : x2 −20092 +x−2009 = (x−2009)(x+2009)+x−2009 = (x−2009)(x+2010).
La seule racine positive est x = 2009.
Bonne année 2009 !
IV)
Avec des approximations numériques données par la calculatrice. C’est une solution
approchée, mais c’est une bonne méthode pour débloquer les choses quand on n’a pas
d’idée pour démarrer.
a(a − 1) = 2009.
2
Or par
√ rapport à 2009, 1 est petit, donc a − 1 ≈ a, donc a(a − 1) ≈ a ≈ 2009 et donc
a ≈ 2009 ≈ 45 (car de plus a > 0).
On procède ensuite par balayage à partir de 45 pour trouver une solution approchée de
a(a − 1) = 2009
a
45
45, 1
45, 2
45, 3
45, 4
a(a − 1) < 2009 < 2009 < 2009 < 2009 > 2009
Donc 45, 3 < a < 45, 4.
Et ainsi de suite : a ≈ 45, 32465839, ce qui est considéré comme une solution exacte
pour la calculatrice (avec cette valeur la calulatrice dit que a(a − 1) = 2009).
En commençant de la même façon pour b, solution positive de b(b+1) = 2009, on trouve
les premières décimales 44, 32.
Tentons un gros coup : et si c’était les mêmes décimales que celles de a ?
On essaye avec b = 44, 32465839 : coup de chance, on a bien b(b + 1) = 2009 d’après la
calulatrice !
On calcule ensuite ab = 45, 32465839 × 44, 32465839 = 2009 d’après la calculatrice.
Bonne année 2009 à 5 × 10−8 près !
Le fait que les décimales de a et de b sont les mêmes est expliqué par d’autres
solutions : a = b + 1. D’où l’intérêt de cette solution : elle met en évidence cette
propriété clé, ce qui permet ensuite de tenter d’autres approches.
V)
Une autre solution approchée, où a est obtenu comme limite d’une suite.
La formule vérifiée par a suggère que a s’obtient par
page 2 de 2
r
p
√
a = 2009 + 2009 + 2009 + 2009 + . . ..
On peut alors penser
√ à définir une suite récurrente pour construire a :
u0 = 0 et un+1 = 2009 + un .
√
En utilisant les propriétés de la fonction f : x 7→ 2009 + x, on peut démontrer par
récurrence que 0 6 un 6 50 et que u est croissante. Donc, d’après un théorème de
convergence, u est convergente vers une limite √
L (avec 0 6 L 6 50).
Par passage à la limite, cette limite vérifie L = 2009 + L. Donc c’est une solution pour
a.
Cela permet de trouver une valeur approchée pour a : a ≈ u10 ≈ 45, 32465839.
2009
On pose ensuite c =
(on conjecture bien sûr que x = ab = 2009, donc on va essayer
a
de prouver que
√ c = b). c ≈ 44, 32465839 (calculatrice). On vérifie avec la calculatrice
qu’on a c ≈ 2009 − c. Donc c est une valeur approchée de b.
Et donc x = ab ≈ 2009 (ce n’est qu’une solution approchée).
q
VI)
Une solution courte , mais qui utilise un théorème qui n’est plus au programme du
lycée. Elle démontre l’existence et l’unicité. Elle n’a pas besoin de passer par b = a − 1.
C
< 0, alors l’équation AX 2 + BX + C = 0 a deux solutions distinctes
A
C
de signes opposés dont le produit vaut .
A
Théorème : si
a2 − a − 2009 = 0.
Donc a est une solution strictement positive de l’équation X 2 − X − 2009 = 0.
Mais −b est une autre solution (négative celle-là).
En effet, (−b)2 − (−b) − 2009 = b2 + b − 2009 = 0 puisque b2 = 2009 − b.
−2009
D’après le théorème, puisque
< 0, l’équation X 2 −X −2009 = 0 a deux solutions
1
distinctes et de signes opposés. Ces solutions sont donc a et −b (a > 0 et −b < 0).
−2009
Donc d’après le théorème, leur produit est −ab =
,
1
donc x = ab = 2009.
Bonne année 2009 !
VII)
D’où vient l’idée de cette énigme
suivante :
p ? Sans doute de la remarque
p
pour tout a > 1, on a : a = a(a − 1) + a et a − 1 = a(a − 1) − (a − 1)