TD1 - ENS Rennes

MATH1 - TD1 : Théorie de la mesure
Magistère Informatique et Télécommunications - ENS Rennes
Kévin Le Balc’h
2016-2017
E XERCICE 1 - E NSEMBLES
Soit X un ensemble et A une partie de X. On note AC = X \ A le complémentaire de A. Quelle
relation y a t-il entre A ∪ B et AC ∩ B C ?
E XERCICE 2
Soit X, Y deux ensembles et f : X → Y une application.
1. Montrer que pour toute famille (Bi )i∈I de parties de Y ,
[ [
\ \
f −1
Bi =
f −1 (Bi ),
f −1
Bi =
f −1 (Bi ).
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
2. Montrer que pour toute famille (Ai )i∈I de parties de X,
[ [
f
Ai =
f (Ai ) .
i∈I
i∈I
3. Montrer que si f est injective,
f
\
\
Ai =
f (Ai ) .
i∈I
i∈I
Montrer par un contre-exemple que l’égalité précédente est fausse en général.
E XERCICE 3- T RIBUS
1. Soit X un ensemble non vide et x ∈ X. A quelle condition sur X, la classe A = {∅, {x}, X}
est-elle une tribu ?
S
2. Soit X un ensemble et A1 , . . . , An une partition finie de X (i.e. X = i Ai et Ai ∩ Aj = ∅ ∀i, j).
Décrire la tribu engendrée par {A1 , . . . , An }. Quel est son nombre d’éléments ?
3. Soit X un ensemble et (Ak )k∈N une partition de X. Décrire la tribu engendrée par (Ak )k∈N .
Montrer qu’elle est équipotente à P(N) (i.e. qu’il existe une bijection entre ces deux ensembles).
E XERCICE 4
Soit X un ensemble muni d’une tribu au plus dénombrable M.
1. Montrer que pour tout x ∈ X, l’intersection A(x) des éléments de M qui contiennent x est
encore un élément de M.
2. Montrer que A(x) est le plus petit élément de M contentant x.
3. Montrer que pour tous x, x0 ∈ X, on a : A(x) ∩ A(x0 ) = ∅ ou A(x) = A(x0 ).
Indication : Montrer que si y ∈ A(x) alors A(y) = A(x).
4. En déduire que M est engendrée par une partition au plus dénombrable.
5. En utilisant les exercices précédents, montrer que toute tribu dénombrable est finie.
E XERCICE 5- T RIBU BORÉLIENNE
On rappelle que B(R) (tribu borélienne sur R) est la tribu engendrée par les intervalles ] − ∞, a].
1. Rappeler pourquoi une tribu est stable par intersection dénombrable.
2. Montrer que tous les intervalles ouverts et fermés de R sont dans B(R).
3. Montrer que les intervalles [a, b] engendrent B(R).
Définition Soit (X, M) un espace mesurable. On dit qu’un application µ : M → [0, +∞] est une
mesure positive si et seulement si :
– µ(∅) = 0,
S∞
P∞
– pour toute suite (Ek )k d’ensembles deux à deux disjoints de M, µ ( k=1 Ek ) = k=1 µ(Ek ) .
1
E XERCICE 6
Soit N l’ensemble des entiers naturels.
1. Vérifier rapidement que P(N) est une tribu.
2. On considère l’espace mesuré (N, P(N)). On définit, pour A ∈ P(N) (i.e. A ⊂ N),
=
=
µ(A)
µ(A)
Card(A),
+∞,
si A est fini,
si A est infini.
Montrer que µ est une mesure positive.
E XERCICE 7
Soit X un ensemble non vide et M la tribu engendrée par les parties {x} où x ∈ X.
1. Montrer que A ∈ M si et seulement si A est dénombrable ou bien Ac est dénombrable.
2. Si X n’est pas dénombrable, on pose pour A ∈ M :
µ(A)=0,
µ(A)=1,
si A est dénombrable,
si A n’est pas dénombrable.
Montrer que µ est une mesure positive définie sur M.
E XERCICE 8
Soient (X, M, µ) un espace mesuré, et (Ak )k∈N une suite d’éléments de M.
1. On suppose que la suite (Ak ) est croissante, et on pose A = ∪k∈N Ak . Montrer que
µ(A) = lim µ(Ak ).
k→+∞
2. On suppose que la suite (Ak ) est décroissante, et que µ(A0 ) est fini, et on pose
A = ∩k∈N Ak . Montrer que
µ(A) = lim µ(Ak ).
k→+∞
3. Montrer par un contre-exemple que le résultat précédent est faux si on omet l’hypothèse
µ(A0 ) < +∞. (On pourra chercher un exemple d’une suite décroissante d’ensembles (An )n∈N
tels que pour tout n, An est infini et ∩n∈N An = ∅.)
Définition Soient (X, MX ) et (Y, MY ) deux espaces mesurables. Soit f une application de X
dans Y . On dit que f est mesurable si et seulement si,
∀A ∈ MY , f −1 (A) ∈ MX .
E XERCICE 9
Prouver que les fonctions suivantes sont mesurables (boréliennes) :
1. La fonction indicatrice de Q.
2. La fonction x 7→ x + 1 si x > 0 et −x si x ≤ 0.
E XERCICE 10
Quelles sont les fonctions f : (X, M) → (R, B(R)) mesurables pour M = ∅, X ,
puis pour M = P(X) ?
E XERCICE 11
1. Soient (X, M) un espace mesurable et f, g des fonctions mesurables de X dans R. Montrer que
les ensembles suivants sont mesurables :
A = {x ∈ X, f (x) ≤ g(x)},
B = {x ∈ X, f (x) < g(x)},
C = {x ∈ X, f (x) = g(x)}.
2. Soient (X, M) un espace mesurable et (un ) une suite de fonctions mesurables de X dans R.
Montrer que les ensembles suivants sont mesurables :
A = {x ∈ X, lim un (x) = +∞},
B = {x ∈ X, la suite (un ) est bornée}.
n→+∞
2