Université de Strasbourg 2015/2016 Département de

Université de Strasbourg
Département de Mathématique
2015/2016
Mesure et intégration
DUAS et Magistère de Mathématique
Feuille de TD 1
Exercice 1. Soient X et Y des ensembles et f : X → Y une application. Soient (An )n∈N et (Bm )m∈N des
suites de sous-ensembles de X et Y respectivement. Montrer que
1. (a) f (∪n An ) = ∪n f (An ).
(b) f (∩n An ) ⊂ ∩n f (An ).
(c) f −1 (f (An )) ⊃ An avec égalité si f est injective.
(d) f ({X An )) ⊃ {Y f (An ) si f est surjective.
(e) f ({X An )) ⊂ {Y f (An ) si f est injective.
2. (a) f −1 (∪n Bn ) = ∪n f −1 (Bn ).
(b) f −1 (∩n Bn ) = ∩n f −1 (Bn ).
(c) f (f −1 (Bn )) ⊂ Bn avec égalité si f est surjective.
(d) f −1 ({Y Bn ) = {X f −1 (Bn ).
Exercice 2. Soient A, B, An (n ∈ N) des parties d’un ensemble X. Si E ⊂ X, on désigne par χE la
fonction caractéristique (on dit aussi l’indicatrice) de l’ensemble E.
1. Comparer χA∩B , χA∪B , χA et χB .
2. Calculer χ(∪n An ) et χ(∩n An ) en fonction des χAn .
+∞
3. On pose lim sup An = ∩+∞
n=1 ∪m≥n Am et lim inf An = ∪n=1 ∩m≥n Am .
n→+∞
n→+∞
Montrer que lim sup χAn = χlim sup
n→+∞
An .
n→+∞
4. Calculer lim sup χAn dans les cas suivants :
n→+∞
(a) A2p =] − 1, 2 +
1
2p [
, A2p+1 =] − 2 −
1
2p+1 , 1[.
(b) A2n = F , A2n+1 = G (F, G étant deux ensembles fixés).
(c) An =] − ∞, an [ où an ∈ R.
Exercice 3. Soit f : X → Y une application.
1. Soit M une tribu sur Y . Montrer que f −1 (M) est une tribu sur X.
2. Soit M une tribu sur X. Montrer que f (M) n’est pas toujours une tribu sur Y . Par contre, montrer
que f∗ (M) = {B ⊂ Y | f −1 (B) ∈ M} est une tribu.
3. Dans le cas de la question 1, comparer M à f∗ (f −1 (M)) et dans le cas de la question 2, comparer
M à f −1 (f∗ (M)).
Exercice 4. Soient E et I des ensembles. On considère une partition (Ai )i∈I de E, c’est-à-dire que
∩i∈I Ai = E et Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j. On suppose aussi que Ai 6= ∅ pour tout i ∈ I. On note C l’ensemble
des parties de E s’écrivant comme réunion au plus dénombrable d’éléments de cette partition, c’est-à-dire
que
C = {∪j∈J Aj , avec J ⊂ I et J au plus dénombrable}.
On note aussi D = {B c , B ∈ C} et T = C ∪ D.
1. On suppose dans cette question que I = {1, ..., n} avec n ∈ N∗ . Montrer que T = C = D et que T
est la tribu engendrée par la famille {A1 , ..., An }. Combien la tribu T possède-t-elle d’éléments ?
2. On suppose dans cette question que I est dénombrable. Montrer que T = C = D et que T est la
tribu engendrée par la famille {Ai }i∈I .
3. On suppose dans cette question que I est un ensemble infini non dénombrable. Montrer que C 6= D
et que T est la tribu engendrée par la famille {Ai }i∈I .
Exercice 5. Soit Y un espace métrique. Soit B la tribu des boréliens sur Y . Soit M une tribu sur un
ensemble X. On dit qu’une application f : X → Y est mesurable si l’image réciproque par f d’un borélien
de Y est un élément de M.
Montrer que f est mesurable si et seulement si f −1 (U ) ∈ M pour tout ouvert U de Y .
Exercice 6.
1. Soit f : R → R. Montrer que l’ensemble des points où f est continue est un borélien.
2. Soit fn : R → R une suite de fonctions mesurables. Montrer que l’ensemble des points où la suite
converge est mesurable
Exercice 7. Est-ce que l’ensemble des irrationnels est un borélien ?
Exercice 8. Soit (X, T ) un espace mesurable. Soit A ⊂ X. On suppose que A 6∈ T . Construire alors une
fonction f : X → R telle que |f | est mesurable et que f ne l’est pas.
Exercice 9. Soit (X, T ) un espace mesurable. Soit f : X → C une fonction mesurable. Montrer qu’il
existe une fonction mesurable α telle que |α| = 1 et telle que f = α|f |.
Exercice 10. Soient X = N∗ et T = P(N∗ ). On définit µ : P(N∗ ) → R par :
µ(E) =
X 1
n2
si E est fini non vide
n∈E
µ(E) = +∞
µ(E) = 0
si E est infini
si E = ∅.
1. µ définit-elle une mesure sur (X, T ) ?
2. Comment peut-on changer la définition de µ pour obtenir une mesure (en gardant la même mesure
des ensembles finis) ?
P
Exercice 11.
1. On considère une suite (un )n∈N∗ , à valeurs dans R+ . Montrer que la somme n∈N∗ un
ne change pas si on change l’ordre de sommation.
P
2. On considère une suite (un )n∈N∗ à valeurs dans R. Montrer que si la série n∈N∗ un est absolument
convergente, alors la somme ne change pas si on change l’ordre de sommation.
Exercice 12. Soit (X, T , µ) un espace mesuré. Soient A, B, An (n ∈ N) des sous-ensembles mesurables
de X
1. Montrer que
(a) µ(A) = µ(A \ B) + µ(A ∩ B).
(b) µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B).
2. Montrer que si la suite (An ) est croissante alors µ(∪n∈N An ) = lim µ(An ).
n→+∞
3. Montrer que si la suite (An ) est décroissante et si µ(A0 ) < +∞, alors µ(∩n∈N An ) = lim µ(An ).
n→+∞
4. La réponse de la question précédente est-elle encore vraie sans l’hypothèse µ(A0 ) < +∞ ?
P
5. Montrer que µ(∪n∈N An ) ≤ n∈N µ(An ).
6. En déduire qu’une réunion dénombrable d’ensembles de mesure nulle est de mesure nulle.
Exercice 13. Soit (X, T ) un espace mesurable et C ⊂ P(X) qui engendre T . On considère µ1 et µ2 des
mesures sur T . On suppose que µ1 (A) = µ2 (A) pour tout A ∈ C. Peut-on conclure que µ1 = µ2 sur T ?