BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE SCIENCES ET

BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE
SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES
Génie Civil
Génie Énergétique
BAC BLANC MATHÉMATIQUES
Durée : 4 heures
Coefficient : 4
L’usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.
Le formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Le sujet comporte 2 exercices et 1 problème indépendants pour un total de 4 pages.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une
part importante dans l’appréciation des copies.
Exercice 1
4,5 points
Soit P la fonction polynôme définie sur R par :
P (x) = 2x3 − 7x2 − 5x + 4.
1. Calculer P (−1).
2. Déterminer les réels a, b et c tels que :
P (x) = (x + 1)(ax2 + bx + c).
3. Résoudre P (x) = 0.
4. En déduire les solutions sur R des équations :
(a) 2(sin x)3 − 7(sin x)2 − 5 sin x + 4 = 0.
(b) 2(ln x)3 − 7(ln x)2 − 5 ln x + 4 = 0.
Exercice 2
4,5 points
Une entreprise produit des objets qu’elle destine à la vente. Ces objets peuvent présenter deux types de
défauts :
• le défaut S de nature esthétique ;
• le défaut F de fonctionnement.
Un objet est déclaré parfait s’il ne présente aucun des deux défauts.
1. On prélève un lot de 200 objets sur la production et on constate que :
• le défaut S est observé sur 16 objets ;
• le défaut F est observé sur 12 objets ;
• 180 objets sont déclarés parfaits.
Recopier et compléter le tableau suivant :
Avec le défaut F
Sans le défaut F
Total
Avec le défaut S
16
Sans le défaut S
Total
200
On admet que la répartition des deux types de défauts, observée dans le lot de 200 objets prélevés,
reflète celle de l’ensemble de la production. On admet également que tout objet produit est vendu. On
sait en outre que le coût de fabrication d’un objet est de 200 e.
2. Dans cette question, le prix de vente de l’objet est fixé à 250 e.
Si l’objet présente le seul défaut S, l’entreprise accorde au client une réduction de 15 % du prix.
Si l’objet présente le seul défaut F, l’entreprise réalise les réparations à ses frais pour un coût de 45 e.
Si l’objet présente les deux défauts, l’entreprise réalise les réparations à ses frais pour un coût de 58
e.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque objet choisi au hasard dans la production, associe le
bénéfice algébrique, en euros, réalisé par l’entreprise à la vente de cet objet.
(a) Justifier le fait que X prend les valeurs (exprimées en euros) : 50 ; 12, 50 ; 5 et −8.
(b) Démontrer que la probabilité pour qu’un objet présente le seul défaut S est 0, 04.
(c) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X (On pourra représenter les résultats
dans un tableau.)
(d) Calculer l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. Que représente E(X) pour
l’entreprise ?
Problème
11 points
Ce problème a pour but de montrer un exemple de courbes représentatives de deux fonctions qui sont
asymptotes, puis de calculer une aire comprise entre deux courbes.
Partie A : Détermination d’une fonction
On considère la courbe représentative C, d’une fonction g définie sur ] 0 ; +∞ [, dans le plan rapporté à un
repère orthogonal d’unités graphiques 2 cm en abscisse et 1, 5 cm en ordonnée.
Cette courbe est représentée sur le document fourni en dernière page.
Les points d’intersection de C et de l’axe des abscisses ont pour coordonnées respectives (1; 0) et (3; 0).
x2 + ax + b
.
1. Soient a et b deux nombres réels tels que, pour tout réel x ∈] 0 ; +∞ [, g(x) =
x
En utilisant les coordonnées des points d’intersection de la courbe C avec l’axe des abscisses, déterminer
les nombres a et b.
3
2. Montrer que g(x) peut s’écrire : g(x) = x − 4 + .
x
Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire
Soit la fonction h définie sur ] 0 ; +∞ [ par : h(x) = x2 + 1 − 2 ln x.
2x2 − 2
puis dresser le tableau de variation de h (sans les limites).
x
2. Calculer h(1). En déduire que h(x) est strictement positif pour tout nombre réel x de ] 0 ; +∞ [.
1. Montrer que h′ (x) =
Partie C : Étude de fonction
On définit la fonction f sur l’intervalle ] 0 ; +∞ [ par :
f (x) = x − 4 +
1 + 2 ln x
.
x
→
→
On appellera Γ la courbe représentative de f dans le repère orthogonal (O; −
ı ;−
 ).
1. Calculer la limite de f (x) lorsque x tend vers zéro. En déduire que Γ admet une asymptote que l’on
précisera.
2. Calculer la limite de f en +∞.
h(x)
. En déduire le tableau de variations de f .
x2
3
4. Courbes asymptotes. On rappelle que g(x) = x − 4 + .
x
(a) Calculer la limite en +∞ de [f (x) − g(x)]. Interpréter graphiquement ce résultat.
3. Pour tout x de ] 0 ; +∞ [ montrer que f ′ (x) =
(b) Sur ] 0 ; +∞ [ déterminer la position de la courbe Γ par rapport à la courbe C.
(c) En déduire les coordonnées du point d’intersection I des courbes Γ et C.
5. Construire la courbe Γ et le point I sur la dernière page que l’on rendra avec la copie.
Partie D : Calcul d’une aire comprise entre deux courbes
1. Montrer que f (x) − g(x) admet pour primitive sur ] 0 ; +∞ [ la fonction K définie par :
K(x) = (ln x − 1)2 .
2. Sur le document fourni en dernière page, hachurer l’aire A comprise entre les deux courbes et les
droites d’équations x = e et x = e2 .
2
3. Calculer la valeur de cette
Z 2aire en cm .
e
( On rappelle que A =
e
[f (x) − g(x)] dx = K(e2 ) − K(e) unités d’aire).
Graphique du problème.
NOM : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Document à rendre avec la copie
7
y
6
5
4
3
2
1
6
5
C
4
3
2
1
0
0
O
1
2
3
4
5
6
7
x
8
-1
−1
-2
−2
-3
−3
-4
−4
-5
−5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Correction du BAC BLANC
Exercice 1
4,5 points
1. On remplace x par −1 dans P et on obtient : P (−1) = 0
2. (x + 1)(ax2 + bx + c) = ax3 + bx2 + cx + ax2 + bx + c
Soit : P (x) = ax3 + (b + a)x2 + (c + b)x + c
Or, P (x) = 2x3 − 7x2 − 5x + 4
Donc,
par identification des coefficients, on obtient :



a=2





 b + a = −7
=⇒


c + b = −5





 c=4



a=2



b = −9




 c=4
3. P (x) = 0 ⇐⇒ (x + 1)(2x2 − 9x + 4) = 0.
Un produit de facteurs est nul ssi l’un des facteurs est nul, soit :
• x+1=0
donc
x = −1,
• 2x2 − 9x + 4 = 0 :
ou
∆ = b2 − 4ac = (−9)2 − 4 × 2 × 4 = 49.
Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles :
√
−b − ∆
9−7
1
x1 =
=
=
2a
2×2
2
Conclusion : S =
1
; 4
−1 ;
2
√
−b + ∆
9+7
x2 =
=
=4
2a
2×2
4. (a) Dans 2(sin x)3 −7(sin x)2 −5 sin x+4 = 0, si on pose X = sin x, on obtient 2X 3 −7X 2 −5X +4 = 0.
Or, les solutions de cette dernière équation sont :
π
• X = −1 soit sin x = −1 donc x = − + k × 2π, k ∈ Z,
2
1
1
π
5π
• X=
soit sin x =
donc x = + k × 2π ou x =
+ k × 2π,
2
2
6
6
• X = 4 soit sin x = 4 ce qui n’est pas possible.
π
π
5π
Conclusion : S = − + k × 2π ;
+ k × 2π ;
+ k × 2π
2
6
6
k ∈ Z,
(b) Dans 2(ln x)3 − 7(ln x)2 − 5 ln x + 4 = 0, si on pose X = ln x, on obtient 2X 3 − 7X 2 − 5X + 4 = 0.
Or, les solutions de cette dernière équation sont :
• X = −1 soit ln x = −1 donc x = e−1 ,
1
1
1
• X=
soit ln x =
donc x = e 2 ,
2
2
• X = 4 soit ln x = 4 donc x = e4 .
1 √
Conclusion : S =
; e ; e4
e
Exercice 2
4,5 points
1. Tableau récapitulatif :
Avec le défaut F
Avec le défaut S
8
Sans le défaut S
4
Total
Sans le défaut F
8
(X = −8)
180
(X = 5)
12
(X = +12, 5)
(X = 50)
188
Total
16
184
200
2. (a) • Si l’objet n’a aucun défaut, le prix de vente est de 250 e et le coût de fabrication 200 e.
Donc, le bénéfice est de X = 250 − 200 = 50 e.
• Si l’objet présente le seul défaut S, le prix de vente est de 250 × 0, 85 = 212, 50 e et le coût de
fabrication 200 e.
Donc, le bénéfice est de X = 212, 5 − 200 = 12, 5 e.
• Si l’objet présente le seul défaut F, le prix de vente est de 250 e et le coût de fabrication
200 + 45 = 245 e.
Donc, le bénéfice est de X = 250 − 245 = 5 e.
• Si l’objet présente les deux défauts S et F, le prix de vente est de 250 e et le coût de fabrication
200 + 58 = 258 e.
Donc, le bénéfice est de X = 250 − 258 = −8 e.
Conclusion : X prend les valeurs 50 ; 12, 5 ; 5 et −8
(b) P (S ∩ F ) =
8
1
=
d’où P = 0, 04
200
25
(c) Loi de probabilité de X :
xi
50
12, 5
5
−8
P (X = xi )
180
200
8
200
4
200
8
200
P (X = xi )
0, 90
0, 04
0, 02
0, 04
(d) E(X) = 50 × 0, 90 + 12, 5 × 0, 04 + 5 × 0, 02 − 8 × 0, 04 = 45, 28.
E(X) = 45, 28 e, ce qui représente le bénéfice moyen de l’entreprise par objet vendu.
Problème
11 points
Partie A : Détermination d’une fonction
1+a+b
= 0,
1
9 + 3a + b
= 0,
• C passe par le point (3; 0) donc : g(3) = 0 soit
3
1. • C passe par le point (1; 0) donc : g(1) = 0 soit
ce qui nous donne :


 a+b
= −1

 3a + b = −9
2. g(x) =
⇐⇒


 a + b = −1


2a
= −8
⇐⇒


 a = −4

 b
=3
x2 − 4x + 3
x2 4x 3
3
=
−
+ soit en simplifiant : g(x) = x − 4 +
x
x
x
x
x
Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire
2
2x2 − 2
soit en mettant au même dénominateur : h′ (x) =
x
x
Signe de 2x2 − 2 sur R :
1. h′ (x) = 2x −
2x2 − 2 = 0 ⇐⇒ x2 = 1 ⇐⇒ x = 1 ou x = −1.
Or, 2x2 − 2 est un polynôme du second degré, du signe de a (ici, a = 2), donc positif sauf entre ses
racines −1 et 1.
Signe de x sur R∗+ :
x>0
D’où le tableau de variations :
0
x
1
+∞
Signe de 2x2 − 2
−
0
+
Signe de x
+
|
+
Signe de h′ (x)
−
0
+
Variations de h
h(1)
2. h(1) = 12 + 1 − 2 ln(1).
donc :
h(1) = 2
Le minimum de la foncion h étant positif, on en déduit que
h(x) est strictement positif pour tout nombre réel x de ] 0 ; +∞ [
Partie C : Étude de fonction
1. Calcul de la limite en 0+ : sachant que lim ln x = −∞, on a
x→0+


lim 1 + 2 ln x = −∞ 
x→0+
lim x = 0+
x→0+
donc, par quotient, lim
x→0+






1 + 2 ln x
= −∞
x
lim x − 4 = −4
donc, par somme, lim f (x) = −∞
1 + 2 ln x

x→0+
lim
= −∞ 

+
x
x→0
ce qui prouve que la droite d’équation x = 0 est asymptote verticale à Γ
x→0+
2. Calculer de la limite +∞ :
1 + 2 ln x
1
ln x
=x−4+ +2
.
f (x) = x − 4 +
x
x
x

lim x − 4 = +∞ 


x→+∞


1
lim
=0
donc, par somme : lim f (x) = +∞

x→+∞ x
x→+∞



ln x


=0
lim 2
x→+∞
x
3. Calcul de la dérivée
: 0 + x2 × x − (1 + 2 ln x) × 1
′
f (x) = 1 − 0 +
x2
2
−
1
−
2
ln
x
f ′ (x) = 1 +
x2
2
x + 1 − 2 ln x
h(x)
f ′ (x) =
d’où f ′ (x) = 2
x2
x
Tableau de variation :
f ′ (x) est du signe de h(x) puisque x2 est positif.
Or, on a démontré dans la partie B que h(x) était positive sur R∗+ donc, f ′ (x) > 0
x
0
Signe de f ′ (x)
+∞
+
+∞
Variations de f
−∞
1 + 2 ln x
3
1 2 ln x 3
2 ln x 2
4. (a) f (x) − g(x) = x − 4 +
−x+4− = +
− =
− .
x
x
x
x
x
x
x

2 ln x

=0 
lim
Or, x→+∞ 2x
donc, par somme, lim f (x) − g(x) = 0

x→+∞
lim − = 0 
x→+∞
x
Ce qui signifie que graphiquement, les courbes sont asymptotes
2 ln x − 2
donc, f (x) − g(x) est du signe de 2 ln x − 2 sur ] 0 ; +∞ [ puisque x est
x
positif sur cet intervalle.
(b) f (x) − g(x) =
Or, 2 ln x − 2 ≤ 0 ⇐⇒ ln x ≤ 1 ⇐⇒ x ≤ e
On récapitule le résultat précédent dans un tableau :
0
x
+∞
e
Signe de f (x) − g(x)
−
0
+
Comparaison
f (x) ≤ g(x)
|
f (x) ≥ g(x)
Position relative de Γ et C
Γ est en dessous de C
|
Γ est au dessus de C
Conclusion : Γ est en dessous de C sur ] 0 ; e [ égale en e et au dessus de C sur ] e ; +∞ [
(c) On a f (x) = g(x) pour x = e, donc y = g(e) = e − 4 + 3 e−1 . D’où I(e; e − 4 + 3 e−1 )
5. Voir graphique.
Partie D : Calcul d’une aire comprise entre deux courbes
1
2 ln x − 2
× (ln x − 1) =
= f (x) − g(x).
x
x
Donc : f (x) − g(x) admet pour primitive sur ] 0 ; +∞ [ la fonction K
1. K ′ (x) = 2 ×
2. Voir graphique.
3. A =
Z
e2
e
[f (x) − g(x)] dx = K(e2 ) − K(e)
A = (ln e2 − 1)2 − (ln e − 1)2 = 1 unité d’aire.
Or, une unité d’aire mesure 2 × 1, 5 = 3 cm2 d’où : A = 3 cm2
7
y
6
5
4
3
2
1
6
Γ
5
C
4
3
2
1
0
0
O
b
1
2
I 3
-1
4
5
6
7
x
8
−1
-2
−2
-3
−3
-4
−4
-5
−5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9