Fiche d`exercices no 3 : Développements limités

Université Lyon 1
Licence Portail Math-Info Première année
Année 2013-2014
Fiche d’exercices no 3 : Développements limités
Exercice 1. Calculer les développements limités au voisinage de 0 des fonctions usuelles suivantes
1.
√
1−x+
√
1 + x à l’ordre 4.
2. cos(x) ln(1 + x) à l’ordre 4.
3. ln2 (1 + x) à l’ordre 4.
1
− ex à l’ordre 3.
4.
1−x
√
5. (x3 + 1) 1 − x à l’ordre 3.
Exercice 2. Calculer les développements limités au voisinage de 0 des composés de fonctions
suivantes
1. ln( sinx x ) à l’ordre 4.
2. esin x à l’ordre 4.
sin x
3. cos x
à l’ordre 5.
Exercice 3. Calculer les développements limités au voisinage de 0 de rapports entre fonctions
1. tan x à l’ordre 5.
sin(x) − 1
2.
à l’ordre 2.
cos(x) + 1
ln(1 + x)
3.
à l’ordre 3.
sin x
Exercice 4. Développements limités au voisinage de 0 d’opérations sur les fonctions usuelles.
1.
√
1+x−
√
1 − x à l’ordre 3.
2. ln(1 + 3x) à l’ordre 3.
3. ex − 1 + sin x − 2x −
ex
cos x
cos x
5.
ex
4.
x2
2
à l’ordre 4.
à l’ordre 3.
à l’ordre 3.
1
Exercice 5. Développements limités au voisinage d’un point x0 6= 0.
1.
√
x au voisinage de 2 à l’ordre 3.
2. sin x au voisinage de π3 à l’ordre 3.
ln x
au voisinage de 1 à l’ordre 2.
3.
(1 + x)2
4. x3 au voisinage de 1 à l’ordre 4.
5. x3 au voisinage de -1 à l’ordre 4.
Exercice 6. Calculer le développements limités au voisinage de ±∞ des fonctions suivantes
√
x+2
√
en +∞ à l’ordre 3.
x
p
x
x2 + 1 en +∞ et en −∞ à l’ordre 1.
2.
x−1
3. e2/x en +∞ et à l’ordre 3.
1.
4. e−2/x en −∞ et à l’ordre 3.
x2 − x
5.
en +∞ et à l’ordre 2.
1+x
√
√
3 + x + x2 − 2 − x + x2
6.
en +∞ et à l’ordre 2.
x
Exercice 7. Utilisation des développements limités
a) Calculer le développement limité en 0 de la fonction ln(1 + sin2 (x)) à l’ordre 3 et en déduire
ln(1 + sin2 (x))
.
la limite lim
x→0
2x2
b) Calculer le développement limité en 0 de la fonction ln(1+x cos2 (x)) à l’ordre 3 et en déduire
ln(1 + x cos2 (x))
la limite lim
.
x→0
4x
c) Calculer le développement limité en 0 de la fonction ln(1 − sin2 (x)) à l’ordre 3 et en déduire
ln(1 − sin2 (x))
la limite lim
.
x→0
2x2
c) Calculer le développement limité en 0 de la fonction ln(1−x cos2 (x)) à l’ordre 3 et en déduire
ln(1 − x cos2 (x))
.
la limite lim
x→0
3x
Exercice 8.
A partir des développements limités de e2x et de cos x au voisinage de 0
cos x
au voisinage de 0 à l’ordre 2
e2x
cos x
o en déduire le développement limité de ln
au voisinage de 0 à l’ordre 2
e2x
cos x
ln
+ 2x
e2x
o calculer lim
.
x→0
x2
o donner celui de
2
Exercice 9.
A partir des développements limités de e2x et de sin 2x au voisinage de 0
sin 2x
au voisinage de 0 à l’ordre 2
e2x
sin 2x
au voisinage de 0 à l’ordre 1
o en déduire le développement limité de ln
2xe2x
sin 2x
ln
+ 2x
2xe2x
o calculer lim
.
x→0
x
o donner celui de
Exercice 10. Calculer les limites suivantes
1 − cos x
a) lim
x→0
sin x
7 x
b) lim 1 +
x→+∞
x
1
sin x
c) lim 2 ln
x→0 x
x
sin x − sin a
d) lim
x→a
x−a
1
1
e) lim
−
x→0 x
ln(1 + x)
x − x cos x
f) lim
x→0 x − sin x
x ln x
g) lim 2
x→1 x − 1
1 − cos 2x
h) lim x
x→0 e − 1 − x
3