Devoir surveillé n˚4

Devoir surveillé n˚4
EXERCICE no 1
Le responsable d’un magasin d’outillage a relevé pendant une semaine le montant en euros des achats de 200 clients.
Les résultats figurent dans le tableau suivant :
Montant des achats xi
Nombre de clients ni
[0, 15[
15
[15, 25[
20
[25, 35[
50
[35, 40[
30
[40, 45[
35
[45, 55[
25
[55, 65[
15
[65, 75[
10
1. Quel est le pourcentage de clients dont le montant des achats est situé dans l’intervalle [25, 55[ ?
2. Représenter l’histogramme de cette série statistique.
3. Dresser le tableau des fréquences puis des fréquences cumulées croissantes de cette série statistique.
4. Tracer le polygône des fréquences cumulées croissantes de cette série statistique.
Échelle : 1 cm pour 5 euros sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 0, 1 sur l’axe des ordonnées.
5. Déterminer la moyenne x̄ et l’écart-type σ de cette série.
6. Par lecture du graphique, estimer le pourcentage de clients dont le montant est compris entre x̄ − σ et x̄ + σ.
7. Déterminer par le calcul une valeur approchée de l’abscisse du point de la ligne brisée d’ordonnée 0, 5. Vérifier
sur le graphique. Que représente cette abscisse ?
EXERCICE no 2
Soit f la fonction définie sur R par :
f (x) = e2x − (x + 1)ex .
0,3
1. On note I =
Z
2. On note J =
Z
3. On note K =
Z
4. On note L =
Z
x2
dx. Démontrer que I = 0, 009.
2
−0,3
0,3
e2x dx. Démontrer que J = 0, 5 e0,6 − e−0,6 .
−0,3
0,3
−0,3
0,3
(x + 1)ex dx. Démontrer, à l’aide d’une intégration par parties, que K = 0, 3 e0,3 + e−0,3 .
f (x)dx.
−0,3
(a) Déduire des questions précédentes la valeur exacte de L.
(b) Donner la valeur approchée de L arrondie à 10−3 .
(c) Que peut-on en déduire ?
1
Correction du DS n˚4
EXERCICE no 1
1. 20 + 50 + 30 + 35 + 25 = 140 clients correspondent à l’intervalle [25, 55[, ce qui représente un pourcentage de
140
× 100% soit p = 70%
p=
200
2. Histogramme :
5 clients
0
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
3. Tableau récapitulatif :
xi
ni
fi
f cc
[0, 15[
15
0, 075
0, 075
[15, 25[
20
0, 100
0, 175
[25, 35[
50
0, 250
0, 425
[35, 40[
30
0, 150
0, 575
[40, 45[
35
0, 175
0, 750
[45, 55[
25
0, 125
0, 875
[55, 65[
15
0, 075
0, 950
[65, 75[
10
0, 050
1
4. Polygône des fréquences cumulées croissantes :
F.c.c.
fréquence
1.0
0.9
0, 84
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0, 15
0.1
montant en euros
0
5
10 15 20 25 30 35 m 40 45 50 55 60 65 70 75
x̄ − σ
x̄ + σ
2
5. La calculatrice donne x̄ = 37, 375 et σ = 15, 062
6. x̄ − σ = 22, 313
et
x̄ + σ = 52, 437.
Graphiquement, pour x = 22, 3 on obtient une fréquence de 0, 15, et pour x = 52, 4 une fréquence de 0, 84.
p = (0, 84 − 0, 15) × 100 = 69%.
Ainsi, 69% des clients sont dans l’intervalle [x̄ − σ; x̄ + σ]
7. Soit m l’abscisse du point d’ordonnée 0, 5.
On procéde à une interpolation linéaire d’après le théorème de Thales :
0, 575
0, 5
0, 5 − 0, 425
m − 35
=
40 − 35
0, 575 − 0, 425
m − 35
0, 075
=
5
0, 150
m = 5 × 0, 5 + 35
b
m = 37, 5 euros
0, 425
m
35
40
Cette abscisse représente la médiane de la série statistique
EXERCICE no 2
3 0,3
x
1. I =
= 0, 0045 + 0, 0045 donc :
I = 0, 009
6 −0,3
0,3
1 0,6
1 2x
e − e−0,6
donc :
J = 0, 5 e0,6 − e−0,6
e
=
2. J =
2
2
−0,3
R
R
et on a : uv ′ = [uv] − u′ v :
3. On pose u(x) = x + 1 v ′ (x) = ex
u′ (x) = 1
0,3
K = [(x + 1) ex ]−0,3 −
v(x) = ex
Z
0,3
ex dx
−0,3
K = 1, 3 e0,3 − 0, 7 e−0,3 − [ex ]0,3
−0,3
K = 1, 3 e0,3 − 0, 7 e−0,3 − e0,3 + e−0,3
K = 0, 3 e0,3 + 0, 3 e−0,3
K = 0, 3 e0,3 + e−0,3
Z 0,3
4. (a) L =
e2x − (x + 1)ex dx
−0,3
Z 0,3
Z 0,3
2x
L=
e dx −
(x + 1)ex dx
−0,3
L=J −K
−0,3
L = 0, 5 e0,6 − e−0,6 − 0, 3 e0,3 + e−0,3
(b) L ≈ 0, 009
(c) On en déduit que I et L sont presque équivalentes
3