Histogrammes et courbes cumulatives

Histogrammes et courbes cumulatives
Situation
L'association de course à pieds VIVALURE a une équipe féminine bien représentée. Ci-dessous, le tableau donne les derniers temps aux 10
Km des participantes.
Nom
Adèle
Alexandra
Amandine
Anne
Aurélie
Céline
Charlotte
Chloé
Claire
Clara
Temps (min)
51
49
64
61
57
59
46
39
45
44
Nom
Delphine
Dorothée
Elise
Elodie
Emilie
Emma
Eurydice
Fabienne
Fanny
Farima
Temps (min)
49
58
47
44
42
41
50
37
40
51
Nom
Hélène
Laura
Marie
Maryline
Monique
Morgane
Nia
Pauline
Sophie
Vanessa
Temps (min)
49
55
60
48
41
45
46
54
49
59
Mme Spide prend la responsabilité de l'entraînement. Elle décide de créer cinq équipes de niveau équivalent et de même effectif.
Constituer les équipes. (Faire un tableau donnant les temps minimums et maximums pour chacune des équipes).
Pour exposer les raisons de son choix, elle décide de faire un affichage. Elle vous demande de faire une représentation graphique sous forme
d’un histogramme. En abscisse : le temps, en surface, l’effectif.
Chacune des sportives désire se situer par rapport aux autres et demande à ce que figure le classement. avec une mise en évidence du
premier quart, de la moitié et du troisième quart et des temps correspondants. Faire le graphique approprié (courbe cumulée croissante).
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Corrigé
1) Constitution des équipes
On range par ordre croissant des temps : les 6 sportives dont le temps est le plus petit (les meilleures) constitueront l’équipe 1
équipe 1
Fabienne
Chloé
Fanny
Emma
Monique
Emilie
37
39
40
41
41
42
équipe 2
Clara
Elodie
Claire
Morgane
Charlotte
Nia
43
44
45
45
46
46
équipe 3
Elise
Maryline
Alexandra
Delphine
Hélène
Sophie
47
48
49
49
49
49
équipe 4
Eurydice
Adèle
Farima
Pauline
Laura
Aurélie
50
51
51
54
55
57
équipe 5
Dorothée
Céline
Vanessa
Marie
Anne
Amandine
58
59
59
60
61
64
L’effectif de chaque équipe est de 6 sportives dont les temps sont les suivants :
Equipe 1 : de 37 min à moins de 43 min
Equipe 2 : de 43 min à moins de 47 min
Equipe 3 : de 47 min à moins de 50 min
Equipe 4 : de 50 min à moins de 57 min
Equipe 5 : de 57 min à moins de 65 min
On a créé ainsi des « classes ». On les écrit sous forme d’intervalle, par exemple l’intervalle de temps de l’équipe 1 est :
[37 ; 43[
[37
Le temps de 37 min est
inclus dans l’intervalle
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43[
Le temps de 43 min n’est
pas inclus dans l’intervalle
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On peut ainsi construire un nouveau tableau
Temps en min
[37 ; 43[
[43 ; 47[
[47 ; 50[
[50 ; 57[
[57 ; 65[
Effectif
6
6
6
6
6
Chaque classe ou intervalle a une amplitude :
Ainsi pour l’équipe 1 l’amplitude de classe est de 6 min (43 – 37)
pour l’équipe 2 l’amplitude de classe est de 4 min (47 – 43)
Par contre l’effectif est le même dans chaque classe
C’est ce tableau qui va permettre de construire l’histogramme.
2) Construction de l’histogramme
L’histogramme sert à visualiser des données chiffrées.
La variable est le temps : on met le temps en abscisse et on va représenter l’effectif par des rectangles qui auront comme base l’amplitude de
chaque classe.
Chaque rectangle doit donc avoir une aire proportionnelle à 6. Tous les rectangles devront avoir la même aire.
Comme les amplitudes de classe sont différentes, il faudra faire attention à la hauteur des rectangles.
Exemple : Si on choisit de prendre comme échelle des temps 1 cm pour 1 min et que 1 personne sera représentée par 4cm² ,
les rectangles devront avoir une aire de 24 cm²
Comme les classes ne sont pas égales, la hauteur de chaque rectangle dépendra de la l’amplitude de la classe.
Ainsi pour l’équipe 1 la classe est de 6 min, la largeur du rectangle sera de 6 cm et pour représenter un rectangle de 24 cm² il faudra que la
hauteur du rectangle soit de 4cm (24/6).
Dans le cas où les classes sont égales (ce qui est fréquent en statistiques), le tracé de l’histogramme est moins compliqué car les hauteurs
sont alors proportionnelles aux surfaces, donc aux effectifs.
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Histogramme
35
40
45
50
55
60
65
70
te m ps e n m in
ATTENTION :
Si on veut ajouter un axe vertical il représente un effectif par min
Pour l’équipe 2 l’effectif par min est de 1,5 (6/4) : c’est une unité
composée.
effectif
6
6
6
6
6
largeur de
classe
6
4
3
8
7
2
effectif par min
classes en
min
[37 - 43[
[43 - 47[
(47 - 50[
[50 - 58[
[58 - 65[
2,5
effectif par
min
1
1,50
2
0,75
0,86
1,5
1
0,5
0
35
40
45
Même dans le cas de tranches égales il ne faut pas oublier que l’axe
vertical représente un effectif par classe.
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50
55
60
65
70
te m ps e n m in
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On aurait pu compléter le tableau des effectifs avec les fréquences, il y a 6 personnes dans chaque classe, ce qui représente 20% de
l’ensemble des sportives (fréquence =
6
= 0,2 = 20% ) :
30
Temps en min
[37 ; 43[
[43 ; 47[
[47 ; 50[
[50 ; 57[
[57 ; 65[
Effectif
6
6
6
6
6
Fréquences
20%
20%
20%
20%
20%
L’histogramme aurait la même allure et si on y ajoute un axe vertical, ce serait des fréquences par classe
3) Courbe des fréquences cumulées
Pour faire le graphique des effectifs ou fréquences cumulées croissants on a besoin de faire un nouveau tableau :
On va calculer le nombre ou le pourcentage de sportives qui courent moins d’un certain temps :
Exemple : le nombre de sportives qui courent moins de 47 min est de 12, il est égal à la somme de celles qui courent de 37 à moins de 43 min
et de celles qui courent de 43 à moins de 47 min.
On pourra ainsi remplir le tableau des effectifs ou fréquences cumulées croissants suivant :
Temps en min
Effectifs cumulés
croissants
Fréquences cumulées
croissantes
37
43
47
50
57
65
0
6
12
18
24
30
0%
20%
40%
60%
80%
100%
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Il y a 18 sportives (ou 60% des
sportives) qui courent moins de 50 min
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On peut compléter ce tableau par les effectifs ou fréquences cumulés décroissants :
Temps en min
Effectifs cumulés
croissants
Effectifs cumulés
décroissants
37
43
47
50
57
65
0
6
12
18
24
30
30
24
18
12
6
0
Fréquences
cumulées
croissantes
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Fréquences
cumulées
décroissantes
100%
80%
60%
40%
20%
0%
Il y a 12 sportives (ou 40% des sportives)
qui courent plus de 50 min
A noter que la somme des effectifs sur une ligne est de 30 et que la somme des fréquences est de 100%.
courbe de s fréque nce s cumulée s
120
100
On peut faire le graphique associé, en portant
en abscisse le temps et en ordonnée les
fréquences cumulées
fréquences
80
croissantes
60
décroissantes
40
20
0
35
40
45
50
55
60
65
70
te m ps
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A partir de ces courbes on peut répondre à des questions de type :
En moins de combien de temps courent 25% des sportives (1/4), 50% des sportives (1/2), 75% des sportives (3/4) ?
courbe de s fréque nce s cumulée s
On lit sur la courbe des fréquences cumulées croissantes
pour des fréquences données la valeur de la variable qui est
ici le temps
120
25 % : Le premier quart correspond à des sportives courant
moins de 44 min :
Cette valeur correspond au premier quartile.
100
fréquences
80
50% : La moitié correspond à des sportives courant moins
de 48,5 min :
Cette valeur correspond au deuxième quartile ou médiane
60
75% : Le troisième quart correspond à des sportives courant
moins de 56 min :
Cette valeur correspond au troisième quartile
40
20
0
35
40
45
50
55
60
65
70
temps
On peut de la même façon définir les déciles :
1er décile : temps tel que 10% des sportives courent moins de ce temps
2ème décile : temps tel que 20% des sportives courent moins de ce temps
et ainsi de suite…
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Application
En prévision des compétitions, Mme Spide estime que tout le monde doit participer. Aussi, sélectionne-t-elle les coureuses en fonction du
temps des courses de la région. Ceci permet à tout le monde de participer aux compétitions et chacune à la mesure de ses performances
Courses
Trophée de L'éclair d'Or
L'espoir des Alizées
La Chaussure bondissante
Le grand prix du coeur
La médaille du mérite sportif
Critère de sélection pour participer aux
couleurs de VIVALURE
40 et moins
] 40 ; 45 ]
] 45 ; 50 ]
] 50 ; 55 ]
Supérieur à 55
Combien y aura-t-il de participantes par course ? (Faire un tableau)
Représenter sur un histogramme et sur une courbe cumulée.
Comparer cet histogramme et cette courbe cumulée aux graphiques conçus pour les deuxième et troisième questions.
Contacter votre formateur pour la correction.
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