Intégration par parties

Intégration par parties
Tout ceci n’est plus au programme ! ! !
Cette technique, pourtant simple et systématique permet de déterminer facilement certaines primitives ; c’est même la seule
techniques qui permet, dans certains cas bien répertoriés de le faire. Elle a pourtant été supprimée à la dernière réforme.
C’est d’autant plus regrettable que, non seulement on vous enlève la technique la plus sympa, mais aussi indispensable dans
certains cas. Il vous sera peut-être utile d’en entendre parler dès cette année, compte tenu du fait que l’an prochain vous n’y
couperez pas.
1/ La technique proprement ditel
1. 1. L’idée est très simple, u et v étant deux fonctions dérivables, puisque (uv)′ = u′ v + uv′ , on peut déduire que uv
est une primitive de u′ v + uv′ .
Pour être plus rigoureux : (u (x) × v (x))′ = u′ (x) × v (x) + u (x) × v′ (x) ⇒ u (x) × v′ (x) = (u (x) × v (x))′ −
u′ (x) × v (x)
b
b
a
b
Or,
b
′
(u (x) × v′ (x)) dx =
En prenant l’intégrale :
a
(u (x) × v (x))′ dx = [u (x) × v (x)]ba donc
a
(u′ (x) × v (x)) dx
(u (x) × v (x)) dx −
a
b
(u (x) × v′ (x)) dx = [u (x) × v (x)]ba −
a
b
(u′ (x) × v (x)) dx
a
C’est la formule de l’intégration par parties. Elle peut paraître compliquée à retenir, mais une présentation systématique des calculs facilité les choses.
On pourra retenir une formule mois rigoureuse mais plus simple :
uv′ = [uv] −
u′ v
Si vous n’en voyez pas l’intérêt immédiatement, dites-vous qu’il arrive que la primitive de uv′ soit inaccessible
alors que celle de u′ v soit très facile.
1
xex dx
Un exemple s’impose : soit à calculer
On pose
u=x
v′ = ex
⇒
⇒
0
′
u =1
On en déduit que
v = ex
1
1
xex dx = [xex ]10 −
0
0
1
ex dx = [ex ]10 on voit que
0
xex dx = [xex ]10 − [ex ]10
0
1
1
xex dx = [xex − ex ]10 = (e − e) − (0 − 1) = 1 On obtient donc
Ainsi
1 × ex dx
0
1
1 × ex dx ne posant pas de problème :
Le calcul de
1
0
xex dx = 1
0
Trois remarques :
⋆ Je propose la présentation suivante :
On pose u = x
u′ = 1
ց×
↓ − qui permet de retrouver visuellement le [uv] − u′ v
′
x
v =e
v = ex
Il est bien évident que la difficulté de la méthode est dans le choix de u et v′ . Vous trouverez ci-dessous d’autres
exemples.
x
⋆ On sait que la primitive de f qui s’annule en a est
f (t) dt donc pour touver une primitive in ntégrant par
a
x
x
x
x
uv′ = [uv]xa − u′ v. Dans l’exemple qui précède, cela donne
parties, il suffit de faire
a
a
x
t
tet dt = [tet ]a − et dt =
a
a
[tet − et ]a = xex − ex − (aea − ea )
Les primitives sont donc de la forme xex − ex + C
⋆ L’intégration par parties n’étant plus au programme, l’énoncé aura deux possibilités : soit il vous donne
F et vous demande de vérifier que c’est bien une primitive de f, soit il vous demande de déterminer a et b pour
que (ax + b) ex soit une primitive de f (on trouve évidemment a = 1 et b = −1). Dans les deux cas,le problème
de rechrche de priitive a été transforméen un problème de calcul de dérivée.
1
2/ D’autres exemples
1
2. 1.
(2x + 3) e−x dx
⋆ Calculer I =
0
On pose
u = 2x + 3
v′ = e−x
1
u′ = 2
v = −e−x
⇒
⇒
1
(2x + 3) e−x dx = [− (2x + 3) e−x ]0 −
On en déduit que
0
1
−2e−x dx
0
1
0
Donc I = [(2x + 3) e−x ]1 + 2 e−x dx (je rappelle qu’il me semble plus prudent d’enlever le − dans le 1er terme
0
enpermutant les bornes).
1
1
7
e
et v′ = 2x + 3 et vous verrez que cela ne mène nulle
D’où I = 3 − 5e−1 + 2 [−e−x ]0 = 3 − 5e−1 − 2 [e−x ]0 = 3 − 5e−1 − 2 e−1 − 1 = 5 −
Essayez d’inverser les rôles de u et de v ′ en posant u = e−x
part.
1
x2 ex dx
⋆ Calculer I =
0
On pose
u = x2
v′ = ex
u′ = 2x
On en déduit que I = x2 ex
v = ex
⇒
⇒
1
0
1
2xex dx
−
0
1
x
Il reste à calculer l’intégrale J =
2xe dx..... à nouveau par parties.
0
On pose
u = 2x
v′ = ex
⇒
⇒
1
u′ = 2
x 1
x
x On en déduit que J = [2xe ]0 − 2 e dx
v=e
0
1
1
1
On a donc J = [2xex − 2ex ]10 et I = x2 ex 0 − J = x2 ex − (2xex − 2ex ) 0 = ex x2 − 2x + 2 0 = e − 2
Remarque :on a directement pour primitive de x2 ex la fonction F (x) = ex x2 − 2x + 2 qui est entre les crochets.
e
⋆ Calculer I =
ln (x) dx
1
Là c’est plus curieux, on pose u = ln (x) et v′ = 1 pour trouver F (x) = x ln (x) − x donc I = [x ln (x) − x]e1 = 1
π
⋆ Calculer I =
x sin (x) dx
0
Poser u = x et v′ = sin (x) vous trouverez comme primitive sin x − x cos x et donc I = [sin x − x cos x]π0 = π
⋆ Petite généralisation, si f (x) s’écrit comme produit d’un polynôme Pn (x) de degré n et d’une exponentielle
ekx . On peut l’intégrer par partie en posant u = pn (x) dont la dérivée u′ est un polynôme Pn−1 (x) . Du coup
1
v′ = ekx ⇒ v = ekx
k
1
ekx
On obtient alors Pn (x) ekx dx = Pn−1 (x) × ekx − Pn−1 (x)
dx.
k
k
Cette nouvelle intégrale est de la même forme que la première. On la calcule à nouveau par partie ; compte tenu
que chaque intégration par partie diminue le degré de 1, à la n-ième, on obtient une intégrale du type Aekx dx
qu’on intègre sans problème.
Une telle intégrale se calcule donc par n intégration par parties successives comme on l’a fait dans le 1er exercice
1
x2 ex dx et a demandé deux ipp successives. voir un dernier exemple ci-après
qui consistait à calculer
0
2
3
x3 + 2 e2x dx
Calculer par exemple une primitive de I =
0
1ère ipp :
u = x3 + 2
On pose
2x
′
v =e
2ème ipp : Calcul de
3 2
x
2
v′ = e2x
u′ = 3x2
e2x On en déduit que
v=
2
⇒
⇒
x3 + 2 e2x dx =
u=
⇒
3
x
2
v′ = e2x
u=
2 2x
D’où
3x e
2
dx =
3x2 e2x
dx
2
3
22x
e
v=
2
3e2x
−
8
u′ =
⇒
⇒
3x 2x
e
4
En recollant les morceaux :
3x2
4
e2x −
3xe2x
dx
2
3xe2x
dx
2
3ème ipp : On calcule enfin
On pose
e2x −
3x2 e2x
dx
2
u′ = 3x
3x2 e2x
dx =
On
en
déduit
que
2x
e
2
⇒
v=
2
x3 + 2 2x
3x2
3xe2x
3
2x
On a donc
x + 2 e dx =
e
e2x −
dx
−
2
4
2
x3 + 2 2x
3x2
3xe2x
donc
x3 + 2 e2x dx =
e
e2x +
dx
−
2
4
2
On pose
x3 + 2
2
On en déduit que
x3 + 2 e2x dx =
Une primitive de x3 + 2 e2x est donc F (x) =
1
Donc F (x) = e2x 4x3 − 6x2 + 6x + 5
8
Il ne reste plus qu’à calculer F (3) − F (0) =
3x2 e2x
dx =
2
3x 2x
−
e
4
3e2x
dx
4
x3 + 2 2x
3x2
3x 2x
3e2x
−
−
e
e2x +
e
2
4
4
8
2x
x3 + 2 2x
3x2
3x
3e
e −
e2x +
e2x −
2
4
4
8
77 6 5
e −
8
8
Remarque : j’ai voulu calculer d’abord la primitive puis seulement à la fin calculer l’intégrale. Vous aurez
d’ailleurs au passage découvert une notation nouvelle : la primitive se note comme une intégrale sans bornes.
Evidemment, on aurait pu calculer les variations au fur et à mesure des ipp successives. Le résultat numérique
aurait évidemment été le même, mais nous n’aurions pas eu la primitive.
3