Ex 2
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Ex 2
Exercice 2 : ( 7 points ) Partie 1 Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par g ( x) = e x − xe x + 1 . 1. Déterminer la limite de g en +∞. 2. Etudier les variations de la fonction g. 3. Donner le tableau de variation de la fonction g. 4.a. Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet sur [0 ; +∞[ une unique solution. On note α cette solution. b. A l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10–2 de α. 1 . c. Démontrer que eα = α −1 5. Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x. Partie 2 4x . e +1 1. Démontrer que pour tout réel x positif ou nul, A′( x) a le même signe que g(x), où g est la fonction définie dans la partie 1. 2. En déduire les variations de la fonction A sur [0 ; +∞[. Soit A la fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞[ telle que A( x) = x Partie 3 4 . e +1 r r On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i , j ). La figure est donnée en annexe. Pour tout réel x positif ou nul, on note : - M le point de c de coordonnées (x ; f(x)), - P le point de coordonnées (x ; 0), - Q le point de coordonnées (0 ; f(x)). On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f ( x) = x 1. Démontrer que l’aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse α. (On rappelle que le réel α a été défini dans la partie 1.) 2. Le point M a pour abscisse α. La tangente T en M à la courbe C est-elle parallèle à la droite (PQ) ? Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Cette page ne sera pas à rendre avec la copie Solution : Partie 1 1. ݃ሺݔሻ = ݁ ௫ − ݁ݔ௫ + 1 = ሺ1 − ݔሻ݁ ௫ + 1. Ainsi lim௫→ାஶ ݃ሺݔሻ = −∞. 2. ݃ᇱ ሺݔሻ = ݁ ௫ − ݁ݔ௫ − ݁ ௫ = − ݁ݔ௫ . Pour tout réel x, ݁ ௫ > 0 et donc pour tout ]∈ ݔ0; +∞[, ݃ᇱ ሺݔሻ < 0. g est donc strictement décroissante sur [0; +∞[. 3. x +∞ 0 2 g -∞ 4. a. g est continue et strictement décroissante sur [0 ;+∞[. Comme l’intervalle image de [0 ;+∞[ par la fonction g contient 0 on en déduit que l’équation ݃ሺݔሻ = 0 admet une unique solution α. b. D’après la calculatrice ݃ሺ1,27ሻ ≈ 0,3857 > 0 et ݃ሺ1,28ሻ ≈ −0,0071 < 0 donc 1,27 < ߙ < 1,28. ଵ c. On a ݃ሺߙሻ = 0 donc ݁ ఈ − ߙ݁ ఈ + 1 = 0 soit ሺ1 − ߙሻ݁ ఈ = −1 et, comme ߙ ≠ 1, ݁ ఈ = ఈିଵ. 5. Comme g décroît sur [0 ;+∞[ et que ݃ሺߙሻ = 0, on a : ݃ሺݔሻ > 0 lorsque 0 ≤ ߙ < ݔet ݃ሺݔሻ < 0 lorsque ߙ > ݔ. Partie 2 ସ௫ 1. ܣሺݔሻ = ೣ ାଵ. Donc ܣᇱ ሺݔሻ = ସሺ ೣ ାଵሻିସ௫ ೣ ሺ ೣ ାଵሻమ ସሺ௫ሻ = ሺ ೣ ାଵሻమ . A’(x) a bien le même signe que g(x). 2. On en déduit que A est croissante sur [0 ;α] et décroissante sur [α ;+∞[. Partie 3 1. L’aire de OPMQ vaut ܱܲ × ܱܳ = ݂ݔሺݔሻ = ܣሺݔሻ. L’aire est bien maximale lorsque M a pour abscisse α puisque la fonction A a son maximum en α. ସ ೣ 2. La tangente en M à la courbe C a pour coefficient directeur ݂ ᇱ ሺߙሻ. Or ݂ ᇱ ሺݔሻ = − ೣ మ. ସ ഀ ସ ݂ ᇱ ሺߙሻ = − ሺ ഀାଵሻమ = − ఈିଵ × ଵ మ భ ቀ ାଵቁ ഀషభ ସ = − ఈିଵ × ቀ Le coefficient directeur de la droite (PQ) vaut – ሺఈሻ ఈ ఈିଵ ଶ ఈ ቁ = ିସሺఈିଵሻ . ఈమ ସ = − ఈሺ ഀ ାଵሻ = − égalité des coefficients directeurs les droites sont bien parallèles. ሺ ାଵሻ ସ ఈቀ భ ାଵቁ ഀషభ = ିସሺఈିଵሻ ఈమ . Comme il y a