Options Réelles Valorisation et Gestion du Risque

Options Réelles
Valorisation
et
Gestion du Risque
Application à la valorisation d’actifs industriels
P. Hénaff
Telecom-Bretagne
14 Mai 2009
page 1
P. Hénaff
Options Réelles
1
Problématique
2
Valorisation par Différences Finies : Une Usine Électrique
3
Valorisation par Simulation : Un Réservoir de Gaz Naturel
4
Conclusion
page 2
P. Hénaff
Options Réelles
1
Problématique
Identifier le caractère optionnel d’un actif
Réaliser la valeur optionelle
2
Valorisation par Différences Finies : Une Usine Électrique
Notation
Exemple de calcul sur deux périodes
Indicateurs de risque
3
Valorisation par Simulation : Un Réservoir de Gaz Naturel
L’environnement d’un Réservoir de Gaz Naturel
Programmation Dynamique Sans Recours
Programme Stochastique avec Recours
Application aux Décision d’investissement
4
Conclusion
page 3
P. Hénaff
Options Réelles
Optionalité d’un actif
Problématique I Identifier le caractère optionnel d’un actif
V
= max(Y (θ) − X (θ) − Z (θ))
V
= max(Y − X − Ẑ , 0)
θ∈Θ
θ : règle de décision.
page 4
P. Hénaff
Options Réelles
Monétiser la valeur optionelle
Problématique I Réaliser la valeur optionelle
Chaque année, on reçoit gratuitement une option 1 an, à
l’argent, sur le CAC40 (valeur 14 EUR pour 100 EUR de
nominal) . On ne peut pas la revendre.
1. Attendre et collecter la valeur d’exercice chaque année
2. Vendre synthétiquement l’option et collecter la prime,
quelque soit la valeur d’exercice en fin d’année.
page 5
P. Hénaff
Options Réelles
Monétiser la valeur optionelle
Problématique I Réaliser la valeur optionelle
Chaque année, on reçoit gratuitement une option 1 an, à
l’argent, sur le CAC40 (valeur 14 EUR pour 100 EUR de
nominal) . On ne peut pas la revendre.
1. Attendre et collecter la valeur d’exercice chaque année
2. Vendre synthétiquement l’option et collecter la prime,
quelque soit la valeur d’exercice en fin d’année.
page 5
P. Hénaff
Options Réelles
Monétiser la valeur optionelle
Problématique I Réaliser la valeur optionelle
Chaque année, on reçoit gratuitement une option 1 an, à
l’argent, sur le CAC40 (valeur 14 EUR pour 100 EUR de
nominal) . On ne peut pas la revendre.
1. Attendre et collecter la valeur d’exercice chaque année
2. Vendre synthétiquement l’option et collecter la prime,
quelque soit la valeur d’exercice en fin d’année.
page 5
P. Hénaff
Options Réelles
Résultat des deux stratégies
Problématique I Réaliser la valeur optionelle
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P. Hénaff
Options Réelles
Formulation
Problématique I Réaliser la valeur optionelle
St Variables d’état caractérisant l’actif
Xt Information disponible en t.
qt Action mise en oeuvre en t.
ct (qt , St , Xt ) coût lié à l’action
r taux d’actualisation
V (( St , Xt ) Valeur de l’actif en t
Vt (St , Xt ) = max ct (q, St , Xt ) + e−r δt E[Vt+1 (St+1 (q), Xt+1 )|Xt ]
q∈Qt
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P. Hénaff
Options Réelles
Méthodes de résolution
Problématique I Réaliser la valeur optionelle
Difficulté majeure : Évaluer
E[Vt+1 (St+1 (q), Xt+1 )|Xt ]
Quel est la dimension de l’espace des variables Xt ?
1. 1-2 : Solution par différences finies dans un arbre
2. > 2 : Solution par méthode de Monte-Carlo
page 8
P. Hénaff
Options Réelles
Méthodes de résolution
Problématique I Réaliser la valeur optionelle
Difficulté majeure : Évaluer
E[Vt+1 (St+1 (q), Xt+1 )|Xt ]
Quel est la dimension de l’espace des variables Xt ?
1. 1-2 : Solution par différences finies dans un arbre
2. > 2 : Solution par méthode de Monte-Carlo
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P. Hénaff
Options Réelles
1
Problématique
Identifier le caractère optionnel d’un actif
Réaliser la valeur optionelle
2
Valorisation par Différences Finies : Une Usine Électrique
Notation
Exemple de calcul sur deux périodes
Indicateurs de risque
3
Valorisation par Simulation : Un Réservoir de Gaz Naturel
L’environnement d’un Réservoir de Gaz Naturel
Programmation Dynamique Sans Recours
Programme Stochastique avec Recours
Application aux Décision d’investissement
4
Conclusion
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P. Hénaff
Options Réelles
Une centrale électrique simplifiée
Valorisation par Différences Finies : Une Usine Électrique
Un input : Fuel lourd.
Un output : Électricité
un coût opératoire horaire + un coût pour démarrer la
centrale après un arrêt
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P. Hénaff
Options Réelles
Une centrale électrique simplifiée
Valorisation par Différences Finies : Une Usine Électrique I Notation
Xt Prix de l’électricité et Prix du Fuel
dXt1
Xt1
= rdt + σ 1 dWt1
dXt2
Xt2
= rdt + σ 2 dWt2
ρ = < dWt1 , dWt2 >
St État de la centrale (Arrêt=0, Marche=1)
ct Coût opératoire

if St = 0
 0
c
if St = 1 and St−1 = 1
ct =

c + f if St = 1 and St−1 = 0
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P. Hénaff
Options Réelles
Solution
Valorisation par Différences Finies : Une Usine Électrique I Notation
L’alea sur la marge est représenté dans un arbre à trois
dimensions.
Xti,j = Xt2,j − Xt1,i
1
E(Xti,j ) = e−r δt (Xti,j + Xti,j+1 + X i+1,j + Xti+1,j+1 )
4
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P. Hénaff
Options Réelles
Equation de Bellman discrétisée
Valorisation par Différences Finies : Une Usine Électrique I Notation
(
Vt (0, Xti,j )
= max
Xti,j − (c + f ) + e−r δt E[Vt+1 (1, Xt+1 )|Xti,j ]
0 + e−r δt E[Vt+1 (0, Xt+1 )|Xti,j ]
Avec :
E[Vt+1 (1, Xt+1 )|Xti,j ] =
1
i,j
i+,j
i,j+1
i+1,j+
[Vt+1 (1, Xt+1
) + Vt+1 (1, Xt+1
) + Vt+1 (1, Xt+1
) + Vt+1 (1, Xt+1
4
page 13
P. Hénaff
Options Réelles
Exemple sur deux périodes
Valorisation par Différences Finies : Une Usine Électrique I Exemple de calcul sur deux périodes
En t = 0
X 1 (Fuel)
X 2 (Électricité)
Coût
Démarrage
89
100
10
1
Avec une usine à l’arrêt, la marge nette intrinsèque est nulle.
page 14
P. Hénaff
Options Réelles
Exemple sur deux périodes
Valorisation par Différences Finies : Une Usine Électrique I Exemple de calcul sur deux périodes
En t = 1 mois, 4 valeurs équiprobables pour la marge brute Mt :
6.83
18.43
2.81
15.91
E(Mt ) = 11.0.
E(V (1))
E(V (0))
Marche
−Ct
E(max( Mt12
, 0))
.29
0 + .29
Arrêt
−Ct
E(max( Mt12
− f , 0))
0
0
Il faut démarrer l’usine à t = 0 !
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P. Hénaff
Options Réelles
Indicateurs de risque
Valorisation par Différences Finies : Une Usine Électrique I Indicateurs de risque
Variation des indicateurs de risque en fonction du caractère de
l’option de mise en marche (1 an d’exploitation, optimisation en
20 pas de temps).
M0
4
2
0
-2
-4
V0
7.92
6.62
5.43
4.41
3.54
∂V
∂X 1
∂V
∂X 2
.73
.67
.61
.52
.49
-.65
-.60
-.51
-.45
-.38
Les indicateurs de risque donne le portefeuille de réplication à
vendre pour monétiser synthétiquement l’option de mise en
marche.
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P. Hénaff
Options Réelles
1
Problématique
Identifier le caractère optionnel d’un actif
Réaliser la valeur optionelle
2
Valorisation par Différences Finies : Une Usine Électrique
Notation
Exemple de calcul sur deux périodes
Indicateurs de risque
3
Valorisation par Simulation : Un Réservoir de Gaz Naturel
L’environnement d’un Réservoir de Gaz Naturel
Programmation Dynamique Sans Recours
Programme Stochastique avec Recours
Application aux Décision d’investissement
4
Conclusion
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P. Hénaff
Options Réelles
Vitesse d’injection et d’extraction
Valorisation par Simulation : Un Réservoir de Gaz Naturel I L’environnement d’un Réservoir de Gaz Naturel
100
90
80
70
Speed
60
In
Out
50
40
30
20
10
0
0%
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P. Hénaff
10%
20%
30%
40%
50%
60%
Storage Level
70%
80%
90%
100%
Options Réelles
Prix et Volatilité
Valorisation par Simulation : Un Réservoir de Gaz Naturel I L’environnement d’un Réservoir de Gaz Naturel
Price & Volatility NG NYMEX
9.5
90%
Price
Vol
80%
70%
8
60%
7.5
50%
7
40%
6.5
30%
6
20%
5.5
Sep-07
Volatility
Price
9
8.5
10%
Mar-08
Sep-08
Mar-09
Sep-09
Mar-10
Sep-10
Mar-11
Sep-11
Mar-12
Sep-12
Futures Expiry
page 19
P. Hénaff
Options Réelles
Acheter au plus bas, vendre au plus haut
Valorisation par Simulation : Un Réservoir de Gaz Naturel I Programmation Dynamique Sans Recours
Forward Price NG NYMEX
9.5
9
8.5
Price
8
7.5
7
6.5
6
5.5
Sep-07
Mar-08
Sep-08
Mar-09
Sep-09
Mar-10
Sep-10
Mar-11
Sep-11
Mar-12
Sep-12
Futures Expiry
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P. Hénaff
Options Réelles
Notation
Valorisation par Simulation : Un Réservoir de Gaz Naturel I Programmation Dynamique Sans Recours
Fi Prix à terme durant [Ti , Ti+1 [.
ri Flux injecté ou extrait durant [Ti , Ti+1 [.
Wi (q) Valeur de l’actif au temps Ti , avec une quantité q
en stock.
ri+ (q), ri− (q) Flux maximum et minimum dans [Ti , Ti+1 [,
fonction du niveau q de stock.
page 21
P. Hénaff
Options Réelles
Programmation Dynamique sans Recours
Valorisation par Simulation : Un Réservoir de Gaz Naturel I Programmation Dynamique Sans Recours
Maximiser la valeur actuelle d’une séquence déterministe de
flux : valeur intrinsèque de l’actif.
max
ri
N
X
−ri Fi e−τ Ti
i=0
Équation de Bellman pour Wi (q) :
Wi (q) =
page 22
max
ri+ (q)≤ri ≤ri− (q)
P. Hénaff
−ri Fi + e−τ ∆t Wi+1 (q + ri )
Options Réelles
Solution...
Valorisation par Simulation : Un Réservoir de Gaz Naturel I Programmation Dynamique Sans Recours
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P. Hénaff
Options Réelles
page 24
P. Hénaff
11/26/12
9/26/12
7/26/12
5/26/12
3/26/12
1/26/12
11/26/11
9/26/11
7/26/11
5/26/11
3/26/11
1/26/11
11/26/10
9/26/10
7/26/10
5/26/10
3/26/10
1/26/10
11/26/09
9/26/09
7/26/09
5/26/09
6
3/26/09
Price
11
1/26/09
11/26/08
9/26/08
7/26/08
5/26/08
3/26/08
1/26/08
11/26/07
9/26/07
Valorisation par Simulation : Un Réservoir de Gaz Naturel I Programmation Dynamique Sans Recours
Pourquoi est-ce sous-optimal ?
14
13
12
Inject
10
9
8
7
5
Withdraw
4
Expiry
Options Réelles
Programme Stochastique avec Recours
Valorisation par Simulation : Un Réservoir de Gaz Naturel I Programme Stochastique avec Recours
Soit Xi l’information connue en Ti .
E[Wi (q) | Xi ] =
e
−τ ∆t
max
ri+ (q)≤ri ≤ri− (q)
−ri Fi +
Z
E[Wi+1 (q + ri ) | Xi+1 ]P(Xi+1 | Xi )
Xi+1
Valeur aujourd’hui, avec un stock de gaz q0 : W0 (q0 ).
Mais :
P(Xi+1 | Xi ) =???
page 25
P. Hénaff
Options Réelles
Calcul de E[Wi (q) | Xi ]
Valorisation par Simulation : Un Réservoir de Gaz Naturel I Programme Stochastique avec Recours
Supposons E[Wi+1 (q) | Xi+1 ] connu (vrai au dernier pas de
temps).
Soit Xji , j = 1, . . . , m un ensemble de scénarios. Pour chaque
chemin j, on peut résoudre le problème déterministe :
E(Wij (q) | Xji ) =
max
ri+ (q)≤ri ≤ri− (q)
−ri Fi + e−τ ∆t E[Wi+1 (q + ri ) | Xji+1 ]
E(Wij (q) | Xji ) = g(Xji )
Résultat fondamental :
E[Wi (q) | Xi ] =
X
al,i φl (Xi )
l
Où φl () est une base de fonctions.
page 26
P. Hénaff
Options Réelles
Calcul de E[Wi (q) | Xi ]...
Valorisation par Simulation : Un Réservoir de Gaz Naturel I Programme Stochastique avec Recours
En utilisant les valeurs Wij (q), on estime al,q par régression
pour chaque valeur de q :
L
M X
X
(
al,q φl (Xji ) − Wij (q))2
min
j=1 l=0
Finalement,
E[Wi (q) | Xi ] =
L
X
al,q φl (Xi )
l=0
page 27
P. Hénaff
Options Réelles
Algorithme
Valorisation par Simulation : Un Réservoir de Gaz Naturel I Programme Stochastique avec Recours
foreach qk , k = 1, . . . , m do
Calculer WTn (q), connu de manière certaine.
end
foreach [Ti , Ti+1 [, i = n − 1, . . . , 0 do
foreach qk , k = 1, . . . , m do
foreach chemin j do
Résoudre pour r
Wij (q) =
max
ri+ (q)≤ri ≤ri− (q)
−ri Fi +e−τ ∆t E[Wi+1 (q+ri ) | Xji+1 ])
end
Estimer al par moindres
carrés;
PL
E[Wi (q) | Xi ] = l=0 al,q φl (Xi );
end
pageend
28
P. Hénaff
Options Réelles
Illustration
Valorisation par Simulation : Un Réservoir de Gaz Naturel I Programme Stochastique avec Recours
page 29
P. Hénaff
Options Réelles
Règle de Décision
Valorisation par Simulation : Un Réservoir de Gaz Naturel I Programme Stochastique avec Recours
page 30
P. Hénaff
Options Réelles
Détail des calculs
Valorisation par Simulation : Un Réservoir de Gaz Naturel I Programme Stochastique avec Recours
1000 scénarios,
Stock qk discrétisé en 100 niveaux,
Recours quotidien à l’horizon plusieurs années.
page 31
P. Hénaff
Options Réelles
Décision d’investissement
Valorisation par Simulation : Un Réservoir de Gaz Naturel I Application aux Décision d’investissement
La valeur d’un réservoir est fonction de la vitesse d’injection et
d’extraction.
100
90
80
70
Speed
60
In
Out
50
40
30
20
10
0
0%
page 32
P. Hénaff
10%
20%
30%
40%
50%
Storage Level
60%
70%
80%
90%
100%
Options Réelles
Décision d’investissement
Valorisation par Simulation : Un Réservoir de Gaz Naturel I Application aux Décision d’investissement
Valeur de l’actif en fonction de la vitesse d’injection et
d’extraction.
Value for various flow speed
1.5
20 days in, 10 days out
1.4
1.3
$ / 1.2
m
mb
tu
1.1
1
0.9
70 days in, 35 days out
0.8
page 33
0
P. Hénaff
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
% Full
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Options Réelles
Conclusion
Conclusion
Les réservoirs de matières premières sont aussi des
réservoirs d’options !
La même analyse s’applique aux tankers, pipelines,
barrages hydro-électriques, etc.
Cette approche permet non seulement de valoriser l’actif,
mais aussi de calculer une règle de gestion permettant de
monétiser la valeur optionelle de l’actif.
La méthode de Monte-Carlo est notre outil préféré, bien
que le temps de calcul et la stabilité numérique restent des
sujets de recherche.
page 34
P. Hénaff
Options Réelles
Conclusion
Conclusion
Les réservoirs de matières premières sont aussi des
réservoirs d’options !
La même analyse s’applique aux tankers, pipelines,
barrages hydro-électriques, etc.
Cette approche permet non seulement de valoriser l’actif,
mais aussi de calculer une règle de gestion permettant de
monétiser la valeur optionelle de l’actif.
La méthode de Monte-Carlo est notre outil préféré, bien
que le temps de calcul et la stabilité numérique restent des
sujets de recherche.
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P. Hénaff
Options Réelles
Conclusion
Conclusion
Les réservoirs de matières premières sont aussi des
réservoirs d’options !
La même analyse s’applique aux tankers, pipelines,
barrages hydro-électriques, etc.
Cette approche permet non seulement de valoriser l’actif,
mais aussi de calculer une règle de gestion permettant de
monétiser la valeur optionelle de l’actif.
La méthode de Monte-Carlo est notre outil préféré, bien
que le temps de calcul et la stabilité numérique restent des
sujets de recherche.
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P. Hénaff
Options Réelles
Conclusion
Conclusion
Les réservoirs de matières premières sont aussi des
réservoirs d’options !
La même analyse s’applique aux tankers, pipelines,
barrages hydro-électriques, etc.
Cette approche permet non seulement de valoriser l’actif,
mais aussi de calculer une règle de gestion permettant de
monétiser la valeur optionelle de l’actif.
La méthode de Monte-Carlo est notre outil préféré, bien
que le temps de calcul et la stabilité numérique restent des
sujets de recherche.
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P. Hénaff
Options Réelles