LE PROBL`EME DE PARTITION: RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE

LE PROBLÈME DE PARTITION: RÉSOLUTION PAR LA
MÉTHODE DES PLANS-COUPANTS.
MOURAD BAIOU ET VINCENT LIMOUZY
1. Le problème considéré
Soient un ensemble E = {e1 , . . . , en } et p un entier. Une partition P de E est
une collection de sous-ensembles Ei de E deux-à-deux disjoints et ∪ni=1 Ei = E. Si
le nombre de ces sous-ensembles est p on dit que la partition P est de taille p et on
la note par Pp . Associons à chaque partition de taille p une fonction réelle f (Pp ).
Le but est de trouver une partition Pp∗ de E tel que f (Pp∗ ) soit minimum.
2. Applications
Une application de ce problème est le découpage des départements Français
en circonscriptions [1]. Dans ce problème l’ensemble E représente les cantons du
département en question, et un ensemble Ei d’une partition donnée représente
une circonscription. La fonction f associée à une partition (découpage) mesure par
exemple l’écart entre la circonscrption ayant le plus grand nombre d’habitants et
celle ayant le plus petite nombre.
3. Objectifs du stage
Le but de ce projet est de modéliser le problème par un programme linéaire
en nombres entiers. Résoudre la relaxation linéaire par le logiciel Cplex, et appliquer une méthode d’arrondie des solutions fractionnaires afin d’obtenir des solutions
réalisables. Pour tester l’efficacité de cette démarche, nous appliquerons l’algorithme
au problème du découpage de certains départements et comparerons les découpages
actuels et ceux donnés par notre algorithme.
Le stage aura lieu au Limos Clermont-Ferrand
Contact : {baiou,limouzy}@isima.fr
Références
1. Mourad Baiou and Michel Balinski, Découpage électoral, Pour la Science 294 (2002).
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