Méthodes de décomposition et coordination pour l

Méthodes de décomposition et coordination
pour l’optimisation avec mesure de risque
Henri Gérard - Michel De Lara - Jean-Christophe Pesquet
École des Ponts ParisTech – Labex Bézout
Malédiction de la dimension
Exemple de problème d’optimisation stochastique
Les solutions d’un problème d’optimisation stochastique multi-agents et/ou multi-étapes
tel que (1) sont naturellement indicées par
• le temps discret : t ∈ {0, ..., T }
On écrit le problème avec deux agents
min Ω EP j(Ua, Ub, W )
| {z } |{z}
Ua∈UΩa ,U ∈Ub
b
contrôles
(1a)
aléa
• les scénarios discrets : ω ∈ Ω fini
avec les contraintes suivantes
Ua Ga , Ua mesurable par rapport à la tribu Ga
s.c.
Ub Gb , Ub mesurable par rapport à la tribu Gb
• les agents discrets : a ∈ A
(1b)
Dès que le nombre de pas de temps, de scénarios et/ou d’agents est élevé,
le problème devient presque impossible
as de temps,
Le cas particulier
d’une filtration
où Ga ⊂ G peut s
’interpréter
b
comme une révéla
tion d’information
au cours du temps
10 p
t
n
a
n
re
p
n
E
.
1
le
p
m
e
Ex
s
p
m
te
e
d
s
a
p
e
u
q
a
ch
à
s
3 aléas possible
s
le
b
a
ri
a
v
0
0
0
0
0
3
≈
t
n
e
et 5 agents, on obti
Nous présentons deux méthodes de décomposition
lorsque la mesure de risque n’est plus additive
Objectifs d’une méthode de décomposition :
• Découper le problème initial en sous-problèmes d’optimisation abordables numériquement
– Dans le cas multi-agents, on parle de décentralisation
– Dans le cas multi-étapes, on parle de décomposition temporelle
• Permettre la résolution en parallèle de ces sous problèmes
Dans le cadre risque neutre, on utilise l’espérance qui est un opérateur linéaire se prêtant bien à la décomposition additive [1].
Nous développons deux méthodes de résolution lorsque l’espérance est remplacée par une mesure de risque F [3] comme suit :
mesure de risque
min
Ua Ga, Ub Gb
|
{z
}
z}|{
F
aléa
}|ôles{ z}|{
zcontr
j (Ua, Ub, W )
|{z}
(2)
critère
contraintes de mesurabilité
Décomposition temporelle
et formulation imbriquée [2]
On se place dans le cadre particulier où Ga ⊂ Gb.
Une mesure de risque dynamique (F, Fa, Fb) a la propriété de cohérence temporelle si
h i
, ∀U ∈ UΩ
F[U ] = F Fa[U ] = F Fa Fb[U ]
| {z }
| {z }
Ga−mesurable
Gb−mesurable
Théorème 1. S’il existe une mesure de risque dynamique
(F, Fa, Fb) et sous des hypothèses techniques, le problème (2) est
équivalent à
h
i
F min Fa min Fb j(ua, ub, W )
ua∈Ua
ub∈Ub
Schéma de l’algorithme
• À ua fixé, on résout le problème
de minimisation en ub
• On résout les différents problèmes en ua
en parallèle
Décomposition par dualisation
des contraintes de mesurabilité
On étudie le problème (2) en écrivant d’une façon particulière les contraintes de mesurabilités :
min Ω F j(Ua, Ub, W )
(3a)
Ua∈UΩa ,Ub∈Ub
EP[Ua | Ga] = Ua
s.t.
EP[Ub | Gb] = Ub
Théorème 2. Si la mesure de risque s’écrit sous la forme
(3b)
F[U ] = max EQ[U ]
Q∈QF
et sous des hypothèses techniques, on peut décomposer le problème (3) scénario par scénario
h
dQ
max
max EP
min j(ua, ub, W )
n
n
Ω
Ω
ua∈Ua,ub∈Ub
dP
πa∈(R a ) ,πb∈(R b ) Q∈QF
+ EP[πa | Ga] − πa ua
Schéma de l’algorithme
i
• À (πa , πa ) fixé, on résout le problè
+ EP[πb | Gb] − πb ub
me de minim
isation en (ua, ub)
• On résout les différents problèmes
ω par ω en parallèle
et on met à jour les multiplicateurs
(πa , πa )
Application au pilotage
de systèmes énergétiques décentralisés
• Les nouveaux systèmes énergétiques utilisent de plus en plus d’énergies renouvelables
intermittentes (vent, soleil)
• Cette stochasticité augmente le risque de déséquilibre entre offre et demande
• L’explosion du nombre de petits producteurs rend le réseau plus difficile à gérer
de manière centralisée
References
[1] Kengy Barty, Pierre Carpentier, and Pierre Girardeau. Decomposition of large-scale
stochastic optimal control problems. RAIRO-Operations Research, 44(03):167–183,
2010.
[2] Michel De Lara and Vincent Leclère. Building up time-consistency for risk measures
and dynamic optimization. European Journal of Operational Research, 249(1):177–
187, 2016.
[3] Hans Föllmer and Alexander Schied. Stochastic finance: an introduction in discrete
LATEX Tik Zposter
time. Walter de Gruyter, 2011.