Examen 2007-2008

Recherche opérationnelle et applications
Master en sciences informatiques - Charleroi
Session de juin 2008
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Indiquez vos noms et prénoms sur chaque feuille.
Commencez chaque question sur une nouvelle feuille.
L’examen est à notes ouvertes.
Durée de l’examen : 3 heures.
Bon travail !
Bernard Fortz
Question 1
Une société fabrique deux types de jouets en bois : des soldats et des trains. Un soldat est vendu
28 EUR et utilise 8 EUR de matières premières. Chaque soldat coûte 12 EUR en main d’oeuvre. Un
train est vendu 20 EUR et utilise 6 EUR de matières premières. Chaque train coûte 10 EUR en main
d’oeuvre. Un soldat demande une heure de travail de menuiserie et deux heures de finition, tandis qu’un
train demande une heure de menuiserie et une heure de finition. Le travail par semaine est limité à 80
heures de menuiserie et 100 heures de finition. La demande pour les trains est illimitée, mais au plus 40
soldats sont achetés chaque semaine.
1. Formuler le problème de la détermination du plan de production optimal comme un programme
linéaire.
2. Résoudre ce programme linéaire (par la méthode graphique ou le simplexe, au choix).
3. Ecrire le dual de ce problème.
4. Déduire la valeur optimale des variables duales de la solution du primal (en utilisant les règles de
complémentarité). Interpréter la valeur de ces variables.
Question 2
Appliquez la méthode de branch-and-bound pour montrer que les deux programmes linéaires en
nombres entiers suivants n’admettent pas de solution admissible. Résolvez les différents programmes
linéaires rencontrés de manière graphique (gardez les contraintes x1 ≤ 1 et x2 ≤ 1 dans la relaxation).
(a)
(b)
min
s.c.
10x1 + 15x2
x1 + x2
−2x1 + 2x2
x1 , x2
min
s.c.
2x1 + x2
x1 + 4x2 ≤ 2
−4x1 + 4x2 ≥ 1
x1 ≥ 0, x2 ∈ {0, 1}
1
≥2
≥1
∈ {0, 1}
Question 3
SuperDodo fabrique des matelas qui peuvent être envoyés directement d’une de ses deux usines
aux magasins, ou bien transiter par l’entrepôt de la compagnie. La table qui suit présente les coûts de
transport d’un matelas à partir des usines ou de l’entrepôt vers les deux magasins, ainsi que les demandes
finales et les capacités des usines. L’envoi d’un matelas à l’entrepôt coûte 15 EUR.
Usine 1
Usine 2
Entrepôt
Demande
Frais de transport (EUR)
Magasin 1
Magasin 2
25
30
45
23
11
31
160
700
Capacité
400
600
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SuperDodo cherche à acheminer la demande vers les clients à coût minimal.
1. Représentez le problème par un graphe. Indiquez quels sont les noeuds d’offre, de demande et de
transit.
2. Ramenez le problème à un problème de transport, et présentez-le sous forme de tableau.
3. Résolvez le problème en trouvant une première solution de base par la méthode du Nord Ouest.
Question 4
1. Définissez ce qu’est une variable d’écart d’une inégalité dans un programme linéaire.
2. Enoncez le théorème de dualité forte en programmation linéaire.
3. (a) Enoncez le problème d’affectation (en français) et formulez le problème d’affectation comme
un problème en nombre entiers.
(b) Enoncez le problème de transport (en français) et formulez le problème de transport comme
un problème en nombre entiers.
(c) Quel est le lien entre les deux problèmes ?
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