Dev commun-Maths 3° (Bareme+correction)

NOM et prénom du candidat :
IDENTIFIANT du candidat :
Épreuve de MATHÉMATIQUES niveau 3°
SESSION 2015-2016
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DURÉE DE L'ÉPREUVE : 2h00
______________
Le candidat répondra directement sur ce sujet.
Les calculs, les démarches et les justifications apparaîtront sur la copie
lorsque cela est demandé.
La clarté et la rigueur des formulations seront prises en compte.
Le candidat peut faire les exercices dans l'ordre qu'il désire.
L'utilisation de la calculatrice est autorisée.
Il sera noté sur 40 suivant le barème ci-dessous :
Exercice n°1
3 pts
Exercice n°2
2 pts
Exercice n°3
6 pts
Exercice n°4
5 pts
Exercice n°5
4 pts
Exercice n°6
3 pts
Exercice n°7
5 pts
Exercice n°8
5 pts
Exercice n°9
4 pts
Clarté, rigueur
3 pts
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Exercice 1 (3 points)
Lors d’une étape cycliste, les distances parcourues par un cycliste ont été relevées chaque heure après le départ.
Ces données sont précisées dans le graphique ci-dessous :
Par lecture graphique, réponds aux questions suivantes : (Aucune justification n’est demandée.)
1/ a. Quelle est la distance totale de cette étape ? 190 km 0,5
b. En combien de temps le cycliste a-t-il parcouru les cent premiers kilomètres ? 2h30 min
0,5
c. Quelle est la distance parcourue lors de la dernière demi-heure de course ?
190Km – 170 km = 20 km
1
2/ Y-a-t-il proportionnalité entre la distance parcourue et la durée de parcours de cette étape ?
Justifie ta réponse.
Non, car la courbe représentative n'est pas une droite !
1
Ou
L’élève utilise des valeurs du graphique et montre qu'elles ne sont proportionnelles
Exercice 2 (2 points)
a. Quel est le nombre caché par la tache sur cette étiquette ? (Justifie ta réponse)
80 × x = 60
0,5 pour une justifcation
x = 60/80 = 6/8 = 3/4 = 75 %
60 € représente 75 % de 80 € donc le prix a baissé de 25 % (100 %-75 % =25%)
Précisions :
0,5 pour réponse meme sans justfication
L’élève peut aussi s'aider par des schémas, toute démarche même non calculatoire
qui justifieras le bon résultat sera compté juste !!!
b. Avec les mêmes soldes, quel aurait été le nouveau prix d’un article
dont l’ancien prix était de 240 € ? (Fais apparaître tes calculs)
240 × (1– 25%) = 240 × 75/100 = 180 €
L’article coûtera 180 €
Précisions :
0,5 pour une justifcation
0,5 pour réponse meme sans justfication
L’élève peut ici s'aider du a. 80 × 3 = 240 donc 60 × 3 = 180
de même il peut procéder par schéma, en utilisant le fait que 25 % représente 1/4 du prix….
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Exercice 3 (6 points)
Pour cet exercice, même si le travail n’est pas terminé, ni abouti, laissez tout de même une trace de vos
recherches. Elle sera prise en compte dans la notation.
Des élèves participent à une course à pied.
Avant l’épreuve, un plan leur a été remis.
Il est représenté par la figure ci-contre.
On convient que les droites (AE) et (BD) se coupent en C ;
les droites (AB) et (DE) sont parallèles ; ABC est un triangle rectangle en A.
Calcule alors ci-dessous la longueur réelle du parcours ABCDE :
1 pt pour toute tentative de recherche même si elle n'aboutit pas, même si elle est fausse
Calculons tout d'abord la longueur BC :
Comme le triangle ABC est rectangle en A
D'après la propriété de Pythagore
BC² = AB² + AC²
BC² = 400² + 300² = 2500
BC = √ 2500 = 500 m
1,5 pts pour recherche de BC :
0,5 pour égalité de Pythagore correcte
0,5 pour BC² juste
0,5 pour BC
Calculons maintenant CD et DE :
Comme les droites (AB) et (AE) sont sécantes en C et que les droites (AB) et (DE) sont parallèles
D'après la propriété de Thalès
2,5 pts pour recherche de CD et DE
CB CA BA
en utilisant Thales :
=
=
on peut affirmer que
CD CE DE
0,5 pour citer les parallèles
500 400 300
0,5 pour l’égalité des 3 rapports
=
=
on remplace par les données :
CD 1000 DE
500×1000
400
CD = 1250 m
CD =
1000×300
400
DE = 750 m
DE =
0,5 pour les produits en croix correctes
0,5 pour DE , 0,5 pour CD
La longueur du parcours est formée par la somme des longueurs : AB + BC + CD + DE
300 + 500 + 1250 + 750 = 2800 m
0,5 pour la somme des « bonnes » longueurs du parcours
La longueur du parcours est donc de 2800 m.
0,5 réponse finale correcte avec unité
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Exercice 4 (5 points)
Les informations suivantes concernent les salaires des hommes et des femmes d’une même entreprise :
Salaires des femmes :
1 200 €; 1 230 € ; 1 250 €; 1 310 €: 1 376 €; 1 400 €; 1 440 €; 1 500 €; 1 700 €; 2 100 €
Salaires des hommes :
Effectif total : 20
Moyenne : 1 769 €
Étendue : 2 400 €
Médiane : 2 000 €
Les salaires des hommes sont tous différents.
1/ Quel est le pourcentage de femmes gagnant moins de 1 300 € ?
Il y a 3 femmes qui gagnent moins de 1300€ sur 10 en tout dans cette entreprise :
3
P=
× 100 = 30
Il y a donc 30 % des femmes qui gagnent moins de 1 300€
10
0,5 calcul
0,5 pour phrase conclusion
2/ Compare le salaire moyen des hommes et celui des femmes :
Moy femmes = (1200+1230+....+2100) ÷ 10 = 1450,60 €
Moy Hommes = 1769 €
0,5 calcul
Comme 1450 €< 1769 €, on peut affirmer que le salaire moyen des femmes est inférieur à celui des hommes.
0,5 pour phrase conclusion contenant la comparaison demandée
3/ Donne une valeur médiane des salaires des femmes :
1 200 €; 1 230 € ; 1 250 €; 1 310 €: 1 376 €
1 400 €; 1 440 €; 1 500 €; 1 700 €; 2 100 €
Une valeur médiane est une valeur qui sépare la série en deux sous groupe de même effectif
Donc toute valeur M tel que 1 376 < M < 1 400 est une bonne solution. ( borne stricte !) 1
4/ Le plus bas salaire de l’entreprise est de 1 000 €. Quel salaire est le plus élevé ? Justifie ta réponse !
On sait que l'étendue chez les hommes est de 2 400 € ( plus haut salaire – plus bas salaire)
On en conclut que le plus grand salaire chez les hommes est de 3400€ (2400 + 1000)
0,5 pt pour explication ou calcul montrant la compréhension de la notion d'etendue
Le plus grand salaire chez les femmes n'est que de 2 100€
0,5 pour affirmer qu'il ne peut être chez les femmes résultat correct
Le plus grand salaire dans cette entreprise ( hommes et femmes confondues ) est donc de 3 400€
0,5 pour affirmer qu'il ne peut être chez les femmes résultat correct
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Exercice 5 (4 points)
Cet exercice est un questionnaire à
choix multiple (QCM).
Pour chaque ligne du tableau,
trois réponses sont proposés, mais une
seule est exacte.
Toute réponse exacte vaut 1 pt.
Toute absence de réponse ou une
réponse fausse vaut 0 pt.
Pour chacune des questions, entoure
proprement la bonne réponse.
Exercice 6 (3 points)
Djamel et Sarah ont un jeu de société : pour y jouer, il faut tirer au hasard des jetons dans un sac. Tous les jetons
ont la même probabilité d’être tirés. Sur chaque jeton un nombre entier est inscrit. Djamel et Sarah ont commencé
une partie. Il reste dans le sac les huit jetons suivants :
5
1/ C’est à Sarah de jouer.
a. Quelle est la probabilité qu’elle tire un jeton « 18 » ?
2
1
ou
ou 25 %
1
8
4
b. Quelle est la probabilité qu’elle tire un jeton multiple de 5 ?
3
1
8
9
18
26
20
14
18
5
2/ Finalement, Sarah a tiré le jeton « 26 » qu’elle garde. C’est au tour de Djamel de jouer.
La probabilité qu’il tire un jeton multiple de 5 est-elle la même que celle trouvée à la question 1/ b. ?
Justifie ta réponse.
Non car après que Djamel ait joué :
0,5 pour : non
3
3
3
P( tirer un multiple de 5) =
( il y a une boule en moins !!! ) et
≠
7
7
8
0,5 pour justification
Exercice 7 (5 points)
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On a utilisé un tableur pour calculer les images de différentes valeurs de x par une fonction affine f et par une
autre fonction g.
Une copie de l’écran obtenu est donnée ci-dessous.
1/ Quelle est l’image de ( – 1) par f ?
12 (lecture graphique)
0,5
2/ Donne l’expression algébrique de la fonction affine f :
f(x) = – 5x + 7 (lecture graphique de la formule tableau)
1
3/ Calcule f (7) :
f(7) = – 5×7 + 7 = – 28
0,5 pt pour le bon résultat avec ou sans calcul
Rque : L’élève peut aussi trouver en repérant l'accroissement constant (– 5) entre deux valeurs entières du tableau
(le propre d'une fonction affine)
1→2
2 → –3
3 → –8 et continue à retirer 5, 4 fois de suite : -13 ;-18 ;-23 ;-28 !
4/ Déterminer un antécédent de 14,5 par la fonction f
On cherche x tel que f(x) = 14,5 c.a.d. –5x + 7 = 14,5 (équation à résoudre)
14,5 – 7
x=
−5
x = –1,5
l'antécédent de 14,5 par f est –1,5
1 pt pour le bon résultat avec ou sans calcul
Rque : L’élève peut aussi trouver en repérant que 14,5 est la valeur milieu de 17 et 12 et prendre donc la valeur
milieu entre –1 et –2 c.a.d – 1,5 à l'aide du tableau
5/ On sait que g (x) = x² + 4.
a. Calcule g (-5) :
g(-5) = (–5)² + 4 = 29 0,5 pt pour réponse juste
0,5 pour parenthèses autour du -5
b. Une formule a été saisie dans la cellule B3 et recopiée ensuite vers la droite pour compléter la plage de
cellules C3: H3.
Quelle est cette formule ?
= B1² + 4 ou = B1² + 4 ou = B1*B1 + 4
1 pt pour la bonne formule ;
Ne mettre que 0,5 pt si absence du signe égal en début de formule
Exercice 8 (5 points)
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Ragitha envisage de
peindre la façade
de son hangar.
Voici les informations
qu'elle a recueillies :
1/ Quel est le montant
minimum à prévoir
pour l’achat
des pots de peinture ?
La façade est constituée d’un rectangle et d’un triangle.
L’aire du rectangle est AR = 6×7,5 = 45 m2 0,5 pt pour calcul aire triangle (meme si faux)
L’aire du triangle est
AT =
3×7,5
= 11,25 m2
2
0,5 pt pour calcul aire triangle ( meme si faux)
L’aire de la façade est donc A = 45 + 11,25 = 56,25 m 2
Or 56,25÷24 ≈ 2,3.
0,5 pt pour calcul aire totale (meme si faux
Il faudra donc acheter au moins 3 pots.
0,5 pt pour calcul nombre pots (même si faux)
Le minimum à prévoir pour l’achat des pots de peinture est donc de : 3×103,45= 310,35 €
1 pt pour montant total juste
2/ Rahitha achète la peinture et tout le matériel dont elle a besoin pour ses travaux.
Le montant total de la facture est de 343,50€. Le magasin lui propose de régler deux-cinquièmes de la facture
aujourd’hui et le reste en trois mensualités identiques. Quel sera le montant de chaque mensualité ?
2
× 343,50 = 137,40 Agnès doit régler déjà 137,40 € 0,5 pt pour calcul 2/5 du montant (meme si faux)
5
343,50 – 137,40 = 206,10
0,5 pt pour calcul du reste (même si faux)
206,10÷3 = 68,70 Chaque mensualité s’élèvera donc à 68,70€
1 pt pour mensualité juste
Exercice 9 (4 points)
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Azmat et Cassie ont acheté pour leur mariage 3003 dragées au chocolat et 3731 dragées aux amandes
1/ Azmat propose de répartir ces dragées de façon identique dans 20 corbeilles.
Chaque corbeille doit avoir la même composition. Combien lui reste-t-il de dragées au chocolat et aux amendes
non utilisées?
Il faut effectuer la division euclidienne ( posée ou à la calculatrice)
3003=20×1503
0,5 pt pour montrer en ligne ou poser les deux divisions euclidiennes
3731=20×18611
Interprétation : chacune des 20 corbeilles contiendra 150 dragées au chocolat et 186 dragées aux amandes.
Il restera 3+11=14 dragées non utilisées.
1 pt pour resultat final prouvant la bonne interprétation du reste
2/ Karthipan, un ami de Azmat et Cassie leur propose de faire de petites boites dont la composition est identique.
Il souhaite qu’il ne reste pas de dragées.
Ils se mettent d’accord pour faire un maximum de boites. Combien en feront-ils et quelle sera leur composition ?
Il faut avoir recours au PGCD ( soit a la calculatrice directement ou en posant l'algo d'euclide)
Comme la composition des ballotins sera identique et qu'il ne doit pas rester de dragées , le nombre de ballotins
doit être un diviseur des nombres 3003 et 3731.
Comme ce nombre de ballotin sera maximal , on doit donc chercher le PGCD des nombres 3003 et 3731
0,5 pt pour dire, expliquer pourquoi on utilise le PGCD
PGCD (3003,3731) = 91
0,5 pt pour avoir cherché PGCD
Ils pourront donc réaliser 91 ballotins
3003÷91 = 33
3731÷91 = 41
0,5 pt pour phrase réponse
0,5 pt pour calcul nombres de dragées et amandes
Dans chaque ballotin , il y aura 33 dragées au chocolat et 41 dragées aux amandes
0,5 pt pour phrase réponse
PENSEZ à évaluer la clarté des formulations (syntaxe-ortographe, présence d'unités) ,
la clarté, la rigueur des formulations et présentations des calculs,
le soin apporté à la clarté et l’enchaînement des raisonnements !
De 0 à 3 pts
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