Dynamique du point matériel

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CHAPITRE 2 : DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL
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CHAPITRE 2 : DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL
I.
INTRODUCTION
Nous avons appris, au cours du premier chapitre, à étudier un mouvement donné. Nous nous
intéresserons dans ce deuxième chapitre à la dynamique du point matériel, i.e. nous verrons
comment prévoir le mouvement d’un point matériel à partir des lois de la mécanique et des
conditions initiales spécifiques au problème considéré.
II.
POSTULATS DE LA DYNAMIQUE NEWTONIENNE
1) Notion de force
Les lois de la dynamique postulées par Newton reposent sur le concept de force. Une force est une
action exercée par « quelque chose » sur le point matériel étudié. Elle est appliquée sur le point
matériel et peut se représenter sous forme vectorielle, sa norme s’exprime dans le système
international d’unités en Newton (N).
Le postulat d’additivité des forces indique que, si plusieurs forces s’exercent sur un point matériel,
leurs actions simultanée est équivalente à l’action d’une seule force, la résultante des forces, égale à
la somme vectorielle des forces exercées.
2) Lois de Newton de la mécanique
Dans ses « Principes Mathématiques de la Philosophie Naturelle », publiés en 1687, Isaac Newton
fonde sa mécanique sur trois lois :
a. Première loi de Newton : Principe d’inertie
Il existe une classe de référentiels dits galiléens, dans lesquels tout corps en mouvement rectiligne
uniforme persiste dans cet état si la résultante des forces exercée sur lui est nulle.
Nous nous bornerons en ce début d’année à accepter l’existence des référentiels galiléens. Tous les
référentiels que nous utiliserons dans ce chapitre, en particulier le référentiel terrestre, pourront être
considérés comme galiléens. La recherche de référentiels galiléens et la dynamique dans les
référentiels qui ne le sont pas seront abordées dans la deuxième partie de l’année.
b. Deuxième loi de Newton : Loi fondamentale de la dynamique
Dans tout référentiel galiléen, l’accélération d’un point matériel est proportionnelle à la résultante
des forces appliquées :
1
a= F
m
où a est l’accélération du point matériel, m est sa masse inerte (exprimée en kilogrammes, kg) et F
est la résultante des forces appliquées sur le point matériel.
Plusieurs remarques s’imposent :
• On constate l’équivalence entre unités : 1 N ≡ 1 kg.m.s-2
• La loi fondamentale de la dynamique permet de relier l’accélération d’un point matériel, et
donc sa déviation du mouvement rectiligne uniforme, à la cause de cette modification qui est
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•
•
CHAPITRE 2 : DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL
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la résultante des forces appliquées. C’est pour cette raison que la forme donnée ici est
préférable à la forme souvent enseignée au lycée F = ma , qui prend le problème à l’envers.
Le coefficient de proportionnalité est l’inverse de la masse inerte du point matériel. Plus
cette masse est élevée, et moins la norme de l’accélération engendrée par la force sera
importante. La masse inerte caractérise donc la résistance à l’accélération du point matériel.
La loi fondamentale de la dynamique n’est d’aucune utilité si nous ne savons pas calculer la
résultante des forces.
c. Troisième loi de Newton : Loi des actions réciproques
Les forces d’interaction réciproques qui s’exercent entre deux points matériels sont opposées.
L’adjonction de cette troisième loi est nécessaire à l’étude des systèmes mécaniques, elle n’est
cependant valable à l’échelle microscopique que pour les interactions gravitationnelle et
électrostatique (elle est mise en défaut par exemple pour l’interaction entre deux particules chargées
en mouvement 1).
3) Lois de Force
a. Interaction gravitationnelle
Une autre contribution de Newton à la physique est la loi décrivant l’interaction gravitationnelle :
La force gravitationnelle exercée par un corps 1 sur un corps 2, à répartitions sphériques de masses
gravitationnelles s’écrit sous forme vectorielle :
r −r
F1→2 = Gm1*m2* 1 2 3
r1 − r2
où G = 6, 67.10−11 m3 .kg -1.s -2 est la constante universelle de gravitation, ri et mi* sont le vecteur
position et la masse gravitationnelle du corps i (exprimée en kg). L’interaction gravitationnelle est
toujours attractive. Notons que cette expression est a fortiori valable pour deux points matériels et
qu’elle respecte bien la loi des actions réciproques.
r2
O
r1
F1→2
m1*
m2*
F2→1
Figure 2.1. : Interaction gravitationnelle
La masse gravitationnelle est une caractéristique intrinsèque d’un corps qui traduit son couplage
avec d’autres corps par l’interaction gravitationnelle. Il est très étrange qu’elle soit égale à la masse
inerte de ce corps, qui caractérise la résistance à l’accélération lorsqu’une force est appliquée2. Nous
admettrons néanmoins que, pour tout corps, m = m* , et nous les désignerons toutes deux sous le
vocable commun de masse.
1
Voir le cours d’électromagnétisme de deuxième année.
Il fallut attendre le vingtième siècle avec la théorie de la relativité générale d’Einstein pour exploiter entièrement les
conséquences de cette égalité, qui est vérifiée expérimentalement à une très grande précision.
2
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A la surface de la Terre, on désigne par le mot poids l’attraction gravitationnelle exercée par la
Terre sur un objet de masse m (figure 2.2.). La force d’attraction gravitationnelle s’écrit, en
considérant la Terre sphérique, en notant RT son rayon, z l’altitude de l’objet au dessus du niveau
u
MT
m
z
RT
Figure 2.2 : Poids
moyen des océans et u le vecteur unitaire dirigé du point matériel vers le centre de la Terre :
m × MT
P=G
u
2
( RT + z )
L’altitude de l’objet étant négligeable par rapport au rayon RT de la Terre, on peut écrire
l’expression du poids sous la forme :
P = mg
où g est l’intensité de la pesanteur, verticale et dirigée vers le bas, de norme :
GM T
g =
9,8 m.s -2
2
RT
(on a utilisé M T 6, 0.1024 kg ; RT 6, 4.106 m ). Le champ de pesanteur, i.e. la donnée de g ( r )
pour tout point de l’espace, est donc uniforme lorsque l’altitude reste très petite par rapport au rayon
de l’astre (norme de g constante) et que l’on considère des distances « horizontales » mesurées à la
surface la planète très petites devant son périmètre (direction de g constante).3
b. Interaction électrostatique
Un siècle après Newton, Coulomb étudia quantitativement les forces exercées entre deux corps
portant des charges électriques. La loi de force de la force électrostatique est la loi de Coulomb. Son
expression vectorielle est :
r −r
1
F1→2 = −
q1q2 1 2 3
4πε 0
r1 − r2
où q1 et q2 sont les charges électriques portées par les corps 1 et 2, exprimées en Coulomb (C), et où
ε 0 est la permittivité électrique du vide, de valeur :
1
ε0 =
S.I.
36π ×109
Les charges électriques pouvant être positives ou négatives (contrairement à la masse), la force
électrostatique peut être attractive (deux charges de signe différent) ou répulsive (deux charges de
même signe).
3
Nous affinerons l’expression de g dans la deuxième partie de l’année.
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III.
CHAPITRE 2 : DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL
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EQUATIONS DU MOUVEMENT
1) Physique et équations différentielles, déterminisme
La loi fondamentale de la mécanique peut s’écrire, compte tenu de la définition de l’accélération :
F
r =
m
Il s’agit donc de réaliser l’inventaire des forces appliquées au système et de calculer leur résultante,
afin d’obtenir l’équation du mouvement du système, qui est une équation différentielle du second
ordre. Les lois de la mécanique ne nous permettent pas de trouver les constantes d’intégration, leurs
valeurs numériques dépendent des conditions initiales du problème.
Ceci est un exemple d’un principe très général en physique : résoudre un problème physique
consiste à mettre le problème en équation sous la forme d’une équation différentielle, nommée
équation du mouvement, mettant en jeu au plus les dérivées secondes des coordonnées.
La mécanique newtonienne est dite déterministe : à un jeu de conditions initiales correspond une
seule évolution possible pour le système ; cela est du au fait que rien, dans les postulats de la
mécanique, n’empêche en principe de pouvoir mesurer les position et vitesse initiales du point
matériel avec une précision arbitrairement grande 4.
2) Mouvement d’un point matériel sans forces appliquées
Dans un référentiel galiléen, la deuxième loi de la dynamique nous permet d’écrire l’équation du
mouvement :
x⎞
⎛ ⎛ vx ⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟
r = ⎜ y ⎟ = 0 ⇒ v = r = ⎜ v y ⎟
⎜ ⎟
⎜v ⎟
m
⎝z⎠
⎝ z⎠
par une intégration triviale sur les trois coordonnées. On trouve donc que la vitesse est constante : le
mouvement est rectiligne uniforme. La loi fondamentale de la dynamique contient donc le principe
d’inertie si on remplace « Dans tout référentiel galiléen, … » par « Il existe une classe de
référentiels, dits galiléens, dans lesquels … ». Le principe d’inertie garde cependant une valeur
prédictive car il met en avant que tout objet animé d’un mouvement qui n’est pas rectiligne
uniforme est soumis à des forces extérieures.
3) Mouvement d’un point matériel dans un champ de pesanteur uniforme, sans
frottements
Un point matériel de masse m est lancé avec une vitesse initiale v 0 et laissé libre d’évoluer dans le
champ de pesanteur terrestre uniforme g. La seule force agissant sur lui est alors son poids P.
Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la loi fondamentale de la dynamique nous permet
d’écrire l’équation du mouvement du point matériel :
P mg
a= =
=g
m m
où l’on voit une conséquence importante de l’égalité des masses gravitationnelle et inerte :
l’équation du mouvement d’un point matériel évoluant dans un champ de pesanteur est
indépendante de sa masse.
4
On renonce à ce déterminisme en théorie quantique, où on ne peut connaître à la fois vitesse et position avec une
précision aussi grande que l’on veut.
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On oriente les axes du repère cartésien de manière à
faire coïncider l’axe Oz avec la direction de g et à ce
que le vecteur v 0 soit dans le plan x = 0 (figure 2.3.)
et on choisit l’origine spatiotemporelle telle que le
point matériel soit en x = 0 à l’instant t = 0 du lancé.
Les conditions initiales sont alors :
x ( 0 ) = 0 ; x ( 0 ) = v 0 ⋅ e x = 0
y ( 0 ) = 0 ; y ( 0 ) = v 0 ⋅ e y = v 0 ( cos θ )
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z
ez
g
v0
θ
ex
ey
y
x
Figure 2.3. : choix de l’orientation des axes
dans un problème de chute libre
z ( 0 ) = 0 ; z ( 0 ) = v 0 ⋅ e z = v 0 ( sin θ )
On obtient par projection de l’équation du mouvement sur les trois axes trois équations
différentielles :
⎧
r ⋅ e x = g ⋅ e x ⇔ x=0
⎪
r ⋅ e y = g ⋅ e y ⇔ y=0
(avec g = g ⋅ e z = − g )
⎨
⎪
z=g
⎩r ⋅ e z = g ⋅ e z ⇔ •
•
•
La première de ces équations s’intègre, compte tenu de nos choix d’origines et d’orientation de
la base :
x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ x = 0
Le mouvement est donc contenu dans le plan x = 0 .
La deuxième équation est identique, mais les condition initiales sont différentes :
y = 0 ⇒ y = v 0 ( cos θ ) ⇒ y = v 0 ( cos θ ) t
Le mouvement suivant Oy est donc uniforme.
La troisième équation contient un deuxième membre :
z = − g ⇒ z = gt + v 0 ( sin θ ) ⇒ z =
gt 2
+ v 0 ( sin θ ) t
2
On obtient l’équation cartésienne de la trajectoire dans le plan x = 0 en faisant disparaître le temps
dans la troisième équation à l’aide de la deuxième :
y
g
t=
⇒z=
y 2 + tan (θ ) y
2
2
v 0 ( cos θ )
2 v 0 ( cos θ )
La trajectoire est donc une parabole, résultat déjà trouvé dans le chapitre 1. La figure 2.4. représente
différentes paraboles décrites par un point matériel en fonction de l’angle θ que fait le vecteur v 0
avec l’axe Oy.
θ =π 3
θ =π 4
θ =π 6
θ =π 8
Figure 2.4. : Différentes trajectoires d’un projectile dans le champ de pesanteur terrestre
v 0 = 50m.s -1 ; g = −10m.s -2 , graduations en mètres
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On remarque qu’il existe un angle optimal permettant d’atteindre une distance maximale appelée
portée du tir.
4) Mouvement d’un point matériel dans un champ de pesanteur uniforme, avec
frottements
a. Frottement fluide
Lorsque la vitesse est faible, on peut modéliser la force de frottement par un vecteur noté f,
colinéaire au vecteur vitesse, de sens opposé, et dont l’intensité est proportionnelle à la valeur de la
vitesse : f = −α v .
La loi fondamentale de la dynamique appliquée à un projectile lancé avec une vitesse initiale dans
le champ de pesanteur terrestre et soumis à une force de frottement fluide s’écrit alors, dans le
référentiel terrestre supposé galiléen :
P + f mg + f
α
a=
=
=g− v
m
m
m
La masse du point matériel joue donc maintenant un rôle, l’unité du facteur α est le kg.s -1 .
En orientant le repère de la même manière que dans la section précédente (figure 2.3.) afin que les
conditions initiales soient identiques, la projection de cette équation vectorielle dans le plan x = 0
donne les deux équations du mouvement :
α
α
⎧
x + x = 0
⎪a ⋅ e x = g ⋅ e x − m v ⋅ e x = 0 ⇔ m
⎪
α
α
⎪
y + y = 0
⎨a ⋅ e y = g ⋅ e y − v ⋅ e y = 0 ⇔ m
m
⎪
α
α
⎪
z + z = g
⎪a ⋅ e z = g ⋅ e z − m v ⋅ e z = 0 ⇔ m
⎩
En posant µ ≡ x , υ ≡ y et σ ≡ z , ces équations deviennent :
µ +
α
µ =0
υ +
α
υ =0
σ +
α
σ =g
m
m
m
Les équations sans second membre qui gouvernent µ et υ s’intègrent aisément :
α
− t
dµ α
dµ
α
α
+ µ =0⇔
= − dt ⇒ ln µ = − t + K ⇒ µ = Ae m
dt m
µ
m
m
où on a posé K ≡ ln A . Nous obtenons en utilisant les conditions initiales sur la vitesse :
µ =0
υ = v 0 cos (θ ) e
α
− t
m
La valeur de la vitesse suivant y décroît donc exponentiellement. En intégrant selon t et en utilisant
les conditions initiales sur la position, on obtient les lois d’évolution temporelles des coordonnées x
et y du point matériel :
α
α
− t
− t ⎞
⎛
m
m
x = ∫ µ dt = cte = 0
y = ∫ υ dt = − v 0 ( cos θ ) e m + cte =
v 0 ( cos θ ) ⎜ 1 − e m ⎟
α
α
⎝
⎠
Une démarche identique permet de trouver la solution de l’équation sans second membre relative à
la coordonnée z :
σ = Ae
α
− t
m
A quoi il faut rajouter la solution particulière évidente σ =
mg
α
de l’équation avec second membre.
On a donc finalement, en ajustant la constante d’intégration à la vitesse initiale suivant z :
α
− t
mg ⎛
mg ⎞ − αm t mg
m
e +
σ = Ae +
= v ( sin θ ) −
α ⎜⎝ 0
α ⎟⎠
α
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Enfin, et en intégrant selon t :
⎡⎛
mg ⎞ − αm t mg ⎤
m⎛
mg ⎞ − αm t mg
z = ∫ σ dt = ∫ ⎢⎜ v 0 ( sin θ ) −
e +
e +
t + cte
⎥ dt = − ⎜ v 0 ( sin θ ) −
α ⎟⎠
α ⎦
α⎝
α ⎟⎠
α
⎣⎝
d’où finalement, en utilisant la condition initiale z ( t = 0 ) = 0 :
α
− t⎤
m⎛
mg ⎞ ⎡
mg
m
e
t
v
sin
θ
1
−
−
(
)
⎥+
⎜ 0
⎟⎢
α⎝
α ⎠⎣
⎦ α
L’équation de la trajectoire s’obtient de la même manière que dans la section précédente,
l’expression finale est cependant plus complexe :
⎞
⎛
⎞
⎞
m ⎛
mg
m2 g ⎛
αy
α
t = − ln ⎜⎜1 −
y ⎟⎟
⎟⎟ ⇒ z = ⎜⎜ tan (θ ) −
⎟⎟ y − 2 ln ⎜⎜ 1 −
α ⎝ m v 0 ( cos θ ) ⎠
α v 0 ( cos θ ) ⎠
α
⎝
⎝ m v 0 ( cos θ ) ⎠
La figure 2.5. représente différentes trajectoires décrites par un point matériel en fonction de sa
masse et de l’angle θ que fait le vecteur v 0 avec l’axe Oy.
z=
m=2kg
θ =π 3
m=1kg
θ =π 4
θ =π 6
m=0,5kg
θ =π 8
(a) : Variation de l’angle θ (m = 1kg)
(b) : Variation de la masse (θ = π /3)
Figure 2.5. : Différentes trajectoires d’un projectile dans le champ de pesanteur terrestre
v 0 = 50m.s -1 ; g = −10m.s -2 ; α = 0, 5kg.s -1 ; graduations en mètres
Les trajectoires sont à comparer à celles de la figure 2.4. On constate sans surprise que la distance
parcourue par le projectile est inférieure en présence de frottements. On voit que les frottements ont
plus d’influence lorsque l’angle θ est grand. Conformément à son rôle de résistance à l’accélération
(donc à la modification du mouvement), un projectile de masse plus élevée subit moins l’influence
des frottements.
b. Frottements à grande vitesse
Lorsque la vitesse du projectile est importante, les frottements sont modélisés plus justement par
une force proportionnelle au carré de la vitesse : f = −γ v v . La loi fondamentale de la dynamique
s’écrit dans ce cas :
a=g−
γ
v v
m
Le coefficient γ dépend du milieu dans lequel évolue le projectile ainsi que de la forme du
projectile. La projection sur la base cartésienne, orientée de la même manière que précédemment
avec des conditions initiales identiques, donne :
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γ
γ
⎧
x+
x 2 + y 2 + z 2 × x = 0
⎪a ⋅ e x = g ⋅ e x − m v v ⋅ e x = 0 ⇔ m
⎪
γ
γ
⎪
y+
x 2 + y 2 + z 2 × y = 0
v v ⋅ e y = 0 ⇔ ⎨a ⋅ e y = g ⋅ e y −
m
m
⎪
γ
γ
⎪
z+
x 2 + y 2 + z 2 × z = g
⎪a ⋅ e z = g ⋅ e z − m v v ⋅ e z = 0 ⇔ m
⎩
Contrairement aux cas précédents, nous avons affaire à un système d’équations différentielles
couplées (plusieurs coordonnées apparaissent dans chacune des équations). Elles sont de plus nonlinéaires : les dérivées premières des coordonnées apparaissent à la puissance 2. Si on trouve deux
solutions de l’équation, leur combinaison linéaire ne sera donc pas une solution. La résolution
analytique d’un tel système est complexe, mais des méthodes numériques permettent de s’en
affranchir (figure 2.6.).
> g := -10 : Vo := 200 : theta := Pi/3 : G := 0.005 : m := 1:
> sys1 := D(D(Y))(t)+G/m*sqrt(D(Y)(t)^2+D(Z)(t)^2)*D(Y)(t)=0,
D(D(Z))(t)+G/m*sqrt(D(Y)(t)^2+D(Z)(t)^2)*D(Z)(t)=g ;
(2)
sys1 := D (Y)(t) + 0.005 D(Y)(t)2 + D (Z)(t)2 D(Y)(t) = 0,
D
(2)
(Z )(t) + 0.005
D (Y)(t)2 + D (Z)(t)2 D(Z)(t) = -10
> funcs := {Y(t), Z(t)}:
> init := Y(0)=0, Z(0)=0, D(Y)(0)=Vo*cos(theta), D(Z)(0)=Vo*sin(theta);
init := Y(0) = 0, Z(0) = 0, D(Y)(0) = 100, D(Z)(0) = 100
3
> s := dsolve({sys1, init}, funcs, numeric, range=0..15):
> plots[odeplot](s,[Y(t),Z(t)],0..15, numpoints=50);
Figure 2.5. : Résolution numérique de la trajectoire d’un projectile dans le champ de pesanteur terrestre
avec le logiciel Maple (on a considéré a priori que x = 0 tout au long du mouvement)
v 0 = 200m.s -1 ; θ = π 3 ; g = −10m.s -2 ; m = 1kg ; γ = 0, 005kg.m -1 ; graduations en mètres
Remarque :
Un lecteur curieux se demandera comment on peut quantifier la « grandeur » de la vitesse : quand
doit-elle être considérée élevée ? Le traitement rigoureux de ce problème dépasse largement le cadre
du programme de première année mais on peut néanmoins dire que la connaissance de la valeur de la
vitesse est insuffisante : le milieu dans lequel le projectile évolue joue aussi un rôle car les
frottements dépendent de sa viscosité. En règle générale, la modélisation d’une force de frottements
non linéaire est plus juste, mais on lui préfère la modélisation linéaire dans le cadre des « petites »
vitesses car une résolution analytique est alors possible sans que l’erreur introduite soit trop
importante.
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CHAPITRE 2 : DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL
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5) Equations du mouvement d’un point matériel sur un plan incliné, avec frottements
a. Frottement solide
Le frottement solide, ayant pour origine les interactions de contact à très petite échelle entre les
matériaux, est encore actuellement un sujet actif de recherche. On sait cependant le modéliser
depuis le XIXème siècle par les lois de Coulomb du frottement solide, dont nous donnons ici une
version simplifiée.
Lorsqu’un point glisse sur une surface matérielle, le frottement solide se modélise par un vecteur
force de norme constante, s’opposant à la vitesse :
v
f = −µ
v
où le coefficient de frottement µ dépend de la nature des matériaux en contact.
b. Equation du mouvement
On considère donc un point matériel de masse m, évoluant sur un plan incliné avec une vitesse
initiale v 0 faisant un angle θ 0 avec l’axe Ox et soumis à une force de frottement solide (figure 2.6.).
ez
α
ey
RT
f
ex
P
v
θ
α
Figure 2.6. : Point matériel sur un plan incliné
où RT est la réaction du plan incliné, qui lui est orthogonale. Le point matériel est contraint de se
déplacer sur le plan incliné, la coordonnée z reste donc identiquement nulle au cours du mouvement
et le mouvement est plan : la composante z de la résultante des forces est donc nulle, d’où :
F ⋅ e z = 0 ⇒ mg cos α + RT = 0 (où g = − g )
Quant aux deux autres équations régissant le mouvement dans le plan ( x, y ) du mouvement , la loi
fondamentale de la dynamique associée à la loi du frottement solide permet d’écrire :
1
µ
x
⎧
α
µ
θ
α
=
−
=
−
sin
cos
sin
x
m
g
g
(
)
⎪
m
m x 2 + y 2
⎪
⎨
y
µ
1
⎪ y = − µ sin θ = −
⎪
m
m x 2 + y 2
⎩
Dans le cas simple où θ 0 = 0 , la deuxième équation devient y = 0 d’où on tire y = cte = 0 , on a
alors :
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CHAPITRE 2 : DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL
x=
10/12
1
( −mg sin α − µ ) = − g sin α − µ m
m
qui s’intègre aisément :
t2
+ v 0 t + x0
2
L’équation du mouvement du point matériel est donc analogue à l’équation du mouvement d’un
point en chute libre, dans laquelle on a remplacé l’intensité de la pesanteur par ( g sin α − µ m ) .
x = ( g sin α − µ m ) t + v 0
IV.
⇒ x = ( g sin α − µ m )
THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE
1) Puissance d’une force
La puissance P reçue par le point matériel A de vitesse v soumis à une force F s’écrit :
P ≡ F⋅v
L’unité S.I. de la puissance est le Watt 5, abrégé W, équivalent d’après la loi fondamentale de la
dynamique à : 1 W = 1 N.m.s-1 = 1 kg.m 2 .s -3 dans le système MKS. La vitesse du point matériel
dépendant du référentiel, la puissance en est aussi dépendante.
Une puissance positive est dite motrice, une puissance négative est dite résistante. Notons que la
puissance d’une force est nulle si la force est orthogonale à la trajectoire du point matériel.
Exemple :
Dans le cas de la chute libre étudié en III.4.a., à l’instant initial où θ = ( e x , v ) = π 4 ,
v = 50m.s -1 , α = 0,5kg.s -1 et m = 1kg , on a :
•
Puissance du poids : P ⋅ v = mg ⋅ v = m g × v × cos (θ + π 2 ) = −354W
•
Puissance de la force de frottement fluide : f ⋅ v = −α v ⋅ v = −α v 2 = −1250W
2) Travail d’une force
a. Travail élémentaire
Le travail δ W exercé par une force F sur un point matériel A pendant la durée infinitésimale dt est :
δ W ≡ Pdt = F ⋅ vdt = F ⋅ dA
puisque vdt = dA est le déplacement élémentaire effectué par le point matériel se déplaçant à la
vitesse v pendant une durée dt. Le travail s’exprimant en fonction de la puissance, il dépend aussi
du référentiel. La notation δ W est utilisée (et non dW) car le travail élémentaire n’est a priori pas la
différentielle d’une fonction.
L’unité S.I. du travail est le joule, abrégé J, équivalent à : 1 J = 1 N.m = 1 W.s = 1 kg.m 2 .s -2 dans le
système MKS. Un travail positif est dit moteur, un travail négatif est dit résistant. Le travail
correspond à un échange d’énergie entre deux systèmes (compté positif dans le sens « énergie
fournie par le système extérieur au système étudié »)
5
L’ancienne unité de puissance, toujours usitée, est le cheval vapeur. Un cheval vapeur égale 736 W.
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CHAPITRE 2 : DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL
11/12
b. Travail au cours d’un déplacement fini
WAB , le travail d’une force au cours d’un déplacement AB quelconque fini, s’obtient en sommant les
travaux élémentaires exercés par F au cours du déplacement :
WAB = ∫ δ W = ∫ F ⋅ dA
Γ
Γ
où la courbe Γ est le chemin liant A et B emprunté par le point d’application de la force au cours de
son déplacement. Lorsque la courbe est fermée (les points de départ et d’arrivée sont confondus), on
le signale par un rond sur l’intégrale :
WAB = v∫ δ W = v∫ F ⋅ dA
Γ
Γ
3) Théorème de l’énergie cinétique
a. Energie cinétique
Prenons le produit scalaire de la loi fondamentale de la dynamique avec la vitesse :
F⋅v
dv
d ⎛1
d ⎛1 2
⎞
⎞
⇔ m ⋅v = F⋅v ⇔
a⋅v =
⎜ mv ⋅ v + C ⎟ = F ⋅ v ⇔
⎜ mv + C ⎟ = F ⋅ v
m
dt
dt ⎝ 2
dt ⎝ 2
⎠
⎠
2
Le produit scalaire se met donc sous la forme de la différentielle de la fonction mv 2 + C , où C est
une constante que l’on choisit nulle par convention.
mv 2
On appelle énergie cinétique la quantité scalaire : Ec ≡
2
L’énergie cinétique dépend du référentiel choisi pour mesurer la vitesse. Son unité est le joule
d’après l’observation faire au § 2.a.
b. Théorème de l’énergie cinétique
La relation obtenue ci-dessus à partir de la loi fondamentale de la dynamique peut donc s’écrire :
Ec = P
La dérivée temporelle de l’énergie cinétique d’un point matériel est égale à la puissance exercée sur
lui par la résultante des forces. Ce résultat porte le nom de théorème de la puissance cinétique.
Pour l’obtenir, nous avons multiplié la loi fondamentale de la dynamique par v, rajoutant de fait la
solution v = 0 . Cette nouvelle solution, qui n’était pas déductible des postulats de la dynamique de
Newton, ne doit donc être considérée que lorsqu’elle est unique.
Notons que ce théorème accepte l’écriture équivalente :
d Ec
= F ⋅ v ⇔ d Ec = F ⋅ vdt = F ⋅ dr ⇔ d Ec = δ W
Ec = P ⇔
dt
La variation infinitésimale de l’énergie cinétique d’un point matériel est donc égal au travail
élémentaire des forces exercées sur lui. On en déduit par intégration l’expression de la variation
d’énergie cinétique au cours d’un déplacement fini :
∫ d Ec = ∫ δ W ⇒ ∆Ec = WAB où ∆Ec = Ec ( B ) − Ec ( A)
Γ
Γ
Ce résultat constitue le théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique d’un point
matériel au cours d’un déplacement est égale aux travaux des forces exercées sur lui. C’est une
équation scalaire, qui ne permet donc que de trouver l’équation du mouvement d’une coordonnée. Il
est donc particulièrement bien adapté aux problèmes à un seul degré de liberté, pour lesquels il
constitue une alternative à la loi fondamentale de la dynamique.
PCSI
CHAPITRE 2 : DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL
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4) Exemple d’application
Considérons l’exemple du point matériel en chute sur un plan incliné vu au §III.5. (figure 2.6.),
dans le cas où le mouvement est unidimensionnel avec θ 0 = 0 . La force de réaction du plan incliné,
étant constamment orthogonale au mouvement, ne travaille pas et le théorème de l’énergie cinétique
s’écrit, entre l’instant initial t0 où le mobile se trouve en x0 et un instant ultérieur t correspondant à
une position x :
x
x
1
∆Ec = ∫ m g ( sin α ) dx − ∫ µ dx ⇔ m ( v 2 − v02 ) = ( m g sin α − µ ) ( x − x0 )
x0
x0
2
d’où la vitesse du point matériel lorsqu’il atteint l’abscisse x :
µ⎞
⎛
v = 2 ⎜ g sin α − ⎟ ( x − x0 ) + v02
m⎠
⎝
Remarques :
•
En dérivant l’équation obtenue dans la première ligne par rapport au temps, on obtient :
= ( m g sin α − µ ) x ⇒ mxx
x = ( g sin α − µ m )
en simplifiant par x non nul (voir la remarque au sujet du théorème de la puissance cinétique). On
obtient donc l’équation du mouvement donnée par la loi fondamentale de la dynamique.
•
(
)
Si 2 g sin α − µ m < 0 , le terme sous la racine carrée s’annule à l’abscisse :
x = x0 − v02 2 ( g sin α − µ m )
et la force de frottement ne peut plus conserver sa valeur (la direction de la vitesse n’étant plus
définie). La force de frottement solide est alors simplement opposée à la projection du poids sur l’axe
Ox, maintenant immobile le point matériel dans une position d’équilibre stable.