Géométrie plane, formules de trigonométrie
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Géométrie plane, formules de trigonométrie
Géométrie plane, formules de trigonométrie : cosinus, sinus, tangente Denis Vekemans 1 ∗ Définition de cosinus, sinus et tangente Le triangle ABC est supposé rectangle en A. [ l’angle en B du triangle ABC. Notons Bb = ABC Pour cet angle en B, on nomme — AB le côté adjacent ; — AC le côté opposé ; — et BC l’hypothénuse. b comme étant On définit ensuite le cosinus de l’angle en B que l’on note cos(B) b = cos(B) ∗ côté adjacent AB = . BC hypothénuse Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France 1 b comme étant De même, on définit le sinus de l’angle en B que l’on note sin(B) b = sin(B) côté opposé AC = . BC hypothénuse Tels que définis ici, les cosinus et sinus d’un angle sont des nombres réels compris entre 0 et 1. b comme étant On peut aussi définir la tangente de l’angle en B que l’on note tan(B) b = tan(B) 2 Valeurs remarquables α 0 ◦ cos(α) sin(α) 1 √ 60 1 √2 2 √2 3 2 90◦ 0 1 45◦ ◦ tan(α) 0 3 √2 2 2 1 2 30◦ 3 AC côté opposé = . AB côté adjacent 0 √1 3 = √ 3 3 1 √ 3 non défini Théorème d’Al-Kashi ou Loi des cosinus Dans un triangle ABC quelconque (pas nécessairement rectangle comme auparavant), on a [ BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 × AB × AC × cos(BAC). Ainsi, de la connaissance des longueurs des côtés d’un triangle, on peut déduire les cosinus de chacun des angles (et par conséquent les angles, soit par lecture inverse de la table des cosinus, soit par utilisation de la touche cos−1 d’une calculatrice) de ce triangle. [ est droit, cos(BAC) [ = 0 et on obtient BC 2 = Remarque. Dans le cas particullier où l’angle BAC AB 2 + AC 2 (théorème de Pythagore). [ = 30◦ et BC = 5. ABC est un triangle rectangle en A tel que ABC Exercice 1 1. Donner AB. 2. Donner AC. Solution 1 √ AB 3 ◦ 1. cos(30 ) = . Donc AB = 5 × cos(30 ) = 5 × BC 2 1 AC . Donc AC = 5 × sin(30◦ ) = 5 × = 2. sin(30◦ ) = BC 2 ◦ 2 √ 5× 3 = . 2 5 . 2 [ = 60◦ et AB = 7. ABC est un triangle rectangle en A tel que ACB Exercice 2 1. Donner BC. 2. Donner AC. Solution 2 7 7 14 × AB √ = . Donc BC = = 1. sin(60 ) = 3 BC sin(60◦ ) 3 ◦ √ 3 . 2 √ 7 7 AB 7× 3 . Donc AC = =√ = . 2. tan(60 ) = AC tan(60◦ ) 3 3 ◦ Exercice 3 ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 4 et AC = 3. 1. Donner BC. [ 2. Donner ACB. Solution 3 1. Le triangle ABC est rectangle en A, donc, d’après le théorème de Pythagore, BC 2 = AB 2 + AC 2 , √ √ puis BC = AB 2 + AC 2 = 42 + 32 = 5. [ = AB . Donc tan(ACB) [ = 4. 2. tan(ACB) AC 3 [ ≈ 53, 1◦ . Puis, d’après la calculatrice, ACB Exercice 4 [ = 50◦ et AB = AC = 5. ABC est un triangle isocèle en A tel que BAC Déterminer BC. Solution 4 [ D’après le théorème d’Al Kashi, BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 × AB × AC × cos(BAC). D’où, BC = q 52 + 52 − 2 × 5 × 5 × cos(50◦ ) = q 50 − 50 × cos(50◦ ) ≈ 4, 2. ABC est un triangle tel que AB = 2, AC = 3 et BC = 4. [ DéterminerBAC. Exercice 5 [ D’après le théorème d’Al Kashi, BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 × AB × AC × cos(BAC). 2 2 2 [ Puis cos(BAC) [ = 2 + 3 − 4 = −3 = −1 . D’où, 42 = 22 + 32 − 2 × 2 × 3 × cos(BAC). 2×2×3 12 4 [ ≈ 104, 4◦ . Puis, d’après la calculatrice, BAC Solution 5 3