Correction du DS4

Correction du devoir surveillé n° 4.
☺ Exercice 1 : Questionnaire à choix multiple :
Pour chaque question, entourer la seule réponse exacte. Aucune justification n’est attendue.
Une réponse juste rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point, et une absence de réponse n’enlève aucun point.
Questions
Réponses
1
Si ABC est un triangle rectangle en C,
alors cos ABC est égal à
AC
AB
2
Si DEF est un triangle rectangle en E,
alors on a
DE = EF × tan EDF
Si GHI est un triangle rectangle tel que
HI
GI
3
(
(
)
(
)
)
est égal à
= HI , alors sin HGI
tan HGI
GH
BC
AB
(
)
DE =
(
AC
BC
tan EDF
EF
GH
GI
)
DE =
EF
(
tan EDF
BC
AC
)
GI
HI
EF =
DE
(
tan EDF
GI
GH
☺ Exercice 2 :
Un géomètre mesure, à l’aide d’un théodolite, la hauteur d’un arbre.
En plaçant son instrument à 25 m du pied de l’arbre, il vise le sommet
et mesure alors un angle de 55° avec l’horizontale.
Sachant que le théodolite mesure 1,50 m de haut, quelle est la hauteur
de l’arbre ? Arrondir le résultat au dixième de mètre.
Correction :
Dans le triangle STH rectangle en H, on a :
= SH
tan STH
TH
SH
tan ( 55 ) =
25
donc SH = 25 × tan ( 55 )
(
)
SH ≈ 35, 7 m.
D’où :
SP = SH + HP
SP ≈ 35, 7 + 1, 5
SP ≈ 37, 2 m.
L’arbre mesure donc environ 37,2 m de haut.
☺ Exercice 3 :
1) Le nombre 3 est-il solution de l’équation ( E ) : 2 x 2 − 8 x + 11 = 4 x − 5 ? Justifier sans résoudre l’équation.
2) Résoudre les équations :
( E1 )
: x + 3 = 8 − 2x
et
( E2 ) :
5 x − 2 = 6 + 2 ( x + 5) .
)
Correction :
1) Si x = 3 , alors :
et
2 x 2 − 8 x + 11 = 2 × 32 − 8 × 3 + 11 = 18 − 24 + 11 = 5
4 x − 5 = 4 × 3 − 5 = 12 − 5 = 7 .
Donc le nombre 3 n’est pas une solution de l’équation ( E ) .
2) ( E1 ) :
( E2 ) :
5 x − 2 = 6 + 2 ( x + 5)
5 x − 2 = 6 + 2 x + 10
5 x − 2 x = 16 + 2
x + 3 = 8 − 2x
x + 2x = 8 − 3
3x = 5
5
x= .
3
3 x = 18
L’équation ( E1 ) admet une unique solution : c’est
5
.
3
18
3
x =6.
x=
L’équation ( E2 ) admet une unique solution : c’est 6.
☺ Exercice 4 :
Valentine et Juliette affichent toutes les deux un même nombre sur leur calculatrice. La première le multiplie
par 5, puis soustrait 6 au résultat obtenu. La seconde en prend le double, puis ajoute 9 au résultat obtenu. En
comparant les écrans de leurs calculatrices, elles constatent alors qu’elles ont obtenu le même résultat.
Quel était le nombre affiché au départ par les deux filles ? Justifier.
Correction :
Soit n le nombre affiché au départ par les deux filles.
On résout l’équation :
5n − 6 = 2 n + 9
5n − 2 n = 9 + 6
3n = 15
15
n=
3
n = 5.
L’équation admet une unique solution : c’est 5.
Conclusion :
Valentine et Juliette avaient affiché le nombre 5 sur leur calculatrice.
Vérification : 5 × 5 − 6 = 19 et 2 × 5 + 9 = 19 .
☺ Exercice 5 :
1) Construire un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 4 cm et ABC = 60° .
2) Construire le pied H de la hauteur du triangle ABC issue de A.
3) Calculer la longueur BC. Justifier.
4) Calculer la longueur AH (arrondir au mm). Justifier.
Correction :
1) et 2) Figure : RAS.
3) Longueur BC :
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
AB
cos ABC =
BC
4
cos ( 60 ) =
BC
donc BC × cos ( 60 ) = 4
(
BC =
)
4
cos ( 60 )
BC = 8 cm.
Le segment [ BC ] mesure donc 8 cm.
4) Longueur AH :
H étant le pied de la hauteur du triangle ABC issue de A, le triangle ABH est rectangle en H et on a :
AH
sin ABH =
AB
AH
sin ( 60 ) =
4
donc AH = 4 × sin ( 60 )
(
)
AH ≈ 3,5 cm.
Le segment [ AH ] mesure donc environ 3,5 cm.
☺ Exercice 6 :
Les élèves d’une classe de Seconde sont soit externes, soit demi-pensionnaires, soit internes. Les élèves internes
sont six de moins que les externes, et il y a trois fois plus de demi-pensionnaires que d’externes.
Combien y a-t-il d’externes, de demi-pensionnaires et d’internes sachant que la classe compte 34 élèves ?
Justifier.
Soit x le nombre d’élèves externes.
On résout l’équation :
x + 3 x + x − 6 = 34
5 x − 6 = 34
5 x = 34 + 6
5 x = 40
40
x=
5
x = 8.
L’équation admet une unique solution : c’est 8.
Conclusion :
La classe compte 8 externes, 3 × 8 = 24 demi-pensionnaires, et 8 − 6 = 2 internes.
Vérification : 8 + 24 + 2 = 34 .