Intégrale sur un segment, primitives - Jean

6 novembre 2003
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4. (Centrale 2001) Calculer :
Z
Intégrale sur un segment, primitives
2π
dx
sin x + cos x + 2
0
5. (X 2000) Calculer
PC*2
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Z
3π
0
6. (Cen 99) Calculer :
sin x sin 2x sin 3x dx
Z
√
1
Calcul d’intégrales sur un segment et de
primitives
R√
7. (CCP 99) Calculer
R
R
R
R
R
x dx
(x2 + x + 1)3
dx
(4x
−
x2 )3/2
√
√
x+1− 3x+1
√
√
dx
x+1+ 3x+1
x ln x
√
dx
x2 + 1
1 − cos 2x
dx
sin 3x
x dx
√
√
x+1+ x+2
3. Calculer les intégrales :
R1 α
x (ln x)n dx
0
8. (CCP 99) Calculer :
R
x dx
(x3 + 1)2
R
dx
√
x 3 x20 + 1
R
arcsin x dx
2
(x2
0
√
1 − x2 dx
x2
dx
+ 1)3/2
9. (CCP 99) Existence et valeur de :
Z
dx
cos x + cos 3x
R
x dx
(−2x2 + x + 1)3/2
R
dx
cosh x − cosh a
10. (CCP 98) Calculer
Z
π/4
0
11. (CCP 98) Calculer :
Z
cos x ln(cos x) dx
arctan
π/2
0
R 2π
0
π/4
0
R
α>0, n∈N
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arctan
Z
3
dx
sin4 x + sin2 x +
R π/2
R 2π 1 + cos x + sin x
R 3π/4
dx
dx
√
dx π/4
0
0
2
1 + cos2 x
2 + sin x
sin x 1 + sin x
R π/8 −2x
R π/8 −2x 2
R 5/4
x3 dx
√
e
cos2 x dx
e
sin x dx
0
0
1/2
2 + x − x2
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1
0
x2
1. (Centrale 97) Calculer
+ 1 dx.
2. Calculer les primitives suivantes :
R
Z
x dx
x2 − x + 1
1
4
12. (CCP 98) Calculer :
Z
0
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√
x2 + 1 dx
sin x dx
sin x + cos x
ln 2
sh2 x
dx
ch5 x
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2
13. (CCP 98) Relation de récurrence permettant le calcul de :
Z π/4
tann (x) dx
In =
Sommes de Riemann
23. Trouver un développement asymptotique à deux termes de la suite
0
14. (Mines 99) Primitives de x 7→
p
un =
1 + sin(2x) ?
k=0
15. (CCP 99) Relation de récurrence permettant le calcul de :
Z π/4
dx
In =
cosn x
0
un =
Calculer I0 et I1 .
n
X
k=1
1
0
n
X
lim
n→∞
18. (ENSEA 2003) soit f : [0, a] → R, continue et à valeurs strictement
Ra
f (t)
positives. Calculer 0 f (t)+f
dt.
(a−t)
R π dt
19. (TPE 2003) Domaine de définition, parité et calcul de f (x) = 0 x−cos
.
t
20. Soit a ∈]0, π[, établir une relation de récurrence linéaire entre trois
termes consécutifs de la suite :
Z π
cos nx − cos na
dx
In =
cos x − cos a
0
En déduire la valeur de In .
k=1
1
k+n
n
X
k
f
2
n→∞
n
k=1
avec f (t) =
√ t
.
1+t2
2
27. Soit f ∈ C ([a, b], R). Donner un développement asymptotique à deux
termes de
n−1 X
b−a
f a+k
(b − a)
n
k=0
28. Trouver les limites des suites :
k=1
n
P
dx1 dx2 . . . dxn
k=1
n
n
22. Montrer que, quand n → ∞, le volume de la boule unité de R se
concentre entre les deux tropiques.
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√
lim
n
P
0≤x1 ≤x2 ···≤xn ≤1
sin2
26. (CCP 2003) Déterminer :
(−1)[nt] (−1)[mt] dt
21. (ENS 2000) Calculer :
Z Z
Z
...
n
k 2 + n2
25. (Cen 2002) Déterminer :
17. (Mines 98) Calculer :
Z
1
n+k
24. (Cen 99) Développement asymptotique à deux termes de :
16. (CCP 2000) Calculer, en formant In+1 − In :
Z π/2
sin 2nt
In =
dt
tan t
0
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n−1
X
Page 4/9
k
n2
sin
sin
n
P
k=1
kπ
n
sin
kπ
n+1
ln 1 +
1
n+k
n
Q
k
n2
k=1
n−1
P
k=0
n
P
k=1
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n+k
n
k
n+1
k2
n
ln
k
(n2 +k2 )p
n+k+1
n+k
, p ∈ N∗
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29. (X97, CCP 2001 et 2003, ENSL 2001) Soit r ∈ R − {−1, 1} ; calculer
en utilisant les sommes de Riemann, l’intégrale :
Z π
I(r) =
ln(1 − 2r cos x + r2 ) dx
34. (Mines 99, X 2001, X 2002, Cen 2003) Si x ∈]0, 1[∪]1, +∞[, on pose :
Z x2
dt
f (x) =
ln
t
x
0
Retrouver ce résultat en comparant I(r) et I
1
r
puis I(r) et I(r2 ).
30. Trouver un équivalent de
n
X
k=1
1
sin
kπ
n
On en retranchera une somme judicieuse de manière à faire apparaitre
une somme de Riemann
31. (Mines 2002) Soient k, n des entiers naturels non nuls. On note rk,n le
reste de la division euclidienne de n par k. Déterminer :
lim
n→∞
r1,n + r2,n + · · · + rn,n
n2
Étudier le comportement de f quand x est au voisinage de 1. f se
prolonge-t-elle en une fonction C 1 sur [0, +∞[ ?
35. (Centrale 2001) Déterminer :
Z bx
sin t
dt
avec 0 < a < b
lim
x→0+ ax
t2
36. (CCP 2002) Soit f ∈ C 0 ([a, b], R) ; on suppose que :
Z b
tk f (t) dt = 0
∀k ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1} ,
a
montrer que f admet au moins n zéros dans ]a, b[. On montrera qu’elle
en admet au mois un puis, en supposant
qu’elle en admet p < n, soient
Rb Q
t1 < t2 < · · · < tp , on considérera a (t − ti )f (t) dt, où I est une
i∈I
3
Exercices généraux
R
b
32. Soit f une application continue de [a, b] dans C telle que a f (t) dt =
Rb
Rb
|f (t)| dt. En commençant par l’étude du cas où a Im f (t) dt = 0,
a
montrer qu’il existe un réel θ tel que f = eiθ |f |.
33. (X, CCP 2003) soient f et g, continues sur [0, 1], à valeurs réelles strictement positives. On pose :
Z 1
In =
f (t)n g(t) dt
0
(a) Montrer que In > 0 et In2 ≤ In−1 In+1 .
(b) Soit un =
In
.
In−1
Prouver que (un ) converge vers une limite l > 0.
(c) (X) Déterminer l.
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partie bien choisie de {1, 2, . . . , p}
37. (a) 0 < a < b < 1, prouver l’existence d’un trinôme T ∈ R[X] tel
que :
∀x ∈]a, b[ , T (x) > 1
R1
n→∞ 0
(b) Prouver que lim
∀x ∈ [0, a] ∪ [b, 1] , 0 ≤ T (x) ≤ 1
T (x)n dx = +∞
(c) En déduire que, si f est une fonction numérique continue sur [0, 1]
telle que :
Z
∀n ∈ N ,
1
0
tn f (t) dt = 0
alors f est nulle. Retrouver ce résultat à l’aide du théorème de
Weierstrass.
38. Nature, selon α > 0, de la série de terme général :
Z (−1)n n−α p
|x|
dx
1
+
x1/3
0
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43. (Théorème de Hardy-Landau) Soit f une fonction continue et C 1 par
morceaux sur [0, +∞[ à valeurs réelles ou complexes. On suppose que,
quand x → +∞ :
Z x
1
f (t) dt = o(x) et f 0 (x) = O
x
0
39. (X97, X2001) Étudier la limite de la suite (In ) :
Z
In =
π/2
0
cos2 x | sin nx| dx
(CCP 2000) Soit f ∈ C([0, π], R), trouver :
Z π
lim
f (x) | sin nx| dx
n→∞
0
40. (Cen 2000) Soit f : R → R, continue par morceaux et T -périodique.
Déterminer :
Z
1 x
f (t) dt
lim
x→+∞ x 0
41. Pour n ≥ 1 et x réel, on pose :
Pn (x) = x(x − 1)(x − 2) . . . (x − n)
fn (x) =
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Pn0 (x)
Pn (x)
(a) Montrer que l’équation Pn0 (x) = 0 admet une solution xn ∈]0, 1[.
(b) Montrer que lim xn = 0.
(c) Montrer que xn admet un développement asymptotique du type :
a
b
1
+ 2 +o
xn =
2
ln n ln n
ln n
a et b constantes à déterminer.
(d) Soit a > 1 un réel ; trouver lim fn (na)
n→∞
(e) Soit λ un réel strictement positif donné, montrer que l’équation
fn (x) = λ admet une solution tn ∈]n, +∞[ et trouver un équivalent de tn quand n tend vers l’infini
42. Soit f ∈ C 2 (R, R) telle qu’il existe M > 0 vérifiant :
Z x+1
∀x ∈ R ,
f ”(t)2 dt ≤ M
x
Montrer que si f admet une limite finie au voisinage de +∞, alors
lim f 0 (x) = 0.
montrer que limx→+∞ f (x) =R 0. [On appliquera la formule de Taylor
x
avec reste intégral à F : x 7→ 0 f (t) dt entre x et x + h x où h est bien
choisi].
(X 99) En déduire un résultat analogue sur les suites.
44. (ENS 98 et 2003) Une suite (un ), à valeurs dans [0, 1] est dite équirépartie si, pour toute fonction f continue sur [0, 1] telle que f (0) = f (1),
on a :
Z 1
f (u0 ) + f (u1 ) + · · · + f (un )
lim
f (x) dx
=
n→∞
n+1
0
Prouver que (un ) est équirépartie si et seulement si, pour tout x ∈ [0, 1] :
card{k ∈ {0, . . . , n}/uk ≤ x}
=x
n+1
√
√
Prouver l’équirépartition de (un ) avec un = n − [ n].
lim
n→∞
4
Inégalités
45. (Cen 99) Soit f ∈ C([0, +∞[, R) à valeurs positives, strictement croissante. On suppose que f (0) = 0, démontrer que pour tout couple (x, y)
de réels positifs :
Z x
Z y
xy ≤
f (t) dt +
f −1 (t) dt
0
46. Soit f ∈ C 1 ([0, 1], R) telle que f (0) = 0 et ∀t ∈ [0, 1] , 0 < f 0 (t) ≤ 1.
Prouver que :
Z 1
2 Z 1
f (t) dt ≥
f 3 (t) dt
0
0
x→+∞
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0
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47. Déterminer deux réels positifs A et B tels que, pour toute fonction
numérique f de classe C 1 sur [0, 1] et pour tout x ∈ [0, 1] :
Z
|f (x)| ≤ A
1
0
Z
|f (t)| dt + B
1
0
|f 0 (t)|2 dt
12
48. Soient f, g : [a, b] → R de classe C 1 avec f (a) = g(a) = 0. Montrer
l’inégalité :
Z b
Z b
Z b
|(f g)0 (x)| dx ≤
|f 0 (x)| dx
|g 0 (x)| dx
a
a
a
étudier le cas d’égalité.
49. (Mines 2002) Soit f ∈ C 1 ([0, a], R) où a > 0 ; on suppose f (0) = 0. En
commençant par étudier le cas où f 0 ≥ 0, établir l’inégalité :
Z a
Z
a a 0 2
|f (x)f 0 (x)| dx ≤
f (x) dx
2 0
0
50. (Cen 2003) Si f est continue de [a, b] dans R, démontrer l’inégalité :
Z b
Z b
1
1
exp
f (x) dx ≤
ef (x) dx
b−a a
b−a a
Généraliser.
51. Soit E = {f ∈ C 1 ([0, 1], R) , f (0) = 0 , f (1) = 1} Montrer que :
Z 1
1
|f 0 (x) − f (x)| dx =
inf
f ∈E 0
e
52. (Cen 2002) Soit :
(R 1
A=
f (t) et dt
, f ∈ C([0, 1], R), f ≥ 0, f 6= 0
R1
f (t) dt
0
)
0
Montrer que A est borné. Déterminer ses bornes m et M et prouver
que A =]m, M [.
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