Chapitre. Fonctions linéaires, fonctions affines.

Chapitre.
Fonctions linéaires, fonctions affines.
A quoi servent les fonctions ?
Première question que se posent les élèves lorsqu'ils appréhendent l'analyse pour la première fois.
Pour faire simple, les fonctions servent à beaucoup de choses:
1) Tout d'abord, c'est la formalisation de formules qui pourront ensuite être retranscrites sur un tableur pour effectuer de
manière systématique un même problème.
2) Dans le même ordre d'idée, on peut répéter plusieurs fois la même opération de manière automatique dans le cadre de la
programmation.
3) Grâce aux fonctions, on peut mettre certains phénomènes en équation et calculer ensuite quand vont subvenir certains
événements (au niveau du temps, de l'espace, pour la physique, essayer de planifier un crack boursier ou une évolution de
prix en économie).
4) L'aspect graphique est important. Certaines fonctions ne sont connues que par leur représentation graphique.
Pour d'autres, on peut tracer leur représentation graphique et déterminer graphiquement les solutions de certaines équations.
En classe de troisième, on ne voit malheureusement quasiment rien de tous ces aspects. On fait cette année une initiation
(mise en place du vocabulaire, petits exercices), qui va permettre d'aller beaucoup plus loin les années à venir .
I.Fonctions linéaires.
Définir la fonction linéaire de coefficient de linéarité a, c'est associer à chaque nombre x, le nombre ax.
On dit que ax est l'image de x par la fonction.
Notation: la fonction linéaire de coefficient a est notée: x è a x.
On lit : fonction qui à x associe a x.
Si la fonction s'appelle f, l'image de x est f (x), et on a f (x) = a x.
x est un antécédent de f (x).
exemple 1:
Soit f la fonction linéaire de coefficient 2.
f (0) = 0
f (2) = 4
f (3) = 6.
f: x ֏ 2x
6 est l'image de 3 par la fonction f. On dit aussi que 3 est un antécédent de 6 par f.
exemple 2:
On cherche maintenant les antécédents de 18.
f (x ) = 18
2 x = 18
soit x = 9
18 a un seul antécédent par f, c'est le nombre 9.
En fait, par une fonction linéaire, un nombre n'a qu'un seul antécédent.
Ce n'est pas le cas pour toutes les fonctions.
Contre-exemple: on considère la fonction c définie sur IR par c (x) = x 2
Par cette fonction, le nombre 4 a deux antécédents: 2 et − 2.
De plus, par cette fonction, − 5 n'a aucun antécédent.
exemple 3:
Soit f une fonction linéaire de coefficient a.
f ( x ) = a x.
Donc f ( 0 ) = a × 0
f(0)=0
Par une fonction linéaire, l'image de 0 est toujours 0.
Fonction nulle
remarque 1:
Soit f une fonction linéaire de coefficient 0.
Alors pour tout nombre x, on a f( x ) = 0 x
soit
La fonction linéaire de coefficient 0 associe à tout nombre 0.
La fonction qui associe à tout nombre 0 est appelée fonction nulle.
La fonction nulle est une fonction linéaire.
f ( x ) = 0.
remarque 2:
les fonctions linéaires correspondent à des situations de proportionnalité.
Le coefficient de linéarité de la fonction correspond au coefficient de proportionnalité de la situation
de proportionnalité associée.
Exemple: on considère la situation qui pour un nombre de dromadaires normalement constitués, on
étudie le nombre totale de pattes du troupeau.
Chaque dromadaire ayant quatre pattes, il est clair que c'est une situation de proportionnalité de
coefficient de proportionnalité 4.
si le troupeau est composé de x dromadaires, on a bien 4 × x pattes.
A cette situation, on peut donc associer une fonction f de coefficient 4.
Ce lien entre situation de proportionnalité et fonction linéaire peut s'avérer très utile.
Effectivement, les fonctions linéaires ont des propriétés dites de linéarité.
(i) Si f est une fonction linéaire, et x et y deux nombres, on a f (x + y ) = f ( x ) + f ( y ).
(ii) Si f est une fonction linéaire, et x et k deux nombres, on a f ( k x ) = k f ( x ).
Démonstration de ces deux propriétés.
On note a le coefficient de la fonction f.
f (x + y ) = a (x + y )
f (x + y ) = a x + a y
f (x + y ) = f ( x ) + f ( y ).
f ( k x ) = a × (k x )
f(kx)=a×k× x
f(kx)=k×ax
f ( k x ) = k f ( x ).
la multiplication est associative.
la multiplication est commutative.
Application a un tableau de proportionnalité.
Voici un tableau de proportionnalité dont on ne connaît pas le coefficient. Grâce aux théorèmes précédents, il va être
possible de compléter le tableaux sans calculer ce coefficient.
3
6
9
8
96
On peut associer à ce tableau une fonction linéaire f, et on sait que f (3) = 8.
f (6) = f ( 2 ×3 )
donc grâce à (ii), on a f (6) = 2 × f (3)
f (6) = 16
f (9) = f ( 3 + 6 )
donc grâce à (i), on a f (9) = f (3) + f (6)
f (9) = 8 + 16
f (9) = 24
Enfin, 96 = 12 × 8
96 = 12 × f (3)
96 = f (12 × 3)
96 = f (36)
Bilan:
3
8
II.
6
16
9
24
36
96
Une application des fonctions linéaires: les pourcentages.
p
prendre p % de x, c'est calculer
× x.
100
p
fonction linéaire associée: x
× x.
100
p
augmenter x de p %, c'est calculer x (1 +
).
100
p
fonction linéaire associée: x è x × (1 +
)
100
Démonstration:
p
p
p
f (x ) = x + x ×
.
f (x ) = x × 1 + x ×
.
f(x)=x(1+
)
100
100
100
exemple 1:
Un commerçant décide au 1er janvier d'augmenter tous ses tarifs de 10 %.
Si on note x l'ancien prix et P(x) le nouveau prix, on a:
10
P(x) = x ( 1 +
)
P (x) = x × 1,1
100
diminuer x de p %, c'est calculer x × (1-
p
).
100
fonction linéaire associée: x è x × (1 -
p
)
100
exemple 2:
Notre commerçant décide pour les soldes de baisser ses prix de 20 %.
Si y représente le prix après le 1er janvier, et Q (y) le prix soldé, on a:
20
)
Q (y) = y ( 1 −
100
Q (y) = y × 0,8.
Remarque: si on note x le prix avant le 1er janvier et Q ' (x) le prix soldé, on a:
Q ' (x) = ( x × 1,1) × 0,8.
Q ' (x) = x × 0,88
12
Q ' (x) = x × ( 1 −
).
100
Cela représente une baisse de 12 % par rapport au prix d'origine.
III.
Fonctions affines
On considère a et b deux nombres réels.
Associer à chaque nombre x le nombre a x + b. c'est définir la fonction affine, x è ax + b
Notations
La fonction affine qui à x associe a x + b se note x è a x + b (à x on associe a x + b)
Si la fonction s'appelle f, f(x) = a x + b est l'image de x par f.
exemple 1:
f (0 ) = 3 × 0 + 5
f(0)=5
Soit f la fonction affine définie pour tout réel x par f (x) = 3 x + 5.
f (4) = 3 × 4 + 5
f(5)=3×5+5
f (4 ) = 17
f (5 ) = 20
On cherche maintenant les antécédents de 50 par la fonction f.
f (x) = 50
3 x + 5 = 50
3 x = 50 − 5
45
3 x = 45
x=
x = 15.
3
50 a un seul antécédent par f, c'est le nombre 15.
remarque 1:
Soit f une fonction linéaire. f ( x ) = a x
Donc f ( x ) = a x + 0.
Donc f est une fonction linéaire.
Toutes les fonctions linéaires sont des fonctions affines (prendre b = 0 ).
Il existe des fonctions affines qui ne sont pas linéaires.
remarque 2:
On dit que la fonction linéaire x ֏ a x est la fonction linéaire associée à la fonction affine x è a x + b.
Définition d'une fonction constante
On appelle fonction constante une fonction de la forme f : x è b.
Pour tout réel x, l'image de x est le nombre b.
exemple 2:
Soit f la fonction définie par f ( x ) = 5
f (0) = 5
f (2 ) = 5
f ( 3 ) = 5…
remarque 1:
Soit f une fonction constante telle que pour tout x, f ( x ) = b.
alors, f ( x ) = 0 × x + b.
Donc f est une fonction affine.
Toutes les fonctions constantes sont des fonctions affines.
Il existe des fonctions affines qui ne sont pas constantes.
exemple 3:
On définit trois fonctions, f, g, et h par
f (x) = 5 x.
g(x)=3
f est une fonction linéaire et donc affine.
g est une fonction constante, et donc affine.
h est une fonction affine.
h(x)=5x+3
remarque 1:
On cherche une fonction qui soit à la fois linéaire, affine et constante.
Soit f une telle fonction. f (x) est de la forme f ( x ) = a x + b.
Comme f est une fonction linéaire, on a : b = 0.
Comme f est une fonction constante, on a: a = 0.
Bilan: Pour tout réel x, f ( x ) = 0 x + 0.
Soit f (x ) = 0.
Conclusion: la seule fonction qui soit à la fois linéaire et constante (et donc affine), est la fonction nulle.
IV.
Proportionnalité des accroissements.
On considère la fonction affine f: x ï ax + b;
Lorsque x augmente (ou diminue) d'un certain nombre h, alors son image varie de ah.
Démonstration:
f (x + h) = a ( x + h ) + b
f (x + h) = a x + a h + b
f (x + h) = a x + b + a h
f (x + h) = f ( x ) + a h
Conséquence: a h = f ( x + h ) − f ( x )
f(x+h)−f(x)
a=
h
utilisation:
f, la fonction x ï 3x + b
On ne connaît pas b, mais on sait que f ( 5 ) = 3
On veut trouver f ( 9)
f ( 9 ) = f ( 5 + 4)
f(9)=f(5)+a×4
f(9)=f(5)+3×4
f(9)= 3
+ 12
f ( 9 ) = 15
Autre formulation : Si f est une fonction affine de la forme: f(x) = a x + b, alors
f(x') − f (x)
pour tous réels différents x et x ', on a :
a=
A retenir
x' – x
Démonstration:
f (x ' ) − f ( x ) = a x ' + b − ( a x + b )
f (x ' ) − f ( x ) = a x ' + b − a x − b
f (x ' ) − f ( x ) = a x ' − a x
f (x ' ) − f ( x ) = a ( x ' − x)
f(x' ) − f (x)
Donc a =
(x ' différent x, donc on peut diviser par (x ' − x))
x' – x
Cette formule est plus souvent utilisée que la première, lorsqu'on connaît deux nombres et leurs images.
application: Déterminer une fonction affine à partir de la donnée deux nombres et leurs images.
Déterminer la fonction affine f telle que: f (5 ) = 8
f ( 9) = 20
On cherche d'abord a avec la formule, puis b avec une des valeurs numériques
f (x) = a x + b
20 − 8
12
f (9) − f (5)
a=
a=
a=3
a=
4
9–5
4
Maintenant que l'on a trouvé a, il reste à trouver b.
f (9) = 3 × 9 + b
20 = 27 + b
b = 20 − 27
b=−7
Remarque: on aurait pu tout aussi bien travailler avec f(5) = 8
On aurait eu alors:
f(5)=3×5+b
8 = 15 + b
donc b = 8 − 15
b=−7
Conclusion : f (x) = 3 x − 7