Les fonctions linéaires et les fonctions affines sont deux

Fiche de synthèse : FONCTION LINÉAIRE
ET FONCTION AFFINE
Les fonctions linéaires et les fonctions affines sont deux types de
fonction simples, utilisées dans divers domaines comme l’économie, la
physique, …
La fonction linéaire est une fonction du type f : x → ax.
Elle rend compte d’une situation de proportionnalité. Elle peut
notamment modéliser la variation d’une quantité en pourcentage.
Par exemple, une augmentation de 15% correspond à la fonction f(x) =
1,15x.
Pour calculer l’image d’un nombre par une fonction linéaire, il suffit de
multiplier ce nombre par a.
Par exemple, si f(x) = 5x et x = 3 alors l’image de 3 par f(x) = 5 3 = 15.
A l’inverse pour calculer l’antécédent d’un nombre donné, il suffit de le
diviser par a.
Par exemple, si f(x) = 6x et f(x) = 18 alors x = 18 = 3
6
Il est également possible de calculer a. En effet, déterminer une
fonction linéaire, c’est calculer la valeur de a. Une fonction linéaire est
déterminée dès lors que l’on connaît son coefficient a.
a=
f (x)
x
=
image
antécédent
Par exemple, f est une fonction linéaire telle que f(4) = 20.
20
a est donc égal à
= 5.
4
f(x) est donc égale à f(x) = 5x.
Lorsqu’on représente graphiquement une fonction linéaire, on obtient
une droite passant par l’origine (O).
Un seul point autre que l’origine est alors nécessaire pour tracer la
droite.
y
A
0
x
La fonction affine est une fonction du type f : x → ax + b (où a et b
sont des nombres donnés).
Elle permet de modéliser certains problèmes simples ne rendant pas
compte de proportionnalité.
Pour calculer l’image d’un nombre donné par une fonction affine, on
multiplie ce nombre par a puis on lui ajoute ensuite b.
Par exemple, si f(x) = 7x – 3 alors f(5) = (7 × 5) – 3 = 35 – 3 = 32.
L’image de 5 par la fonction f(x) est donc égale à 32.
A l’inverse pour calculer l’antécédent d’un nombre, on soustrait b à ce
nombre puis on le divise le résultat par a.
Par exemple, si f(x) = 3x + 6 et que f(x) = 33 alors x = 33 - 6
3
Et donc x = 9. L’antécédent de 33 par la fonction f(x) = 3x + 6 vaut donc 9.
Il est également possible de calculer a et b.
En effet, déterminer une fonction affine c’est calculer la valeur de a son
(pente ou coefficient directeur) et la valeur de b (ordonnée à l’origine).
Déterminer une fonction affine c’est donc calculer les valeurs de a et b.
Pour cela on a besoin de deux couples de nombres : (x1 ; f(x1)) et
(x2 ; f(x2)). Les calculs suivants permettent d’obtenir a et b.
a=
f(x2) – f(x1)
x1 – x2
b = f(x1) – ax1
On peut rappeler que a est le coefficient ou coefficient directeur (pour
les graphiques). « b » est l’ordonnée à l’origine, c'est-à-dire là où la
droite représentant la fonction (f(x)) coupe l’axe des ordonnées (y).
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.
Deux points distincts sont nécessaires pour tracer cette droite.
y
A
b
0
x
B
Il faut noter que l’antécédent est toujours unique, que ce soit pour une
fonction linéaire ou bien une fonction affine.
Fonction linéaire et fonction affine
Fonction linéaire : f : x → ax
Fonction affine : f : x → ax + b
> Rend compte d’une situation de proportionnalité
> Modélise la variation d’une quantité en pourcentage
> Exemple : une augmentation de 15% revient à f(x) = 1,15x
(a et b sont des nombre donnés)
> Modélise certains problèmes simples ne rendant pas
compte d’une situation de proportionnalité
> Image : on multiplie ce nombre par a
> Exemple : si f(x) = 5x alors image de 3 = 5 × 3 = 15
> Image : on multiplie le nombre par a puis on lui ajoute b
> Exemple : f(x) = 7x -3 donc image de 5 = (7 × 5) – 3 = 32
> Antécédent : on divise ce nombre par a
> Exemple : si f(x) = 6x alors antécédent de 18 = 18 = 3
6
> Antécédent : on retire b au nombre puis on divise par a
> Exemple : si f(x) = 3x + 6 alors
33 - 6
antécédent de 33 =
=9
3
> Déterminer une fonction linéaire c’est calculer
la valeur de a
> Déterminer une fonction affine c’est calculer
les valeurs de a (pente ou coefficient directeur) et
de b (ordonnée à l’origine )
f(x2) – f(x1)
a=
et b = f(x1) – ax1
x2 – x1
a=
f (x)
image
=
antécédent
x
> Exemple : x1 = 3 , x2 = 5, f(x1) = 8 , f(x2) = 26
Donc a = 26 - 8 = 18 = 9 et b = 8 – (9 × 3) = -19
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2
> Exemple : f, fonction linéaire telle que f(4) = 20
a = 20 = 5 donc f(x) = 5x
4
Représentation graphique :
y
A
A
> Droite passant par l’origine (O)
> Un seul point autre que l’origine
est nécessaire pour tracer la droite
y
Représentation graphique :
0
> La représentation d’une fonction
affine est une droite
b
0
x
> Deux points sont nécessaires pour
tracer la droite
> L’antécédent est toujours unique que ce soit par une fonction linéaire ou une fonction affine
x
B