CHAPITRE 11 : FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES

CHAPITRE 11 : FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES
Objectifs :
Fonction linéaire
•
[3.120] Déterminer par le calcul l'image et l'antécédent d'un nombre donné dans une fonction linéaire.
•
[3.121] Déterminer l'expression algébrique d'une fonction linéaire à partir de la donnée d'un nombre non nul
et de son image.
•
[3.122] Représenter graphiquement une fonction linéaire.
•
[3.123] Lire la représentation graphique d'une fonction linéaire (image, antécédent, coefficient directeur).
•
[3.128] Connaître et utiliser la caractérisation graphique de la proportionnalité dans un plan repéré.
Fonction affine
•
[3.124] Déterminer par le calcul l'image et l'antécédent d'un nombre donné dans une fonction affine.
•
[3.125] Déterminer l'expression algébrique d'une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de
leurs images.
•
[3.126] Représenter graphiquement une fonction affine.
•
[3.127] Lire la représentation graphique d'une fonction affine (image, antécédent, coefficient directeur,
ordonnée à l'origine).
Pourcentages
•
[3.129] Établir le lien entre appliquer un pourcentage et multiplier par le coefficient correspondant.
I. Fonctions linéaires - Proportionnalité
a) Définition
Une fonction linaire f est un procédé qui à un nombre x associe le nombre ax, où a est un nombre donné.
On note : f : x | ax
ou
f(x) = ax
Le nombre f(x) est appelé l'image de x par la fonction f.
Exemple : La fonction qui, à un nombre x associe son double est une fonction linéaire notée :
f : x | 2x ou f(x)=2x.
L'image du nombre 5 par cette fonction est notée f(5) et vaut f(5)=2×5=10
b) Lien avec la proportionnalité
Dans un tableau de proportionnalité, les nombres de la deuxième ligne sont les images des nombres de la
première ligne par une fonction linéaire.
Exemple :
×2
x
0
1
2
4
8
f(x)
0
2
4
8
16
Ce tableau traduit la fonction linéaire définie par f(x)=2x.
II. Fonctions affines
a) Définition
Une fonction affine f est un procédé qui, à un nombre x, associe le nombre ax + b, où a et b sont des nombres
donnés.
On note : f : x | ax + b
ou
f(x) = ax + b
Le nombre f(x) est appelé l'image de x par la fonction f.
Exemple :La fonction qui, à un nombre x, associe son triple augmenté de 5 est une fonction affine notée f : x |
3x + 5 ou
f(x) = 3x + 5.
L'image du nombre 2 par cette fonction est notée f(2) et vaut f(2) = 3×2 + 5 = 6 + 5 = 11.
b) Tableau de valeurs
On peut regrouper les images de certains nombres par la fonction affine f définie par f(x)=2x+3.
On obtient alors un tableau de valeurs.
x
-4
-3
-1
0
1
5
4
f(x)
-5
-3
1
3
5
11
2
Il s'établit en calculant les images de chaque valeur de x par la fonction f.
f  – 4=2× – 43=– 83=– 5
f  – 3=2× – 33=– 63=– 3
f 0=2×03=3
5
5
5
56 11
f
=2× 3= 3=
=
4
4
2
2
2

c) Cas particuliers
La fonction linéaire définie par f  x =ax est une fonction affine pour laquelle b = 0.
En effet, f  x =ax0 .
La fonction constante définie par f  x =b est une fonction affine pour laquelle a = 0.
En effet, f  x =0 xb .
Exemples :
f  x =4 x est une fonction linéaire.
f  x =5 est une fonction constante.
III.Représentation graphique
a) Fonction linéaire
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.
C'est la droite d'équation y = ax où a est le coefficient directeur de la droite.
Exemple :
d
y
Représentation graphique de la fonction linéaire f
définie par f(x)=2x.
Si x = 0, y = 0 => ce sont les coordonnées du point O,
origine du repère.
Si x = 1, y = 2 => ce sont les coordonnées d'un point
J 1
A(1 ;2) de la droite.
1
O
x'
x
I
y'
b) Fonction affine
La représentation graphique d'une fonction affine définie par f  x  = ax  b est une droite d'équation y = ax  b
, où a est le coefficient directeur de la droite, et b est l'ordonnée à l'origine.
y
y
b
J
J
1
1
1
O
I
x
y=a
x+b
x'
1
y'
f  x  = ax  b avec a > 0
x'
O
b
I
x
y'
f  x  = ax  b avec a < 0
y
y=b
b
J
1
x'
1
x
I
y'
f  x  = ax  b avec a = 0
IV. Proportionnalité des accroissements
Soit f une fonction affine définie par f  x  = ax  b.
Il y a proportionnalité entre les accroissements de f(x) et les accroissements de x.
f  x2  − f  x1 
Si x1 et x 2 sont deux nombres distincts, alors on a : a =
x2 − x1
y
f(x2)
f(x1)
x'
x1
y'
x2
x
V. Fonction croissante, décroissante
Une fonction est croissante si f(x) augmente quand x augmente (cad si a > 0).
Une fonction est décroissante si f(x) diminue quand x augmente (cad si a < 0).
y
y
f(x)
f(x)
x'
x
x
x'
x
x
y'
y'
f est croissante
f est décroissante
Activité pourcentage
VI.Pourcentages
Énoncé
Calculer a % d'un nombre x
Calcul
y=
Exemple
a
x
100
Un village de 250 habitants voit sa population
augmenter de 2%. Combien d'habitants y a-til en plus ?
y=
2
× 250 = 5 .
100
Il y a 5 habitants en plus.
Augmenter un nombre x de a %
Diminuer un nombre x de a %
y= 1

a
x
100

a
x
100
y = 1−

Un article de 300 € augmente de 6%. Quel est
son nouveau prix ?
Le prix est passé de x à 1,06x.
Donc y = 1,06 × 300 = 318 .
Le nouveau prix est 318 €.

L'effectif d'un club sportif de 350 membres
diminue de 4%. Quel est sont nouvel effectif ?
L'effectif est passé de x à 0,96x.
Donc y =0,96 × 350 =336 .
Le nouvel effectif du club est de 336
membres.