Fonctions affines

FONCTIONS AFFINES
I) Présentation
1) Opérateurs élémentaires
L’opérateur
o+3
×
L’opérateur 2 o
est associé à la fonction x a x + 3 .
est associé à la fonction linéaire x a 2x .
Si l’on fait agir deux opérateurs du type précédent, on obtient une fonction de la forme x a ax + b .
Exemples :
o+3
•x
×
•x 2 o
×
x + 3 2 o 2(x + 3) = 2x + 6
o+3
2x
2x + 3
2) Définition d’une fonction affine
Définition : La fonction f définie sur R par f(x) = ax
+ b est appelée fonction affine.
II) Représentation graphique
Définition : Dans un repère, la représentation graphique de la fonction f définie par f(x) = ax + b est la droite D d'équation
y = ax + b.
Le nombre a est le coefficient directeur de D.
Le nombre b, qui est égal à f(0), est appelé ordonnée à l'origine.
Cas particuliers :
• a = 0 : pour tout x réel, on a alors f(x) = b ; f est dans ce cas une fonction dite constante représentée par une droite
parallèle à l'axe des abscisses d’équation y = b.
• b = 0 : pour tout x réel, on a alors f(x) = ax ; f est dans ce cas une fonction linéaire représentée par une droite
passant par l'origine du repère.
III) Propriétés du coefficient directeur
1) Proportionnalité des accroissements
Propriété : Soit f une fonction affine définie par f(x) = ax + b.
Pour tous réels x1 et x2, l’accroissement f(x2) − f(x1) est proportionnel à l’accroissement x2 − x1 et le rapport
f( x2 ) − f ( x1 )
x2 − x1
est constant et égal au coefficient directeur a de la droite D représentant la fonction f.
Remarque : Le coefficient de proportionnalité reliant x2 − x1 à f(x2) − f(x1) est le coefficient directeur a.
Exemple : Soit f la fonction affine définie par f (x) = 2x − 1 représentée par la droite d’équation y = 2 x − 1 .
y = 2x . 1
1
x1 = .1
O
x2=2
1
f(2) . f(.1) = 6
2 . (.1) = 3
L’accroissement des images entre x1 = .1 et x2 = 2 est égal à
f(2) . f(.1) soit 6 alors que l’accroissement de la variable est égal à
2 . (.1) soit 3, donc f(x2) . f(x1) = 2J(x2 . x1).
Prenons d’autres valeurs par exemple, x1 = 0 et x2 = 1, on a :
f(1) . f(0) = 2 et 1 . 0 = 1, donc (x2) . f(x1) = 2J(x2 . x1).
On a bien proportionnalité entre l’accroissement des images
{ f(x2) − f(x1) } et l’accroissement de la variable { x2 . x1 }et le coefficient
de proportionnalité est égal à 2, coefficient directeur de la droite
représentant la fonction f.
Fonctions affines 1/3
2) Interprétation graphique du coefficient directeur
Propriété : Soit A(xA ; y A) et B(xB ; y B) deux points de la droite D d'équation y = ax + b représentant la fonction affine f
définie par f (x ) = ax + b .
Le coefficient directeur a de la droite D est donné par : a =
Remarque : on peut retenir que a =
yB − yA
.
xB − xA
yB − yA
déplacement vertical
accroissement des ordonnées
=
=
.
xB − xA
déplacement horizontal accroissement des abscisses
Exemples
5
a= 1
3
a= −2
5
y = − 2 x +3
5
1
y = 1 x+1
3
−2
3
O
O
IV) Sens de variation
Propriété : Soit f une fonction affine définie sur R par f (x ) = ax + b .
• Si a > 0, alors f est croissante sur
R.
• Si a < 0, alors f est décroissante
sur R.
• Si a = 0, alors f est constante sur
R.
D : y = ax + b
b
b
O
O
D : y = ax + b
Conséquence graphique et tableau de variation :
• Si a > 0, la droite D « monte ».
• Si a < 0, la droite D « descend ».
x
−∞
+∞
Variation
de f
x
−∞
+∞
Variation
de f
Remarque : a désigne un nombre réel.
×
L’opérateur multiplicatif a o conserve l’ordre, lorsque a > 0.
L’opérateur multiplicatif a × o
inverse l’ordre, lorsque a < 0.
Fonctions affines 2/3
V) Signe d’une fonction affine
Propriété : Soit f une fonction affine définie sur R par f (x ) = ax + b avec a ' 0, f(x) est du signe de a pour les valeurs de x
supérieures à la valeur x0 qui annule la fonction f.
Tableau de signe de f(x) en fonction de x :
•a>0
x
−∞
Signe de
ax + b
x0
+∞
0
•a<0
x
−∞
Signe de
ax + b
x0
+∞
0
D : y = ax + b
b
b
x0
x0
O
O
D : y = ax + b
Remarque : La valeur x0 qui annule la fonction f est l'antécédent de 0 par f, mais aussi la solution de l’équation
f(x) = 0, c’est-à-dire de l’équation ax + b = 0 .
Fonctions affines 3/3